直线的参数方程的几何意义文档格式.docx
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若t=0,则点与点M重合.
由此,易得参数t具有如下的性质:
若直线上两点A、B所对应的参数分别为
,则
性质一:
A、B两点之间的距离为,特别地,A、B两点到的距离分别为
性质二:
A、B两点的中点所对应的参数为,若是线段AB的中点,则
,反之亦然。
精编例题讲练
一、求直线上点的坐标
例1.一个小虫从P(1,2)出发,已知它在x轴方向的分速度是−3,在y轴方向的分速度是4,问小虫3s后的位置Q。
分析:
考虑t的实际意义,可用直线的参数方程(t是参数)。
解:
由题意知则直线PQ的方程是,其中时间t是参数,将t=3s代入得Q(−8,12)。
例2.求点A(−1,−2)关于直线l:
2x−3y+1=0的对称点A'
的坐标。
由条件,设直线AA'
的参数方程为(t是参数),
∵A到直线l的距离d=,∴t=AA'
=,
代入直线的参数方程得A'
(−,)。
点评:
求点关于直线的对称点的基本方法是先作垂线,求出交点,再用中点公式,而此处则是充分利用了参数t的几何意义。
二求定点到过定点的直线与其它曲线的交点的距离
例1.设直线经过点(1,5),倾斜角为,
1)求直线和直线的交点到点的距离;
2)求直线和圆的两个交点到点的距离的和与积.
解:
直线的参数方程为(t为参数)
1)将直线的参数方程中的x,y代入,得t=.所以,直线和直线的交点到点的距离为
2)将直线的方程中的x,y代入,得设此方程的两根为,则==10.可知均为负值,所以=
解决本题的关键一是正确写出直线的参数,二是注意两个点对应的参数的符号的异同。
三求直线与曲线相交的弦长
例1过抛物线的焦点作斜角为的直线与抛物线交于A、B两点,求|AB|.
解
因直线的倾角为,则斜率为-1,又抛物线的焦点为F(1,0),则可设AB的方程为
(为参数)
代入整理得
由韦达定理得t1+t2=,t1t2=-16。
∴===.
例2已知直线L:
x+y-1=0与抛物线y=交于A,B两点,求线段AB的长和点M(-1,2)到A,B两点的距离之积.
因为直线L过定点M,且L的倾斜角为,所以它的参数方程是(t为参数)
即(t为参数)
把它代入抛物线的方程,得
解得
由参数t的几何意义得
点评:
本题的解答中,为了将普通方程化为参数方程,先判定点M(-1,2)在直线上,并求出直线的倾斜角,这样才能用参数t的几何意义求相应的距离.这样的求法比用普通方程求出交点坐标,再用距离公式求交点距离简便一些.
四、求解中点问题
例1,已知经过点P(2,0),斜率为的直线和抛物线相交于A,B两点,设线段AB的中点为M,求点M的坐标.
设过点P(2,0)的直线AB的倾斜角为,由已知可得:
cos,
所以,直线的参数方程为(t为参数)
代入,整理得
中点M的相应的参数是=
所以点M的坐标为
在直线的参数方程中,当t>
当t<
0,则的方向向下,所以A,B中点的M所对应的t的值等于,这与二点之点的中点坐标有点相同.
