普通高等学校招生全国统一考试湖南卷数学文科word版有答案Word文档下载推荐.docx
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绝密★启用前
数 学(文史类)
本试题卷他选择题和非选择题(包括填空题和解答题)两部分.选择题部分1至2页.非选择题部分3至5页.时量120分钟.满分150分.
参考公式:
如果事件、互斥,那么
如果事件、相互独立,那么
如果事件在一次试验中发生的概率是,那么次独立重复试验中恰好发生次的概率是
球的体积公式,球的表面积公式,其中表示球的半径
一.选择题:
本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.函数的定义域是
A.(0,1] B.(0,+∞) C.(1,+∞) D.[1,+∞)
2.已知向量若时,∥;
时,,则
A. B.
C. D.
3.若的展开式中的系数是80,则实数a的值是
A.-2 B. C. D.2
4.过半径为12的球O表面上一点A作球O的截面,若OA与该截面所成的角是60°
则该截面的面积是
A.π B.2π C. 3π D.
5.“a=1”是“函数在区间[1,+∞)上为增函数”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.在数字1,2,3与符号+,-五个元素的所有全排列中,任意两个数字都不相邻的全排列个数是
A.6 B.12 C.18 D.24
7.圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是
A.36 B.18 C. D.
8.设点P是函数的图象C的一个对称中心,若点P到图象C的对称轴上的距离的最小值,则的最小正周期是
A.2π B.π C. D.
9.过双曲线M:
的左顶点A作斜率为1的直线l,若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C,且,则双曲线M的离心率是
A. B. C. D.
10.如图1:
OM∥AB,点P由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界).且,则实数对(x,y)可以是
A. B.
C.D.
二.填空题:
本大题共5小题,每小题4分,共20分,把答案填在答题上部 对应题号的横上.
11.若数列满足:
,2,3….则 .
12.某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班.其中甲班有40人,乙班50人.现分析两个班的一次考试成绩,算得甲班的平均成绩是90分,乙班的平均成绩是81分,则该校数学建模兴趣班的平均成绩是 分.
13.已知则的最小值是 .
14.过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线共有 条.
15.若是偶函数,则a=.
三.解答题:
本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分12分)
已知求θ的值.
17.(本小题满分12分)
某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检).若安检不合格,则必须整改.若整改后经复查仍不合格,则强制关闭.设每家煤矿安检是否合格是相互独立的,且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5,整改后安检合格的概率是0.8,计算(结果精确到0.01):
(Ⅰ)恰好有两家煤矿必须整改的概率;
(Ⅱ)某煤矿不被关闭的概率;
(Ⅲ)至少关闭一家煤矿的概率.
18.(本小题满分14分)
如图2,已知两个正四棱锥P-ABCD与
Q-ABCD的高都是2,AB=4.
(Ⅰ)证明PQ⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求异面直线AQ与PB所成的角;
(Ⅲ)求点P到平面QAD的距离.
19.(本小题满分14分)
已知函数.
(I)讨论函数的单调性;
(Ⅱ)若曲线上两点A、B处的切线都与y轴垂直,且线段AB与x轴有公共点,求实数a的取值范围.
20.(本小题满分14分)
在m(m≥2)个不同数的排列P1P2…Pn中,若1≤i<j≤m时Pi>Pj(即前面某数大于后面某数),则称Pi与Pj构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数.记排列的逆序数为an,如排列21的逆序数,排列321的逆序数.
(Ⅰ)求a4、a5,并写出an的表达式;
(Ⅱ)令,证明,n=1,2,….
21.(本小题满分14分)
已知椭圆C1:
,抛物线C2:
,且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点.
(Ⅰ)当轴时,求p、m的值,并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上;
(Ⅱ)若且抛物线C2的焦点在直线AB上,求m的值及直线AB的方程.
参考答案:
1-10:
DCDAABCBCDC
11.,12.85,13.5,14.6,15.-3.
16.解 由已知条件得.
即.
解得.
由0<θ<π知,从而.
17.解 (Ⅰ)每家煤矿必须整改的概率是1-0.5,且每家煤矿是否整改是相互独立的.所以恰好有两家煤矿必须整改的概率是.
(Ⅱ)解法一 某煤矿被关闭,即该煤矿第一次安检不合格,整改后经复查仍不合格,所以该煤矿被关闭的概率是,从而煤矿不被关闭的概率是0.90.
