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无穷维问题,变分学柯西:
最早应用最速下降法,拉格朗日,1797,Minf(x1x2xn)s.t.gk(x1x2xn)=0,k=1,2,m,2022/10/19,10,1930年代,康托诺维奇:
线性规划1940年代,Dantzig:
单纯形方法,冯诺依曼:
对策论1950年代,Bellman:
动态规划,最优性原理;
KKT条件;
1960年代:
Zoutendijk,Rosen,Carroll,etc.非线性规划算法,Duffin,Zener等几何规划,Gomory,整数规划,Dantzig等随机规划6-70年代:
Cook等复杂性理论,组合优化迅速发展,电子计算机-最优化,2022/10/19,11,最优化应用举例,具有广泛的实用性运输问题,车辆调度,员工安排,空运控制等工程设计,结构设计等资源分配,生产计划等通信:
光网络、无线网络,adhoc等.制造业:
钢铁生产,车间调度等医药生产,化工处理等电子工程,集成电路VLSIetc.排版(TEX,Latex,etc.),2022/10/19,12,1.食谱问题,我每天要求一定量的两种维生素,Vc和Vb。
假设这些维生素可以分别从牛奶和鸡蛋中得到。
需要确定每天喝奶和吃蛋的量,目标以便以最低可能的花费购买这些食物,而满足最低限度的维生素需求量。
2022/10/19,13,1.食谱问题(续),令x表示要买的奶的量,y为要买的蛋的量。
食谱问题可以写成如下的数学形式:
运筹学工作者参与建立关于何时出现最小费用(或者最大利润)的排序,或者计划,早期被标示为programs。
求最优安排或计划的问题,称作programming问题。
Min3x+2.5ys.t.2x+4y403x+2y50x,y0.,极小化目标函数可行区域(单纯形)可行解,2022/10/19,14,2运输问题,设某种物资有m个产地A1,A2,Am,各产地的产量是a1,a2,am;
有n个销地B1,B2,Bn.各销地的销量是b1,b2,bn.假定从产地Ai(i=1,2,m)到销地Bj(j=1,2,n)运输单位物品的运价是cij问怎样调运这些物品才能使总运费最小?
如果运输问题的总产量等于总销量,即有,则称该运输问题为产销平衡问题;
反之,称产销不平衡问题。
2022/10/19,15,令xij表示由产地Ai运往销地Bj的物品数量,则产销平衡问题的数学模型为:
2运输问题(续),2022/10/19,16,以价格qi购买了si份股票i,i=1,2,n股票i的现价是pi你预期一年后股票的价格为ri在出售股票时需要支付的税金=资本收益30%扣除税金后,你的现金仍然比购买股票前增多支付1%的交易费用例如:
将原先以每股30元的价格买入1000股股票,以每股50元的价格出售,则净现金为:
501000-0.3(50-30)1000-0.1501000=39000,3税下投资问题,2022/10/19,17,我们的目标是要使预期收益最大。
Xi:
当前抛出股票i的数量。
3税下投资问题(续),2022/10/19,18,4选址问题
(1),实例:
一组潜在位置(地址),一组顾客集合及相应的利润和费用数据;
解:
设施开放(使用)的数目,他们的位置,以及顾客被哪个设施服务的具体安排方案;
目标:
总的利润最大化。
数据与约束J=1,2,n:
放置设施的可能的潜在位置集合I=1,2,m:
顾客集合,其要求的服务需要某设施所提供.,2022/10/19,19,4选址问题
(2),2022/10/19,20,4选址问题(3),2022/10/19,21,5负载平衡
(1),实例:
网络G(V,E)及一组m个数的集合s,d0,表示连接源点s与汇点d之间的流量解:
s,d0的一组路由,即G(V,E)中m条s与d间的路,表示连接s与d的负载流量的路径。
目标:
极小化网络负载,2022/10/19,22,5负载平衡
(2),2022/10/19,23,6.结构设计问题,两杆桁架的最优设计问题。
由两根空心圆杆组成对称的两杆桁架,其顶点承受负载为2p,两支座之间的水平距离为2L,圆杆的壁厚为B,杆的比重为,弹性模量为E,屈吸强度为。
求在桁架不被破坏的情况下使桁架重量最轻的桁架高度h及圆杆平均直径d。
2022/10/19,24,6.结构设计问题,2022/10/19,25,6.结构设计问题,此应力要求小于材料的屈吸极限,即,解:
桁杆的截面积为:
桁杆的总重量为:
负载2p在每个杆上的分力为:
于是杆截面的应力为:
2022/10/19,圆杆中应力小于等于压杆稳定的临界应力。
由材料力学知:
压杆稳定的临界应力为,由此得稳定约束:
6.结构设计问题,2022/10/19,TPSHUAI,26,另外还要考虑到设计变量d和h有界。
从而得到两杆桁架最优设计问题的数学模型:
6.结构设计问题,2022/10/19,TPSHUAI,27,28,基本概念,在上述例子中,有的目标函数和约束函数都是线性的,称之为线性规划问题,而有的模型中含有非线性函数,称之为非线性规划.在线性与非线性规划中,满足约束条件的点称为可行点,全体可行点组成的集合称为可行集或可行域.如果一个问题的可行域是整个空间,则称此问题为无约束问题.,2022/10/19,29,基本概念,最优化问题可写成如下形式:
2022/10/19,30,基本概念,Df1.1设f(x)为目标函数,S为可行域,x0S,若对每一个xS,成立f(x)f(x0),则称x0为极小化问题minf(x),xS的最优解(整体最优解),则称x0为极小化问题minf(x),xS的局部最优解,Df1.2设f(x)为目标函数,S为可行域,,2022/10/19,31,Thankyouverymuchforyourattendance!
