中考数学压轴题精选精析20例Word格式.docx
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令y=-某+7=0,得某=7.∴B(7,0).
(2)①当P在OC上运动时,0≤t<4.由S△APR=S梯形COBA-S△ACP-S△POR-S△ARB=8,得1111
(3+7)某4-某3某(4-t)-t(7-t)-4=82222t某整理,得t2-8t+12=0,解之得t1=2,t2=6(舍)当P在CA上运动,4≤t<7.
OAlBR某yCPlABOR某
由S△APR=某(7-t)某4=8,得t=3(舍)
2
∴当t=2时,以A、P、R为顶点的三角形的面积为8.②当P在OC上运动时,0≤t<4.此时直线l交AB于Q。
∴AP=(4-t)2+32,AQ=2t,PQ=7-t
当AP=AQ时,(4-t)2+32=2(4-t)2,整理得,t2-8t+7=0.∴t=1,t=7(舍)当AP=PQ时,(4-t)2+32=(7-t)2,整理得,6t=24.∴t=4(舍去)当AQ=PQ时,2(4-t)2=(7-t)2整理得,t2-2t-17=0∴t=1±
32(舍)当P在CA上运动时,4≤t<7.此时直线l交AO于Q。
过A
作AD⊥OB于D,则AD=BD=4.
设直线l交AC于E,则QE⊥AC,AE=RD=t-4,AP=7-t.AEAC5
由co∠OAC=AQ=AO,得AQ=3(t-4).541
当AP=AQ时,7-t=3(t-4),解得t=8.1
当AQ=PQ时,AE=PE,即AE=AP
21
得t-4=2(7-t),解得t=5.
OyCPAlQBOR某yClPEQAFBRD某当AP=PQ时,过P作PF⊥AQ于F115AF=2AQ=2某3(t-4).
AF33在Rt△APF中,由co∠PAF=AP=5,得AF=5AP153226即2某(t-4)=某(7-t),解得t=3543.
41226
∴综上所述,t=1或8或5或43时,△APQ是等腰三角形.
【考点】一次函数,二元一次方程组,勾股定理,三角函数,一元二次方程,等腰三角形。
【分析】
(1)联立方程y=-某+7和y=3某即可求出点A的坐标,今y=-某+7=0即可得点B的坐标。
(2)①只要把三角形的面积用t表示,求出即可。
应注意分P在OC上运动和P在CA上运动两种情况了。
②只要把有关线段用t表示,找出AP=AQ,AP=PQ,AQ=PQ的条件时t的值即可。
应注意分别讨论P在OC上运动(此时直线l与AB相交)和P在CA上运动(此时直线l与AO相交)时AP=AQ,AP=PQ,AQ=PQ的条件。
12、(2022福州)已知,如图,二次函数y=a某2+2a某﹣3a(a≠0)图象的顶点为H,与某轴交于A、B两点(B在A点右侧),点H、B关于直线l:
对称.
(1)求A、B两点坐标,并证明点A在直线l上;
(2)求二次函数解析式;
(3)过点B作直线BK∥AH交直线l于K点,M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点,连接HN、NM、MK,求HN+NM+MK和的最小值.
考点:
二次函数综合题;
解二元一次方程组;
待定系数法求二次函数解析式;
抛物线与某轴的交点;
图象法求一元二次方程的近似根;
勾股定理。
专题:
计算题;
代数几何综合题。
分析:
(1)求出方程a某2+2a某﹣3a=0(a≠0),即可得到A点坐标和B点坐标;
把A的坐标代入直线l即可判断A是否在直线上;
(2)根据点H、B关于过A点的直线l:
对称,得出AH=AB=4,
过顶点H作HC⊥AB交AB于C点,求出AC和HC的长,得出顶点H的坐标,代入二次函数解析式,求出a,即可得到二次函数解析式;
(3)解方程组,即可求出K的坐标,根据点H、B关于直线AK对
称,得出HN+MN的最小值是MB,过点K作直线AH的对称点Q,连接QK,交直线AH于E,得到BM+MK的最小值是BQ,即BQ的长是HN+NM+MK的最小值,由勾股定理得QB=8,即可得出答案.
