6.已知锐角满足
A.B.2C.D.
7.已知实数满足不等式组,则函数的最大值为
A.2B.4C.5D.6
8.已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为
A.B.C.D.
9.函数的图象在点处的切线方程是
A.7B.4C.0D.-4
10.设点分别是双曲线的左、右焦点,过点且与轴垂直的直线l与双曲线C交于A,B两点.若的面积为,则该双曲线的渐近线方程为
A.B.C.D.
11.已知,函数的部分图象如图所示,则函数图象的一个对称中心是
A.B.C.D.
12.已知定义在R上的函数满足,若关于的方程恰有5个不同的实数根,则的取值范围是
A.B.C.(1,2)D.(2,3)
二、填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填写在题中的横线上.
13.已知垂直,则的值为_________.
14.已知椭圆的半焦距为c,且满足,则该椭圆的离心率e的取值范围是__________.
15.“斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契发现,因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入,故又称该数列为“兔子数列”.斐波那契数列满足:
,记其前n项和为(t为常数),则___________(用t表示).
16.正四面体A—BCD的所有棱长均为12,球O是其外接球,M,N分别是△ABC与△ACD的重心,则球O截直线MN所得的弦长为___________.
三、解否题:
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分)
已知函数.
(1)当时,求函数的值域;
(2)若定义在R上的奇函数对任意实数,恒有
的值.
18.(本小题满分12分)
如图所示,在中,M是AC的中点,.
(1)若,求AB;
(2)若的面积S.
19.(本小题满分12分)
设等差数列的公差为d,前n项和为
成等比数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前n项和.
20.(本小题满分12分)
已知圆C的圆心在轴的正半轴上,且轴和直线均与圆C相切.
(1)求圆C的标准方程;
(2)设点,若直线与圆C相交于M,N两点,且为锐角,求实数m的取值范围.
21.(本小题满分12分)
如图,在直三棱柱ABC—分别是的中点.
(1)求证:
平面;
(2)求平面MNC与平面所成的锐二面角的余弦值.
22.(本小题满分12分)
已知函数(其中e是自然对数的底数,k∈R).
(1)讨论函数的单调性;
(2)当函数有两个零点时,证明:
.
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数学理科答案
1、选择题:
本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.【答案】B
【解析】集合,故.
2.【答案】D
【解析】由题意可得.
3.【答案】B
【解析】由等比数列的性质有,.
4.【答案】C
【解析】,,当且仅当时取等号.故“”是“”的充分不必要条件.
5.【答案】A
【解析】,,故.
6.【答案】B
【解析】,又∵为锐角,∴∴,∴.
7.【答案】D
【解析】作出可行域如下图,当直线过点C时,最大,由得,所以的最大值为6.
8.【答案】A
【解析】三视图所对应的空间几何体为一个半圆锥拼接一个三棱锥所得,故其体积,故选A.
9.【答案】A
【解析】,又由题意知,
.
10.【答案】D
【解析】设,,则则,又,
,,故该双曲线的渐近线方程为.
11.【答案】C
【解析】,.又.显然,所以.则,令,则,当时,,故C项正确.
12.【答案】B
【解析】作出函数的图象,由图象可知,设,则,由图象可知,故.
二、填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填写在题中的横线上.
13.【答案】
【解析】由题知,即.
14.【答案】
【解析】,,即,即,解得,又,.
15.【答案】
【解析】.
16.【答案】
【解析】正四面体可补全为棱长为的正方体,所以球是正方体的外接球,其半径,设正四面体的高为,则,故,又,所以到直线的距离为,因此球截直线所得的弦长为.
三、解答题:
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.解:
(1),
],
∴当时,;当时,.
即函数的值域是.(5分)
(2)由可得:
的周期,
,
,(8分)
故.(10分)
18.解:
(1),
在中,由正弦定理得
.(6分)
(2)在中,由余弦定理得
解得(负值舍去),
,
是的中点,.(12分)
19.解:
(1),
又
(3分)
又成等比数列.
,即,
解得,.(6分)
(2),
.(12分)
20.解:
(1)设圆C:
故由题意得,解得,
则圆C的标准方程为:
.(6分)
(2)将代入圆C的方程,消去y并整理得.
令得,(8分)
设,则.
依题意,得,即
解得或.
故实数m的取值范围是.(12分)
21.
(1)证明:
如图,连接,∵该三棱柱是直三棱柱,
则四边形为矩形,
由矩形性质得过的中点M,(3分)
在△中,由中位线性质得,
又,,
;(6分)
(2)解:
,,
如图,分别以为轴正方向建立空间直角坐标系,
,
(8分)
设平面的法向量为,则
,令则,
,(10分)
又易知平面的一个法向量为,
,
即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.(12分)
22.
(1)解:
因为,(1分)
当时,令,所以当时,,
当时,,所以函数在区间上单调递减,
在区间上单调递增;(3分)
当时,恒成立,故此时函数在R上单调递增.(5分)
(2)证明:
当时,由
(1)知函数单调递增,不存在两个零点,所以,
设函数的两个零点为,
则,
设,
解得,所以,(8分)
欲证,只需证明,
设
设单调递增,所以,
所以在区间上单调递增,
所以,故成立.(12分)