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预习教材P173-P187的内容,思考以下问题:
1.全面调查、抽样调查、总体、个体、样本、样本量、样本数据的概念是什么?
2.什么叫简单随机抽样?
3.最常用的简单随机抽样方法有哪两种?
4.抽签法是如何操作的?
5.随机数法是如何操作的?
6.什么叫分层随机抽样?
7.分层随机抽样适用于什么情况?
8.分层随机抽样时,每个个体被抽到的机会是相等的吗?
9.获取数据的途径有哪些?
1.全面调查与抽样调查
(1)对每一个调查对象都进行调查的方法,称为全面调查,又称普查W.
(2)在一个调查中,我们把调查对象的全体称为总体,组成总体的每一个调查对象称为个体W.
(3)根据一定的目的,从总体中抽取一部分个体进行调查,并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法,称为抽样调查W.
(4)把从总体中抽取的那部分个体称为样本W.
(5)样本中包含的个体数称为样本量W.
(6)调查样本获得的变量值称为样本的观测数据,简称样本数据.
2.简单随机抽样
(1)有放回简单随机抽样
一般地,设一个总体含有N(N为正整数)个个体,从中逐个抽取n(1≤n<
N)个个体作为样本,如果抽取是放回的,且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等,我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样.
(2)不放回简单随机抽样
如果抽取是不放回的,且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等,我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样.
(3)简单随机抽样
放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样.
(4)简单随机样本
通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本.
(5)简单随机抽样的常用方法
实现简单随机抽样的方法很多,抽签法和随机数法是比较常用的两种方法.
■名师点拨
(1)从总体中,逐个不放回地随机抽取n个个体作为样本,一次性批量随机抽取n个个体作为样本,两种方法是等价的.
(2)简单随机抽样中各个个体被抽到的机会都相等,从而保证了抽样的公平性.
3.总体平均数与样本平均数
(1)总体平均数
①一般地,总体中有N个个体,它们的变量值分别为Y1,Y2,…,YN,则称==Yi为总体均值,又称总体平均数.
②如果总体的N个变量值中,不同的值共有k(k≤N)个,不妨记为Y1,Y2,…,Yk,其中Yi出现的频数fi(i=1,2,…,k),则总体均值还可以写成加权平均数的形式=fiYiW.
(2)样本平均数
如果从总体中抽取一个容量为n的样本,它们的变量值分别为y1,y2,…,yn,则称==yi为样本均值,又称样本平均数.在简单随机抽样中,我们常用样本平均数去估计总体平均数.
4.分层随机抽样
(1)分层随机抽样
一般地,按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体,每个个体属于且仅属于一个子总体,在每个子总体中独立地进行简单随机抽样,再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本,这样的抽样方法称为分层随机抽样,每一个子总体称为层W.
(2)比例分配
在分层随机抽样中,如果每层样本量都与层的大小成比例,那么称这种样本量的分配方式为比例分配.
5.分层随机抽样中的总体平均数与样本平均数
(1)在分层随机抽样中,如果层数分为2层,第1层和第2层包含的个体数分别为M和N,抽取的样本量分别为m和n.我们用X1,X2,…,XM表示第1层各个个体的变量值,用x1,x2,…,xm表示第1层样本的各个个体的变量值;
用Y1,Y2,…,YN表示第2层各个个体的变量值,用y1,y2,…,yn表示第2层样本的各个个体的变量值,则:
①第1层的总体平均数和样本平均数分别为==Xi,==xi.
②第2层的总体平均数和样本平均数分别为==Yi,==yi.
③总体平均数和样本平均数分别为=,=W.
(2)由于用第1层的样本平均数可以估计第1层的总体平均数,用第2层的样本平均数可以估计第2层的总体平均数.因此我们可以用=+估计总体平均数.
(3)在比例分配的分层随机抽样中,==,可得+=+=.因此,在比例分配的分层随机抽样中,我们可以直接用样本平均数估计总体平均数.
6.获取数据的途径
获取数据的基本途径有:
(1)通过调查获取数据;
(2)通过试验获取数据;
(3)通过观察获取数据;
(4)通过查询获取数据
判断(正确的打“√”,错误的打“×
”)
(1)高考考生的身体检查,是抽样调查.( )
(2)某养鱼专业户要了解鱼塘中鱼的平均质量,是抽样调查.( )
(3)在简单随机抽样中,一次可以抽取多个个体.( )
(4)抽签法和随机数法都是简单随机抽样.( )
(5)无论是抽签法还是随机数法,每一个个体被抽到的机会都是均等的.( )
(6)在分层随机抽样的过程中,每个个体被抽到的可能性是相同的,与层数及分层有关.( )
答案:
(1)×
(2)√ (3)×
(4)√ (5)√ (6)×
抽签法中确保样本代表性的关键是( )
A.制签 B.搅拌均匀
C.逐一抽取D.抽取不放回
解析:
选B.逐一抽取、抽取不放回是简单随机抽样的特点,但不是确保代表性的关键,一次抽取与有放回抽取(个体被重复取出可不算再放回)也不影响样本的代表性,制签也一样.
为了保证分层随机抽样时每个个体被等可能地抽取,必须要求( )
A.每层等可能抽取
B.每层抽取的个体数相等
C.每层抽取的个体数可以不一样多,但必须满足抽取ni=n·
(i=1,2,…,k)个个体(其中i是层的序号,k是总层数,n为抽取的样本容量,Ni是第i层中的个体数,N是总体容量)
D.只要抽取的样本容量一定,每层抽取的个体数没有限制
选C.分层随机抽样时,在各层中按层中所含个体在总体中所占的比例进行抽样.