例2.已知双曲线,过点P(2,1)的直线交双曲线于P1,P2,求线段P1P2的中点M的轨迹方程。
中点问题与弦长有关,考虑用直线的参数方程,并注意有t1+t2=0。
设M(x0,y0)为轨迹上任一点,则直线P1P2的方程是(t是参数),代入双曲线方程得:
(2cos2θ−sin2θ)t2+2(2x0cosθ−y0sinθ)t+(2x02−y02−2)=0,
由题意t1+t2=0,即2x0cosθ−y0sinθ=0,得。
又直线P1P2的斜率,点P(2,1)在直线P1P2上,
∴,即2x2−y2−4x+y=0为所求的轨迹的方程。
五,求点的轨迹问题
例1.已知双曲线,过点P(2,1)的直线交双曲线于P1,P2,求线段P1P2的中点M的轨迹方程。
中点问题与弦长有关,考虑用直线的参数方程,并注意有t1+t2=0。
由题意t1+t2=0,即2x0cosθ−y0sinθ=0,得。
六、求定点到动点的距离
例1.直线l过点P(1,2),其参数方程为(t是参数),直线l与直线2x+y−2=0交于点Q,求PQ。
将直线l的方程化为标准形式,代入2x+y−2=0得t'
∴PQ=|t'
|=。
题目给出的直线的参数并不是位移,直接求解容易出错,一般要将方程改成以位移为参数的标准形式。
例2.经过点P(−1,2),倾斜角为的直线l与圆x2+y2=9相交于A,B两点,求PA+PB和PA·
PB的值。
直线l的方程可写成,代入圆的方程整理得:
t2+t−4=0,设点A,B对应的参数分别是t1,t2,则t1+t2=−,t1·
t2=−4,由t1与t2的符号相反知PA+PB=|t1|+|t2|=|t1−t2|==3,PA·
PB=|t1·
t2|=4。
七、求直线与曲线相交弦的长
例1.已知抛物线y2=2px,过焦点F作倾斜角为θ的直线交抛物线于A,B两点,求证:
。
弦长AB=|t1−t2|。
由条件可设AB的方程为(t是参数),代入抛物线方程,
得t2sin2θ−2ptcosθ−p2=0,由韦达定理:
,
∴AB=|t1−t2|===。
例2.已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,过椭圆左焦点F且倾斜角为60°
的直线交椭圆于A,B两点,若FA=2FB,求则椭圆的离心率。
FA=2FB转化成直线参数方程中的t1=−2t2或|t1|=2|t2|。
设椭圆方程为,左焦点F1(c,0),直线AB的方程为,代入椭圆整理可得:
(b2+a2)t2−b2ct−b4=0,由于t1=−2t2,则
,①2×
2+②得:
,将b2=a2−c2代入,
8c2=3a2+a2−c2,得,故e=。
在研究线段的长度或线段与线段之间的关系时,往往要正确写出直线的参数方程,利用t的几何意义,结合一些定理和公式来解决问题,这是直线参数的主要用途;
通过直线参数方程将直线上动点坐标用同一参变量t来表示,可以将二元问题转化为一元问题来求解,体现了等价转化和数形结合的数学思想。
知识巩固训练
应用一:
求距离
例1、直线过点,倾斜角为,且与圆相交于A、B两点。
(1)求弦长AB.
(2)求和的长。
应用二:
求点的坐标
例2、直线过点,倾斜角为,求出直线上与点相距为4的点的坐标。
应用三:
解决有关弦的中点问题
例3、过点,倾斜角为的直线和抛物线相交于A、B两点,求线段AB的中点M点的坐标。
教师课
后小结
签字
教学主任:
教学组长:
学生/家长:
因为直线过点,倾斜角为,所以直线的参数方程为
,即,(t为参数),代入圆方程,得
,整理得
(1)设A、B所对应的参数分别为,所以,,
所以
(2)解方程得,,
所以,
,即,(t为参数),
(1)
设直线上与已知点相距为4的点为M点,且M点对应的参数为t,则
,所以,将t的值代入
(1)式,
当t=4时,M点的坐标为;
当t=-4时,M点的坐标为,
综上,所求M点的坐标为或.
点评:
若使用直线的普通方程,利用两点间的距离公式求M点的坐标较麻烦,而使用直线的参数方程,充分利用参数t的几何意义求M点的坐标较容易。
直线过点,倾斜角为,所以直线的参数方程为
,(t为参数),因为直线和抛物线相交,将直线的参数方程代入抛物线方程
中,得:
,整理得,
,设这个二次方程的两个根为,
由韦达定理得,由M为线段AB的中点,根据t的几何意义,得
,易知中点M所对应的参数为,将此值代入直线的参数方程得,M点的坐标为(2,1)
对于上述直线的参数方程,A、B两点对应的参数为,则它们的中点所对应的参数为
..
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