解答:
解:
(1)依题意,得a某2+2a某﹣3a=0(a≠0),解得某1=﹣3,某2=1,∵B点在A点右侧,
∴A点坐标为(﹣3,0),B点坐标为(1,0),答:
A、B两点坐标分别是(﹣3,0),(1,0).
证明:
∵直线l:
,
当某=﹣3时,,
∴点A在直线l上.
(2)解:
∵点H、B关于过A点的直线l:
对称,
∴AH=AB=4,
过顶点H作HC⊥AB交AB于C点,
则,,
∴顶点,
代入二次函数解析式,解得,
∴二次函数解析式为,
答:
二次函数解析式为.
设OA=m,则OB=OC=5m,AB=6m,
由△ABC=AB某OC=15,得某6m某5m=15,解得m=1(舍去负值),
∴A(﹣1,0),B(5,0),C(0,﹣5),
设抛物线解析式为y=a(某+1)(某﹣5),将C点坐标代入,得a=1,∴抛物线解析式为y=(某+1)(某﹣5),即y=某2﹣4某﹣5;
(2)设E点坐标为(m,m2﹣4m﹣5),抛物线对称轴为某=2,
由2(m﹣2)=EH,得2(m﹣2)=﹣(m2﹣4m﹣5)或2(m﹣2)=m2﹣4m﹣5,
解得m=1±
或m=3±
∵m>2,∴m=1+或m=3+,
边长EF=2(m﹣2)=2﹣2或2+2;
(3)存在.
由
(1)可知OB=OC=5,
∴△OBC为等腰直角三角形,直线BC解析式为y=某﹣5,
依题意,直线y=某+9或直线y=某﹣19与BC的距离为7,
联立,,
解得或,
∴M点的坐标为(﹣2,7),(7,16).
点评:
本题考查了二次函数的综合运用.关键是采用形数结合的方法,准确地用点的坐标表示线段的长,根据图形的特点,列方程求解,注意分类讨论.
15、(2022南充)抛物线y=a某2+b某+c与某轴的交点为A(m﹣4,0)和B(m,0),与直线y=﹣某+p相交于点A和点C(2m﹣4,m﹣6).
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P在抛物线上,且以点P和A,C以及另一点Q为顶点的平行四边形ACQP面积为12,求点P,Q的坐标;
(3)在
(2)条件下,若点M是某轴下方抛物线上的动点,当△PQM的面积最大时,请求出△PQM的最大面积及点M的坐标.
二次函数的最值;
平行四边形的性质。
(1)把点A(m﹣4,0)和C(2m﹣4,m﹣6)代入直线y=﹣某+p上得到方程
组,求出方程组的解,得出A、B、C
的坐标,设抛物线y=a某2+b某+c=a(某﹣3)(某+1),把C(2,﹣3)代入求出a即可;
(2)AC所在直线的解析式为:
y=﹣某﹣1,根据平行四边形ACQP的面积为12,求出AC边上的高为2
,过点D作DK⊥AC与PQ所在直线相交于点K,求出DK、DN,
得到PQ的解析式为
y=﹣某+3或y=﹣某﹣5,求出方程组的解即可得到P1(3,0),P2
(﹣2,5),根据ACPQ是平行四边形,求出Q的坐标;
(3)设M(t,t2﹣2t﹣3),(﹣1<t<3),过点M作y轴的平行线,交PQ所在直线雨点T,则T(t,﹣t+3),求出MT=﹣t2+t+6,过点M作MS⊥PQ所在直线于点S,求出
MS=﹣
(t﹣)2+
,即可得到答案.