解法二 某煤矿不被关闭包括两种情况:
(i)该煤矿第一次安检合格;
(ii)该煤矿第一次安检不合格,但整改后合格.
所以该煤矿不被关闭的概率是.
(Ⅲ)由题设(Ⅱ)可知,每家煤矿不被关闭的概率是0.9,且每家煤矿是否被关闭是相互独立的,所以到少关闭一家煤矿的概率是.
18.解法一 (Ⅰ)连结AC、BD,设.
由P-ABCD与Q-ABCD都是正四棱锥,所以PO⊥平面ABCD,QO⊥平面ABCD.
从而P、O、Q三点在一条直线上,所以PQ⊥平面ABCD.
(Ⅱ)由题设知,ABCD是正方形,所以AC⊥BD.
由(Ⅰ),QO⊥平面ABCD.故可分别以直线CA、DB、QP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图),由题条件,相关各点的坐标分别是P(0,0,2),A(,0,0),Q(0,0,-2),B(0,,0).
所以
于是.
从而异面直线AQ与PB所成的角是.
(Ⅲ)由(Ⅱ),点D的坐标是(0,-,0),,
,设是平面QAD的一个法向量,由
得.
取x=1,得.
所以点P到平面QAD的距离.
解法二 (Ⅰ)取AD的中点,连结PM,QM.
因为P-ABCD与Q-ABCD都是正四棱锥,
所以AD⊥PM,AD⊥QM.从而AD⊥平面PQM.
又平面PQM,所以PQ⊥AD.
同理PQ⊥AB,所以PQ⊥平面ABCD.
(Ⅱ)连结AC、BD设,由PQ⊥平面ABCD及正四棱锥的性质可知O在PQ上,从而P、A、Q、C四点共面.
因为OA=OC,OP=OQ,所以PAQC为平行四边形,AQ∥PC.
从而∠BPC(或其补角)是异面直线AQ与PB所成的角.
因为,
所以.
(Ⅲ)连结OM,则.
所以∠PMQ=90°
,即PM⊥MQ.
由(Ⅰ)知AD⊥PM,所以PM⊥平面QAD.从而PM的长是点P到平面QAD的距离.
在直角△PMO中,.
即点P到平面QAD的距离是.
19.解 (Ⅰ)由题设知.
令.
当(i)a>
0时,
若,则,所以在区间上是增函数;
若,则,所以在区间上是减函数;
(ii)当a<0时,
若,则,所以在区间上是减函数.
(Ⅱ)由(Ⅰ)的讨论及题设知,曲线上的两点A、B的纵坐标为函数的极值,且函数在处分别是取得极值,.
因为线段AB与x轴有公共点,所以.
即.所以.
故.
解得 -1≤a<0或3≤a≤4.
即所求实数a的取值范围是[-1,0)∪[3,4].
20.解 (Ⅰ)由已知得,
.
(Ⅱ)因为,
所以.
又因为,
所以
=.
综上,.
21.解 (Ⅰ)当AB⊥x轴时,点A、B关于x轴对称,所以m=0,直线AB的方程为
x=1,从而点A的坐标为(1,)或(1,-).
因为点A在抛物线上,所以,即.
此时C2的焦点坐标为(,0),该焦点不在直线AB上.
(Ⅱ)解法一 当C2的焦点在AB时,由(Ⅰ)知直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为.
由消去y得.……①
设A、B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
则x1,x2是方程①的两根,x1+x2=.
因为AB既是过C1的右焦点的弦,又是过C2的焦点的弦,
所以,且
.
从而.
所以,即.
因为C2的焦点在直线上,所以.
当时,直线AB的方程为;
当时,直线AB的方程为.
解法二 当C2的焦点在AB时,由(Ⅰ)知直线AB的斜率存在,设直线AB的方程
为.
由消去y得. ……①
因为C2的焦点在直线上,
所以,即.代入①有.
即.……②
则x1,x2是方程②的两根,x1+x2=.
由消去y得. ……③
由于x1,x2也是方程③的两根,所以x1+x2=.
从而=.解得.
解法三 设A、B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
因为AB既过C1的右焦点,又是过C2的焦点,
即.……①
由(Ⅰ)知,于是直线AB的斜率, ……②
且直线AB的方程是,
所以.……③
又因为,所以.……④
将①、②、③代入④得,即.
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