建模教案层次分析Word格式.docx
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试建立层次结构模型。
2、构造成对比较矩阵。
*目的:
比较同意层因素对上一层因素的影响,从而确定他们在上层因素中占的权重。
(即他们在你心目中哪个更重要)
*方法:
设有n个因素对上一层目标有影响。
每次取两个因素与比较,用表示与对上层目标的影响比。
*定义1、成对比较矩阵:
,其中。
定义2、正互反矩阵:
n阶成对比较矩阵,其性质:
。
例3、在旅游模型中,设景色、费用、居住、饮食、交通五个因素分别为,某人根据自己的情况,对五个因素逐对金星比较,比较他们对目标层——选择旅游地的重要程度。
令,表示费用与景色对选择旅游地之一目标的重要之比是2;
,表示景色与饮食对选择旅游地这一目标的重要之比是3
依此做下去,一共比较次,矩阵得出这10哥比较结果即可算出整个矩阵。
于是所得到准则层对目标层(第二层对第一层)的正互反矩阵为
#
例4、在旅游模型中,设方案层D,D,D各因素对准则层的5个因素分别做比较,可等到5个3阶正互反矩阵。
三个方案分别为,逐对比较它们对景色这一准则的重要程度。
令,即,表示方案D对方案D对景色之一准则的重要之比是1:
2,即方案1的景色更好。
令,即,表示方案D对方案D对景色之一准则的重要之比是1,即方案2与方案3的景色同样好。
依此做下去,于是得到正互反矩阵;
同理可得到方案D,D,D对费用的正互反矩阵;
可得到方案D,D,D对居住的正互反矩阵;
可得到方案D,D,D对饮食的正互反矩阵;
可得到方案D,D,D对交通的正互反矩阵。
*权重的取法
尺度
含义
1
与的影响之比相同
3
与的影响之比梢强
5
与的影响之比强
7
与的影响之比明显的强
9
与的影响之比非常的强
2、4、6、8
与的影响之比在上述两个相邻等级之间
与的影响之比为上面的互反数
3、一致性的相关概念
*定义3:
如果一个正互反矩阵A满足,则称A为一致矩阵,简称一致阵。
例如是一个一致阵。
*阶一致阵的性质:
(1)一致阵的秩一定是1。
它的唯一非零特征根为;
(2)一致阵的任一列(行)向量都是对应于特征根的特征向量。
*判断一致阵的方法:
计算矩阵的最大特征根即可。
若,则B不是一致阵,
且越大,不一致程度越高。
*定义4:
设为一个正向量,称为
的标准化向量。
*计算最大特征根的方法:
,求得为最大特征根,任一列(行)
向量都是对应于特征根的特征向量。
例5、求的最大特征根,特征向量及标准化向量。
解:
,整理得,解得,
故最大特征根是,于是为其特征向量,为标准化向量。
若非一致阵,求最大特征根的方法不变,解,求出的为相应于的特征向量,再标准化成为标准权向量。
(此处可用matlab软件求解)
4、层次单排序和一致性检验
*最终目标:
通过成对比较矩阵,找出各因素对上层某目标的重要性的一个权排序值(权重值大的优先)
列向量标准化
一致矩阵得到的向量为各因素对上一层目标的权向量
成对比较矩阵
若在容许范围内则计算最大特征根及特征向量标准化,令它为权向量
非一致阵
看不一致程度
若不一致程度严重则重新做成对比较矩阵
*一致性检验(看不一致程度):
设A为n阶成对比较矩阵。
令为一致性矩阵。
当时,A为一致阵;
当越大,A的不一致程度越严重。
*不一致程度的容许范围:
看一致性比率:
当时,A的不一致程度在容许范围内。
其中RI可通过查表得到。
附表1
1
2
3
4
6
8
10
11
RI
0.58
0.9
1.12
1.24
1.32
1.41
1.45
1.49
1.51
例6、检验旅游模型中的准则层对目标层的成对比较矩阵的一致性,并选出其权向量。
的最大特征根,A为非一致阵。
一致阵指标,由,得。
一致性比率,通过了一致性检验。
求出相应于的特征向量并标准化为
,可作权向量。
按照前面做出的成对比较矩阵计算出他们各自的最大的特征根,权向量和一致性指标。
景色
费用
居住
饮食
交通
2
4
5
0.595
0.082
0.429
0.633
0.166
0.277
0.236
0.193
0.129
0.682
0.142
0.175
0.668
3.005
3.002
3.009
0.003
0.001
0.005
0.052
0.002
0.009
均小于0.1,通过了一致性检验。
5、计算组合权向量
方案在准则层中的权向量为
而准则层对目标层的权向量为,于是方案在目标层的组合权重应为,即
;
故各方案对目标的权向量,即组合权向量为
在选择旅游地重要性占0.456%,远大于,,所以选择方案。
6、组合权向量的一致性检验
在应用层次分析法作重大决策时,吃了对每个成对比较矩阵进行一致性检验外,还要常常进行所谓组合一致性检验,以确定组合拳向量是否作为最终的决策依据。
组合权向量检测可逐层进行。
若第p层的一致性指标为,(n是第p-1层因素的数目),随机一致性检验指标为,定义
则第p层的组合一致性比率为
第p层通过组合一致性检验的条件为
定义最下层(第s层)对第一层的组合一致性比率为
对于重大项目,仅当适当地小时,才认为整个层次的比较判别通过一致性检验。
例如,若决策是三层的,第三层一致性指标为,随即一致性指标为,为第二层对第一层的权向量,定义
则第三层对第二层的组合的组合一致性比率为
当时,认为组合权向量通过一致性检验;
第三层对第一层的组合一致性比率为,最后看这一值是否小于0.1
例7、检验上述旅游模型的组合权向量是否通过了一致性检验。
而,故,
组合权向量通过了一致性检验,故可作为最终的决策依据。
总结:
层次分析法的基本步骤
2、构造成对比较矩阵
3、计算权向量并做一致性检验
4、计算组合权向量并作组合一致性检验。
你已经去过几家主要的摩托车商店,基本确定将从三种车型中选购一种。
你选择的标准主要有:
价格、耗油量、舒适程度和外表美观。
经反复思考比较,构造了他们之间的成对比较矩阵
三种车型(记为a,b,c)的价格、耗油量、舒适程度和外表美观的成对比较矩阵为
(价格)(耗油量)(舒适)(外表)
(1)根据上述矩阵可以看出四项标准在你心目中的比重是不同的,请按由重到轻的顺序将它们排出。
答:
价格>
耗油量>
舒适度>
美观
(2)你认为哪辆车最便宜、哪辆车最省油、哪辆车最舒适、哪辆车最漂亮。
a车最便宜;
b车耗油量最小;
a车最舒适;
b车最漂亮
(3)用层次分析法确定你对这三种车型的喜欢程度(用百分比表示)。
思路:
1、计算准则层对目标层的最大特征值与特征向量,并进行一致性检验:
,,,,
通过了一致性检验,相应的标准特征向量为
2、计算准则层对目标层的最大特征值与特征向量,并进行一致性检验:
价格
耗油量
舒适
外表
0.5397
0.1666
0.6267
0.1884
0.297
0.7396
0.2797
0.7306
0.1633
0.0938
0.0936
0.081
3.0092
3.0143
3.0857
3.065
0.0046
0.0072
0.04285
0.0325
0.008
0.012
0.074
0.056
均通过了一致性检验。
3、计算组合权向量:
,其中
即组合权向量为
4、组合权向量的一致性检验:
,,
即b车为最佳选择。
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