A中,虽然每层等可能地抽样,但是没有指明各层中应抽取几个个体,故A不正确;
B中,由于每层的个体数不一定相等,每层抽取同样多的个体数,显然从总体来看,各层的个体被抽取的可能性就不相等了,因此B也不正确;
C中,对于第i层的每个个体,它被抽到的可能性与层数i无关,即对于每个个体来说,被抽取为样本的可能性是相同的,故C正确;
D显然不正确.
从一批零件中抽取10个,测得它们的长度(单位:
cm)如下:
22.36 22.35 22.33 22.35 22.37 22.34 22.38
22.36 22.32 22.35
由此估计这批零件的平均长度.
在此统计活动中:
(1)总体为 ;
(2)个体为 ;
(3)样本为 ;
(4)样本量为 W.
(1)这批零件的长度
(2)每个零件的长度 (3)抽取的10个零件的长度 (4)10
一个班共有54人,其中男同学、女同学之比为5∶4,若抽取9人参加教改调查会,则每个男同学被抽取的可能性为 ,每个女同学被抽取的可能性为 W.
男、女每人被抽取的可能性是相同的,因为男同学共有54×
=30(人),女同学共有54×
=24(人),
所以每个男同学被抽取的可能性为=,每个女同学被抽取的可能性为=.
总体、样本等概念辨析题
为了调查参加运动会的1000名运动员的平均年龄,从中抽取了100名运动员进行调查,下面说法正确的是( )
A.1000名运动员是总体
B.每个运动员是个体
C.抽取的100名运动员是样本
D.样本量是100
【解析】 根据调查的目的可知,总体是这1000名运动员的年龄,个体是每个运动员的年龄,样本是抽取的100名运动员的年龄,样本量为100.故答案为D.
【答案】 D
此类题目要正确理解总体与个体的概念,要弄明白概念的实质,并注意样本与样本容量的不同,其中样本量为数目,无单位.
为了了解全年级240名学生的身高情况,从中抽取40名学生进行测量,下列说法正确的是( )
A.总体是240 B.个体是每一个学生
C.样本容量是40名学生D.样本量为40
选D.本题调查的对象是“学生的身高”这一项指标,故A、B不正确.而样本量是数量,故C不正确.由此可见,研究此类问题首先要弄清楚所要调查的对象是什么.
简单随机抽样的概念
下面的抽样方法是简单随机抽样吗?
为什么?
(1)从无数个个体中抽取50个个体作为样本;
(2)仓库中有1万支奥运火炬,从中一次抽取100支火炬进行质量检查;
(3)某连队从200名党员官兵中,挑选出50名最优秀的官兵赶赴灾区开展救灾工作.
【解】
(1)不是简单随机抽样.因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的.
(2)不是简单随机抽样.虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性,但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”.(3)不是简单随机抽样.因为这50名官兵是从中挑选出来的,是最优秀的,每个个体被抽到的可能性不同,不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求.
要判断所给的抽样方法是否为简单随机抽样,关键是看它们是否符合简单随机抽样的定义,即简单随机抽样的四个特点.
(1)某工厂的质检员从一袋30个螺母中一次性取出5个进行质量检测;
(2)某商品的市场调查员为了了解该商品在某日某超市的销售情况,在超市出口处随机向10个顾客询问是否购买了该商品;
(3)某班级有4个小组,每组共有12个同学.班主任指定每组坐在第一张桌子的8位同学为班干部;
(4)中国福利彩票30选7,得到7个彩票中奖号码.
解:
简单随机抽样要求:
被抽取的样本的总体个数确定且较少,抽取样本时要求逐个抽取,每个个体被抽取的可能性一样.所以
(1)不是,因为是一次性抽取不是逐个抽取;
(2)不是,被抽取的样本的总体个数不确定;
(3)不是,班主任的指定不能保证班级里的每一个学生被抽取的可能性一样;
(4)是,它属于简单随机抽样中的随机数法.
抽签法及随机数法的应用
某班有50名学生,要从中随机地抽出6人参加一项活动,请分别写出利用抽签法和随机数法抽取该样本的过程.
【解】
(1)利用抽签法步骤如下:
第一步:
将这50名学生编号,编号为01,02,03,…,50.
第二步:
将50个号码分别写在纸条上,并揉成团,制成号签.
第三步:
将得到的号签放在一个不透明的容器中,搅拌均匀.
第四步:
从容器中逐一抽取6个号签,并记录上面的号码.
对应上面6个号码的学生就是参加该项活动的学生.
(2)利用随机数法步骤如下:
将这50名学生编号,编号为1,2,3,…,50.
用随机数工具产生1~50范围内的整数随机数,把产生的随机数作为抽中的编号,使与编号对应的学生进入样本.
重复第二步的过程,直到抽足样本所需人数.
(1)利用抽签法抽取样本时应注意以下问题:
①编号时,如果已有编号(如学号、标号等)可不必重新编号.(例如该题中50名同学,可以直接利用学号)
②号签要求大小、形状完全相同.
③号签要搅拌均匀.
④抽取号签时要逐一、不放回抽取.
(2)利用随机数法抽取样本时应注意的
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