中考数学一轮复习培优训练《三角形》及答案文档格式.docx
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3.如下图,在△ABC中,AB=BC,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,AD与BE交于点F,BH⊥AB于点B,点M是BC的中点,连接FM并延长交BH于点H.
(1)在图1中,∠ABC=60°
,AF=3时,FC= ,BH= ;
(2)在图2中,∠ABC=45°
,AF=2时,FC= ,BH= ;
(3)从第
(1)、
(2)中你发现了什么规律?
在图3中,∠ABC=30°
,AF=1时,试猜想BH等于多少?
并证明你的猜想.
4.在图1、2中,已知∠ABC=120°
,BD=2,点E为直线BC上的动点,连接DE,以DE为边向上作等边△DEF,使得点F在∠ABC内部,连接BF.
(1)如图1,当BD=BE时,∠EBF= ;
(2)如图2,当BD≠BE时,
(1)中的结论是否成立?
若成立,请予以证明,若不成立请说明理由;
(3)请直接写出线段BD,BE,BF之间的关系式.
5.在△ABC中,AC=BC,点E是在AB边上一动点(不与A、B重合),连接CE,点P是直线CE上一个动点.
(1)如图1,∠ACB=120°
,AB=16,E是AB中点,EM=2,N是射线CB上一个动点.
试确定点P和点N的位置,使得NP+MP的值最小.
①请你在图2中画出点P和点N的位置,并简述画法:
.
②直接写出NP+MP的最小值 .
(2)如图3,∠ACB=90°
,连接BP,∠BPC=75°
且BC=BP求证:
PC=PA.
6.探究题:
如图,AB⊥BC,射线CM⊥BC,且BC=5cm,AB=1cm,点P是线段BC(不与点B、C重合)上的动点,过点P作DP⊥AP交射线CM于点D,连结AD.
(1)如图1,若BP=4cm,则CD= ;
(2)如图2,若DP平分∠ADC,试猜测PB和PC的数量关系,并说明理由;
(3)若△PDC是等腰三角形,则CD= cm.(请直接写出答案)
7.综合与探究
如图,在平面直角坐标系中,∠ABC=90°
,AB=BC,点A(2,0)、B(0,1).
(1)在图①中,点C坐标为 ;
(2)如图②,点D在线段OA上,连接BD,作等腰直角三角形BDE,∠DBE=90°
,连接CE.证明:
AD=CE;
(3)在图②的条件下,若C、D、E三点共线,求OD的长;
(4)在y轴上找一点F,使△ABF面积为2.请直接写出所有满足条件的点F的坐标.
8.已知点P是线段MN上一动点,分别以PM,PN为一边,在MN的同侧作△APM,△BPN,并连接BM,AN.
(Ⅰ)如图1,当PM=AP,PN=BP且∠APM=∠BPN=90°
时,试猜想BM,AN之间的数量关系与位置关系,并证明你的猜想;
(Ⅱ)如图2,当△APM,△BPN都是等边三角形时,(Ⅰ)中BM,AN之间的数量关系是否仍然成立?
若成立,请证明你的结论;
若不成立,试说明理由.
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,连接AB得到图3,当PN=2PM时,求∠PAB度数.
9.阅读下列材料,完成
(1)~(3)题:
数学课上,老师出示了这样一道题:
如图1,△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°
,点D是BC的中点,E是AC的中点,经过点A、C作射线BE的垂线,垂足分别为点F、G,连接AG.探究线段DF和AG的关系.某学习小组的同学经过思考后,交流了自己的想法:
小明:
“经过观察和度量,发现∠ABF和∠ACG相等.”小刚:
“经过观察和度量,发现有两条线段和AF相等.”
小伟:
“通过构造全等三角形,经过进一步推理,可以得到线段DF和AG的关系.”
……
老师:
“若点E不是AC的中点,其他条件不变(如图2),可以求出的值.”
(1)求证:
AF=FG;
(2)探究线段DF和AG的关系,并证明;
(3)直接写出的值.
10.在△ABC中,AB=AC,点D是直线BC上一点(不与B,C重合),以AD为一边在AD的右侧作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE.
(1)如图1,当点D在线段BC上,如果∠BAC=90°
,则∠BCE= 度;
(2)如图2,如果∠BAC=60°
(3)设∠BAC=α,∠BCE=β.
①如图3,当点D在线段BC上移动,则α,β之间有怎样的数量关系?
请说明理由;
②当点D在直线BC上移动,请直接写出α,β之样的数量关系,不用证明.
11.在平面直角坐标系中,点A(0,m)和点B(n,0)分别在y轴和x轴的正半轴上,满足(m﹣n)2+|m+n﹣8|=0,连接线段AB,点C为AB上一动点.
(1)填空:
m= ,n= ;
(2)如图,连接OC并延长至点D,使得DC=OC,连接AD.若△AOC的面积为2,求点D的坐标;
(3)如图,BC=OB,∠ABO的平分线交线段AO于点E,交线段OC于点F,连接EC.求证:
①△ACE为等腰直角三角形;
②BF﹣EF=OC.