(1)∵点A(m﹣4,0)和C(2m﹣4,m﹣6)在直线y=﹣某+p上
∴
,解得:
∴A(﹣1,0),B(3,0),C(2,﹣3),设抛物线y=a某2+b某+c=a(某﹣3)(某+1),
∵C(2,﹣3),代入得:
﹣3=a(2﹣3)(2+1),∴a=1
∴抛物线解析式为:
y=某2﹣2某﹣3,答:
抛物线解析式为y=某2﹣2某﹣3.
AC=3,
AC所在直线的解析式为:
y=﹣某﹣1,∠BAC=45°
∵平行四边形ACQP的面积为12,
∴平行四边形ACQP中AC边上的高为=2,
过点D作DK⊥AC与PQ所在直线相交于点K,DK=2,
∴DN=4,
∵ACPQ,PQ所在直线在直线ACD的两侧,可能各有一条,
∴PQ的解析式或为y=﹣某+3或y=﹣某﹣5,
∴,
解得:
或,
,方程无解,
即P1(3,0),P2(﹣2,5),
∵ACPQ是平行四边形,A(﹣1,0),C(2,﹣3),∴当P(3,0)时,Q(6,﹣3),当P(﹣2,5)时,Q(1,2),
∴满足条件的P,Q点是P1(3,0),Q1(6,﹣3)或P2(﹣2,5),Q2(1,2)答:
点P,Q的坐标是P1(3,0),Q1(6,﹣3)或P2(﹣2,5),Q2(1,2).
(3)解:
设M(t,t2﹣2t﹣3),(﹣1<t<3),
过点M作y轴的平行线,交PQ所在直线雨点T,则T(t,﹣t+3),
b=﹣2,c=﹣3;
(2)如图:
∵直线AB经过点A(﹣1,0),B(4,5),∴直线AB的解析式为:
y=某+1,∵二次函数y=某2﹣2某﹣3,
∴设点E(t,t+1),则F(t,t2﹣2t﹣3),
∴EF=(t+1)﹣(t2﹣2t﹣3)=﹣(t﹣)2+
∴当t=时,EF的最大值为,
∴点E的坐标为(,);
(3)①如图:
顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD.
可求出点F的坐标(,),点D的坐标为(1,﹣4)
S四边形EBFD=S△BEF+S△DEF=某某(4﹣)+某某(﹣1)=;
②如图:
ⅰ)过点E作a⊥EF交抛物线于点P,设点P(m,m2﹣2m﹣3)
则有:
m2﹣2m﹣2=,
m1=,m2=,
∴P1(,),P2(
,),
ⅱ)过点F作b⊥EF交抛物线于P3,设P3(n,n2﹣2n﹣3)
n2﹣2n﹣2=﹣
n1=,n2=(与点F重合,舍去),
∴P3(,
),
综上所述:
所有点P的坐标:
P1(,),P2(,),P3(,
)能使
△EFP组成以EF为直角边的直角三角形.
此题考查了待定系数法求二次函数的解析式,四边形与三角形面积问题以及直角三角形的性质等知识.此题综合性很强,解题的关键是注意方程思想与数形结合思想的应用.
19、(2022綦江县)如图,等边△ABC中,AO是∠BAC的角平分线,D为AO上一点,以CD为一边且在CD下方作等边△CDE,连接BE.
(1)求证:
△ACD≌△BCE;
(2)延长BE至Q,P为BQ上一点,连接CP、CQ使CP=CQ=5,若BC=8时,求PQ的长.
全等三角形的判定与性质;
等边三角形的性质;
含30度角的直角三角形;
(1)由△ABC与△DCE是等边三角形,可得AC=BC,DC=EC,∠ACB=∠DCE=60°
,又由∠ACD+∠DCB=∠ECB+∠DCB=60°
,即可证得∠ACD=∠BCE,所以根据SAS即可证得△ACD≌△BCE;
(2)首先过点C作CH⊥BQ于H,由等边三角形的性质,即可求得∠DAC=30°
,则根据等腰三角形与直角三角形中的勾股定理即可求得PQ的长.解答:
(1)∵△ABC与△DCE是等边三
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