高中数学第一章集合与函数概念知识点文档格式.docx
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示意图
(1)AA
AB
A中的任一元素
(2)
A
子集
(或
A(B)
A(B)BA
BA)
都属于B
(3)若A
B且BC,则AC
或
(4)若A
B且BA,则AB
真子
AB,且B中
(1)
A(A为非空子集)
集
(或B
至少有一元素不
(2)若A
B且BC,则AC
BA
A)
属于A
集合
相等
A中的任一元素都属于B,B中的
(1)AB
(2)BA
任一元素都属于
7)已知集合A有n(n1)个元素,则它有2n个子集,它有2n1个真子集,它有
2n1个非空子集,它有2n2非空真子集.
(8)交集、并集、补集
1.1.3】集合的基本运算
名
记
称
号
AIA
交
{x|x
A,且
AI
AIB
B}
x
(3)
B
AUA
并
A,或
AU
AUB
补
1AI(eUA)
eUA
{x|xU,且xA}
痧U(AIB)(UA)U(?
UB)
痧U(AUB)(UA)I(?
UB)2AU(eUA)U
补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法
1)含绝对值的不等式的解法
不等式
解集
|x|a(a0)
{x|axa}
|x|a(a0)
x|xa或xa}
|axb|c,|axb|c(c0)
把axb看成一个整体,化成|x|a,
|x|a(a0)型不等式来求解
2)一元二次不等式的解法
判别式
b24ac
二次函数
2
yaxbxc(a0)
的图象
O
一元二次方程
ax2bxc0(a0)
的根
bb24ac
x1,2
1,22a
(其中x1x2)
b
x1x2
122a
无实根
axbxc0(a0)
的解集
{x|xx1或xx2}
{x|x}
2a
R
{x|x1xx2}
〖1.2〗函数及其表示
1.2.1】函数的概念
1)函数的概念
1设A、B是两个非空的数集,如果按照某种对应法则f,对于集合A中任
何一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么这样的对应(包括集合A,B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到B的一个函数,记作f:
AB.
2函数的三要素:
定义域、值域和对应法则.
3只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数.
2)区间的概念及表示法
1设a,b是两个实数,且ab,满足axb的实数x的集合叫做闭区间,记
做[a,b];
满足axb的实数x的集合叫做开区间,记做(a,b);
满足axb,或axb的实数x的集合叫做半开半闭区间,分别记做[a,b),(a,b];
满足xa,xa,xb,xb的实数x的集合分别记做[a,),(a,),(,b],(,b).
注意:
对于集合{x|axb}与区间(a,b),前者a可以大于或等于b,而后者必须
ab.
3)求函数的定义域时,一般遵循以下原则:
1f(x)是整式时,定义域是全体实数.
2f(x)是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数.
3f(x)是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合.
4对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大
于零且不等于1.
5ytanx中,xk(kZ).
6零(负)指数幂的底数不能为零.
7若f(x)是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则其定义域般是各基本初等函数的定义域的交集.
8对于求复合函数定义域问题,一般步骤是:
若已知f(x)的定义域为[a,b],其复合函数f[g(x)]的定义域应由不等式ag(x)b解出.
9对于含字母参数的函数,求其定义域,根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论.
10由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意义.
4)求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的.事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同.求函数值域与最值的常用方法:
①观察法:
对于比较简单的函数,我们可以通过观察直接得到值域或最值.
2配方法:
将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值.
3判别式法:
若函数yf(x)可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程a(y)x2b(y)xc(y)0,则在a(y)0时,由于x,y为实数,故必须有b2(y)4a(y)c(y)0,从而确定函数的值域或最值.
4不等式法:
利用基本不等式确定函数的值域或最值.
5换元法:
通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题.
6反函数法:
利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值.
7数形结合法:
利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值.
8函数的单调性法.
1.2.2】函数的表示法
5)函数的表示方法表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种.解析法:
就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.列表法:
就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.图象法:
就是用图象表示两个变量之间的对应关系.
6)映射的概念
1设A、B是两个集合,如果按照某种对应法则f,对于集合A中任何一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合A,B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到B的映射,记作f:
AB.
2给定一个集合A到集合B的映射,且aA,bB.如果元素a和元素b对应,那么我们把元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象.
〖1.3〗函数的基本性质
【1.3.1】单调性与最大(小)值
1)函数的单调性
①定义及判定方法
函数的
定义
图象
判定方法
单调性
2在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数,
增函数减去一个减函数为增函数,减函数减去一个增函数为减函数.
③对于复合函数yf[g(x)],令ug(x),若yf(u)为增,ug(x)为增,
则yf[g(x)]为增;
若yf(u)为减,ug(x)为减,则yf[g(x)]为增;
若
2)
3)
yf(u)为增,
ug(x)为增,
打“√”函数
f(x)分别在(
ug(x)为减,则yf[g(x)]为减;
若yf(u)为减,
则yf[g(x)]为减.
f(x)xa(a0)的图象与性质
a]、[a,)上为增函数,分
别在[a,0)、(0,a]上为减函数.
最大(小)值定义
①一般地,设函数yf(x)的定义域为I,如果存在实数
M满足:
(1)对于任意的xI,都有f(x)M;
2)存在x0I,使得f(x0)M.那么,我们称M是函数f(x)
最大值,记作fmax(x)M.
②一般地,设函数yf(x)的定义域为I,如果存在实数m满足:
(1)对于任
意的xI,都有f(x)m;
(2)存在x0I,使得f(x0)m.那么,我们称m是函数f(x)的最小值,记作fmax(x)m.
【1.3.2】奇偶性
4)函数的奇偶性
②若函数f(x)为奇函数,且在x0处有定义,则f(0)0.
3奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反.
4在公共定义域内,两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数),两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数.
〖补充知识〗函数的图象
1)作图
利用描点法作图:
①确定函数的定义域;
②化解函数解析式;
3讨论函数的性质(奇偶性、单调性);
④画出函数的图象.
利用基本函数图象的变换作图:
要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象.
①平移变换
h0,左移h个单位
yf(x)hh00,右,移|hh|个单位yf(xh)
yf(x)
k0,上移k个单位k0,下移|k|个单位
yf(x)k
②伸缩变换
yf(x)
01,伸
f(x)
1,缩
y
0A1,缩
A1,伸
Af(x)
③对称变换
f(x)
x轴
y轴
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- 高中数学 第一章 集合 函数 概念 知识点