12.如图,在平面直角坐标系中,点B的坐标是(﹣1,0),点C的坐标是(1,0),点D为y轴上一点,点A为第二象限内一动点,且∠BAC=2∠BDO,BD与AC交于点F,过D作DM⊥AC于点M.
∠ABD=∠ACD.
(2)若点E在BA延长线上,求证:
AD平分∠CAE.
(3)在线段MC上取点G,使DG=AD,求证:
AB=CG.
13.如图
(1),在四边形ABCD中,已知∠ABC+∠ADC=180°
,AB=AD,AB⊥AD,点E在CD的延长线上,且∠BAC=∠DAE.
AC=AE;
(2)求证:
CA平分∠BCD;
(3)如图
(2),设AF是△ABC的边BC上的高,试求CE与AF之间的数量关系.
14.如图1,在△ABC中,AB=AC,点D是BC边上一点(不与点B,C重合),以AD为边在AD的右侧作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE.设∠BAC=α,∠BCE=β.
△CAE≌△BAD;
(2)探究:
当点D在BC边上移动时,α、β之间有怎样的数量关系?
(3)如图2,若∠BAC=90°
,CE与BA的延长线交于点F.求证:
EF=DC.
15.
(1)如图1,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于D,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.求证:
DE=DF,AE=AF.
(2)如图2,在
(1)的情况下,如果∠MDN=∠EDF,∠MDN的两边分别与AB、AC相交于M、N两点,其它条件不变,那么AM,AN,AF有怎样的数量关系?
并加以证明.
(3)如图3,在Rt△ABC中,∠C=90°
,∠BAC=60°
,AC=6,AD平分∠BAC交BC于D,∠MDN=120°
,ND∥AB,四边形AMDN的周长为 .(直接写答案).
参考答案
1.
(1)证明:
∵∠DCE=∠ACB=90°
,
∴∠ACD=∠BCE,
又∵AC=BC,CE=CD,
∴△ACD≌△BCE(SAS),
∴∠ADC=∠BEC.
(2)如图1,延长DC交AE于F,连BF,
∵AE∥BD,
∴∠EFC=∠CDB=45°
.
∵EC⊥CD,∠CEF=∠CFE=45°
∴EC=CF.
∵∠ACE=∠BCF,AC=BC,
∴△ACE≌△BCF(SAS),
∴AE=BF,∠BFC=∠AEC=45°
=∠FDB,
∴BF=BD,
∴AE=BD;
(3)如图2,过点C在CD上方作CE⊥CD,CE=CD,连BE、DE.
设AD、BE交于点O,由
(1)知△ACD≌△BCE(SAS),∠BEC=∠ADC=15°
∴∠DOE=∠DCE=90°
又∵∠CED=∠CDE=45°
∴=2,
∴∠BED=30°
∴OD=DE=×
2=1,
∴=,OB==,
∴AD=BE=OB+OE=+.
2.解:
(1)结论BM+CN=BD成立,理由如下:
如图②,过点D作DE∥AC交AB于E,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠B=∠C=60°
∵DE∥AC,
∴∠BED=∠A=60°
,∠BDE=∠C=60°
∴∠B=∠BED=∠BDE=60°
∴△BDE是等边三角形,∠EDC=120°
∴BD=BE=DE,∠EDN+∠CDN=120°
∵∠EDM+∠EDN=∠MDN=120°
∴∠CDN=∠EDM,
∵D是BC边的中点,
∴DE=BD=CD,
在△CDN和△EDM中,
∴△CDN≌△EDM(ASA),
∴CN=EM,
∴BD=BE=BM+EM=BM+CN;
(2)上述结论不成立,BM,CN,BD之间的数量关系为:
BM﹣CN=BD;
理由如下:
如图③,过点D作DE∥AC交AB于E,
∴∠NCD=120°
∴△BDE是等边三角形,∠MED=∠EDC=120°
∴BD=BE=DE,∠NCD=∠MED,∠EDM+∠CDM=120°
∵∠CDN+∠CDM=∠MDN=120°
∴BD=BE=BM﹣EM=BM﹣CN,
∴BM﹣CN=BD.
3.解:
(1)如图①连接CF,
∵AD⊥BC,BE⊥AC,
∴CF⊥AB,
∵BH⊥AB,
∴CF∥BH,
∴∠CBH=∠BCF,
∵点M是BC的中点,
∴BM=MC,
在△BMH和△CMF中,
∴△BMH≌△CMF(ASA),
∴BH=CF,
∵AB=BC,BE⊥AC,
∴BE垂直平分AC,
∴AF=CF,
∴BH=AF,
∴AF=CF=BH=3,
故答案为:
3,3;
(2)如图②,连接CF,
∴AF=CF=BH=2,
2,2;
(3)从第
(1)、
(2)中发现AF=CF=BH;
猜想BH=1,
如图③,连接CF,
∵点M是B
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