数值计算方法-全套课件优质PPT.pptx
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数值计算方法-全套课件优质PPT.pptx
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00每周作业(50%)提交时间:
每次布置作业后一周内,注意截止时间提交到课程网站,程序+报告文档,一个压缩文件期末作业(30%)自选题目截止提交时间6月26日24:
00利用数值方法解决问题专业领域、以往课程、社会生活解析解?
数值解?
分析,21,2016/5/1,数值计算方法,考核方式,必须遵守学术道德规范,鼓励相互之间进行讨论,但提交的作业必须独立完成。
杜绝抄袭!
23,数值计算方法,作业要求,完整性程序+文档报告要求问题分析程序(算法、必要的注释)结果分析排版、格式(清晰、美观),22,数值计算方法,作业题例,数值计算方法,19,在对汽车、机器人以及其他运动器械的控制时,经常需要获得其移动距离的数据通过对于一连串采样点(即时速度)的插值,得到速度关于时间的函数,再对于速度进行积分,即可得到对象所运动的距离,总长度为5451.24米,作业题例西湖面积,数值计算方法,20,作业题例上海世博会参观人数过千万时间点,数值计算方法,21,作业题例手,数值计算方法,22,作业题例任意球,数值计算方法,23,数学建模与工程问题求解,数值计算方法,24,问题定义,数学模型,数值或图形结果,实现,理论,数据,问题求解工具:
计算机、统计学、数值方法、图解法等,社会应用:
调度、最优化、通信等等,数学模型(MathematicalModel),数值计算方法,25,用数学语言来表达物理系统或过程本质特征的公式或方程。
因变量=f(自变量,参数,强制函数)因变量(dependentvariable):
用来刻画系统行为或状态的特征量;
自变量(independentvariable):
通常为维度,如时间和空间,系统的行为是用自变量来确定的;
参数(parameter):
反映系统的性质或组成;
强制函数(forcingfunction):
外部对系统施加的影响。
一个简单的数学模型牛顿第二定律,数值计算方法,26,F=maa=F/ma为因变量,表示了系统的行为;
F为强制函数;
m为表示系统性质的参数;
在这种简单的情况下,没有自变量,没有涉及到加速度a在随时间或空间的变化。
物理世界中数学模型的几个典型特点:
用数学语言描述自然过程或系统;
代表了一种理想情况,或是对现实的简化。
即忽略了自然过程的不重要的细节,而集中于自然过程的本质特征;
得到的是一个可以重现的结果,可以用来做预测。
降落伞问题(FallingParachutistProblem),数值计算方法,27,确定降落伞的最后速度加速度表示为速度的变化率,FU,FD,dvFdtm,如果净受力为正,物体加速运动;
如果为负,物体减速运动;
如果为0,物体速度不变。
假定向下的力为正,FDmgFUcvc为比例系数,称为阻力系数(dragcoefficient(kg/s))。
参数c说明了下降物体的特征,如形状或表面的粗糙程度。
降落伞问题(FallingParachutistProblem),数值计算方法,28,模型微分方程(differentialequation)dvmgcvgcvdtmm若初始时处于静止状态(t=0时,v=0),可得,gm,c,v(t),1e(c/m)t,v(t)为因变量;
t为自变量;
c和m为参数;
g为强制函数。
问题:
从静止热气球中弹出一个质量为68.1kg的降落伞,阻力系数等于12.5kg/sv(t)9.868.11e(12.5/68.1)t53.391e0.18355t12.5,降落伞问题(FallingParachutistProblem),数值计算方法,29,2,4,6,8,10,12,14,00,5040302010,60,t(s)解析解或精确解但许多模型不能精确地求解数值方法对数学问题进行变换,使得它可以用算术运算来求解,v(m/s),终速,数值计算方法,30,降落伞问题(FallingParachutistProblem),数值方法:
在时刻ti处导数的有限差商近似,dvvv(ti1)v(ti),dtt,ti1ti,dt,dvlimv,t0t,i,v(t)t,cm,i1i,i1i,v(t)v(t)g,t,欧拉法,0,2,4,6,8,10,12,14,0,10,20,30,40,50,60,t(s),v(m/s),数值解,解析解,终速,用直线段来近似表示连续的曲线,函数,因此两者之间存在一定差异。
可以用更小的步长使误差减小计算量与精度之间的权衡,数值计算方法,数值计算方法,31,数值计算方法是一门根据计算机特点,研究通过计算机求工程问题满足精度要求的近似解的学科。
将所欲求解的数学模型(数学问题)简化成一系列算术运算和逻辑运算,以便在计算机上求出问题的数值解,并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析、计算。
算法,数值计算方法,32,基本运算和运算顺序的规定所组成的整个解题方案和步骤。
一般可以通过框图(流程图)来较直观地描述算法的全貌。
选择合适的算法是整个数值计算中非常重要的一个环节。
算法的选择,数值计算方法,33,例:
计算多项式的值,直接计算,,再逐次相加,共需,只要n次乘法和n次加法即可。
(霍纳Horner1819年),P(x)axnaxn1axann110,i,i,ax(i0,1,2,n),12(n1)nn(n1)2次乘法和n次加法。
秦九韶(我国宋朝数学家)算法(1247年),P(x)(anxan1)xan2)xa2)xa1)xa0,算法,数值计算方法,34,算法的优劣直接影响计算的速度和效率对于小型问题,计算速度和占用计算机内存的多寡似乎意义不大,但对复杂的大型问题却起着决定性作用。
不合适的算法还会由于计算机计算的近似性和误差的传播、积累直接影响到计算结果的精度,甚至影响到计算的成败。
算法的数值稳定性,第一章绪论,数值计算方法,35,课程简介什么是数值计算方法?