优化软件http:
/www-neos.mcs.anl.gov/http:
/neos.mcs.anl.gov/neos/solvers/index.html,2022/10/19,TPSHUAI,32,最优化理论与算法,帅天平北京邮电大学数学系Email:
Tel:
62281308,Rm:
主楼8141预备知识,2022/10/19,TPSHUAI,32,TPSHUAI,33,1,预备知识,1.线性空间2.范数3.集合与序列4.矩阵的分解与校正,2022/10/19,TPSHUAI,33,TPSHUAI,34,1.线性空间,Df1.3:
给定一非空集合G以及在G上的一种代数运算+:
GGG(称为加法),若下述条件成立:
则称为一个群.若还满足对任意的a,bG,有a+b=b+a,则称为一个阿贝尔群(&
交换群),2022/10/19,TPSHUAI,34,TPSHUAI,35,1.线性空间,Df1.4:
给定一非空集合V和一个域F,并定义两种运算加法+:
VVV以及数乘:
FVV.若构成一交换群,且两种运算满足下面性质:
则称V在域F上关于加法和数乘运算构成一线性空间,简称V为F上的线性空间.记为V(F).若V的非空子集合S关于加法和数乘运算在F上也构成一线性空间,则S称为F上的线性子空间.,2022/10/19,TPSHUAI,35,TPSHUAI,36,1.线性空间,例子,2022/10/19,TPSHUAI,36,TPSHUAI,37,1.线性空间,2022/10/19,TPSHUAI,37,TPSHUAI,38,1.线性空间,Th1.1线性空间V(F)的非空子集S的线性扩张L(S)是V中包含S的最小子空间.,2022/10/19,TPSHUAI,38,TPSHUAI,39,1.线性空间,2022/10/19,TPSHUAI,39,TPSHUAI,40,1.线性空间,2022/10/19,TPSHUAI,40,TPSHUAI,41,2.范数,2022/10/19,TPSHUAI,41,TPSHUAI,42,2.范数,2022/10/19,TPSHUAI,42,TPSHUAI,43,2.范数,2022/10/19,TPSHUAI,43,TPSHUAI,44,3.集合与序列,2022/10/19,TPSHUAI,44,TPSHUAI,45,3,集合与序列,2022/10/19,TPSHUAI,45,TPSHUAI,46,3.集合与序列,2022/10/19,TPSHUAI,46,TPSHUAI,47,3.集合与序列,2022/10/19,TPSHUAI,47,TPSHUAI,48,4.矩阵的分解与校正,Th1.5若n阶矩阵A可逆,则存在一个排列矩阵P,单位下三角矩阵L和上三角矩阵U,使得PA=LU,2022/10/19,TPSHUAI,48,TPSHUAI,49,4.矩阵的分解与校正,Th1.6设A为对称正定矩阵,则
(1)矩阵A可唯一的分解成A=LDLT,其中L为单位下三角矩阵,D为对角矩阵
(2)存在可逆的下三角矩阵L,使得A=LLT.当L的对角元素为正时,分解是唯一的。
(Cholesky分解),2022/10/19,TPSHUAI,49,TPSHUAI,50,4.矩阵的分解与校正,2022/10/19,TPSHUAI,50,TPSHUAI,51,4.矩阵的分解与校正,2022/10/19,TPSHUAI,51,TPSHUAI,52,5.函数的可微性与展开,2022/10/19,TPSHUAI,52,TPSHUAI,53,5.函数的可微性与展开,当f(x)在x点存在二阶偏导时,函数f在点x的Hesse矩阵定义为,2022/10/19,TPSHUAI,53,TPSHUAI,54,5.函数的可微性与展开,20
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