数值计算方法的主要内容数值计算中的误差误差的种类及其来源绝对误差与相对误差有效数字与误差舍入误差与截断误差误差的传播与估计算法的数值稳定性,误差的种类,数值计算方法,36,舍入误差(round-offerror)由于计算机只能表示有限位数的量而引起的截断误差(truncationerror)由于数值方法可能运用近似方法表示准确数值运算或数量而引起的不与数值方法本身直接相关的误差粗差形式化或模型误差数据不确定性误差,有效数字(significantdigit),数值计算方法,37,为了正式规定数值的可靠程度一个数的有效数字是指可以放心使用的那些数字有效数字对应于确定数字和一个估计数字的总位数数值方法得到的是近似解,所以必须建立准则来规定近似结果的可信度。
建立准则的一种方法是基于有效数字实现的,例如:
如果有4位有效数字是正确的,可能就认定得到的近似结果是可以接受的。
计算机只能保留有限个有效数字。
保留有效数字后被省略的部分称为舍入误差。
如:
3.141592653589793238462643,准确度(accuracy)与精确度(precision),数值计算方法,38,准确度计算值或测量值与真值接近的程度精度或精确度各计算值或测量值相互之间的集中程度,准确度(accuracy)与精确度(precision)射击的例子,数值计算方法,39,准确度增加,精确度增加,(a)既不准确也不精确,(b)准确但不精确,(c)不准确但精确,(d)既准确也精确,数值计算方法,40,误差的定义,数值误差源于用近似方法表示准确的数学运算和准确的数量数值误差包括截断误差和舍入误差当用近似方法表示准确数学过程时会出现截断误差当用有限个有效数字表示准确的数时会引起舍入误差绝对误差真值=近似值+误差误差=真值-近似值,相对误差,Exx*,r,x,E100%,绝对误差可正可负,一般E的准确值很难求出。
可用真值的最优估计值代替真值,或者给出误差的一个上界(x*)(误差限)。
当x=0时,相对误差无意义,准确值x往往未知,故常用x*代替x,,相对误差限为(x*)/|x*|。
误差计算例1,数值计算方法,41,问题:
假设对一座桥梁和一个铆钉的长度进行了测量,测量的结果分别为9999cm和9cm。
如果真值分别为10000cm和10cm,计算两种情况下的真误差和真相对误差,解:
(a)桥梁的真误差为铆钉的真误差为(b)桥梁的相对误差为,铆钉的相对误差为,Et1000099991cmEt1091cm,10000,r,1100%0.01%,10,r,1100%10%,尽管两个绝对误差都是1cm,但测量铆钉的相对误差要大得多,因此,我们对桥梁的测量已经够准确了,但对铆钉的估计在某种程度上偏离了希望值。
误差例2,数值计算方法,42,已知=3.1415926,若取近似数为x*3.14,则Ex*0.0015926,E0.002(x*)为x*的误差限,相,*,r,x*,(x*),对误差限为(x),0.0007,通常在x有多位数字时,若取前有限位数的数字作为近似值,都采用四舍五入原则,他们的误差限都不超过近似数x*末位数的半个单位,即3.1411023.1416110
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