江苏专用版高考数学大一轮复习第六章数列61数列的概念与简单表示法教师用书文Word文件下载.docx
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3.数列的表示法
数列有三种表示法,它们分别是列表法、图象法和解析法.
4.数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
【知识拓展】
1.若数列{an}的前n项和为Sn,通项公式为an,
则an=
2.在数列{an}中,若an最大,则
若an最小,则
3.数列与函数的关系
数列是一种特殊的函数,即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数,当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值,就是数列.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×
”)
(1)所有数列的第n项都能使用公式表达.( ×
)
(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个.( √ )
(3)1,1,1,1,…,不能构成一个数列.( ×
(4)任何一个数列不是递增数列,就是递减数列.( ×
(5)如果数列{an}的前n项和为Sn,则对∀n∈N*,都有an+1=Sn+1-Sn.( √ )
1.(教材改编)下列有四种说法,其中正确的说法是.(填序号)
①数列a,a,a,…是无穷数列;
②数列0,-1,-2,-3,…不一定是递减数列;
③数列{f(n)}可以看作是一个定义域为正整数N*或它的有限子集{1,2,…,n}的函数值;
④已知数列{an},则数列{an+1-an}也是一个数列.
答案 ①②④
解析 题中①④显然正确;
对于②,数列只给出前四项,后面的项是不确定的,所以不一定是递减数列;
对于③,数列可以看作是一个定义域为正整数N*或它的有限子集{1,2,…,n}的函数,当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值,所以③不正确.
2.(教材改编)数列1,2,,,,…中的第26项为.
答案 2
解析 ∵a1=1=,a2=2=,
a3=,a4=,a5=,
∴an=,
∴a26===2.
3.(教材改编)在数列{an}中,a1=1,an=1+(n≥2),则a5=.
答案
解析 a2=1+=2,
a3=1+=1+=,
a4=1+=3,a5=1+=.
4.(教材改编)已知数列{an}中,a1=,an+1=1-(n≥2),则a16=.
解析 由题意知a2=1-=-1,a3=1-=2,a4=1-=,∴此数列是以3为周期的周期数列,a16=a3×
5+1=a1=.
5.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+1,则an=.
解析 当n=1时,a1=S1=2,
当n≥2时,
an=Sn-Sn-1=n2+1-[(n-1)2+1]=2n-1,
故an=
题型一 由数列的前几项求数列的通项公式
例1
(1)(2016·
南京模拟)数列1,3,6,10,…的通项公式是.
(2)数列{an}的前4项是,1,,,则这个数列的通项公式是an=.
答案
(1)an=
(2)
解析
(1)观察数列1,3,6,10,…可以发现
1=1,
3=1+2,
6=1+2+3,
10=1+2+3+4,
…
第n项为1+2+3+4+…+n=.
∴an=.
(2)数列{an}的前4项可变形为,,,,故an=.
思维升华 由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略
(1)常用方法:
观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.
(2)具体策略:
①分式中分子、分母的特征;
②相邻项的变化特征;
③拆项后的特征;
④各项的符号特征和绝对值特征;
⑤化异为同,对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破,或寻找分子、分母之间的关系;
⑥对于符号交替出现的情况,可用(-1)k或(-1)k+1,k∈N*处理.
根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式.
(1)-1,7,-13,19,…;
(2)0.8,0.88,0.888,…;
(3),,-,,-,,….
解
(1)数列中各项的符号可通过(-1)n表示,从第2项起,每一项的绝对值总比它的前一项的绝对值大6,故通项公式为an=(-1)n(6n-5).
(2)数列变为,,,…,
故an=.
(3)各项的分母分别为21,22,23,24,…,易看出第2,3,4项的绝对值的分子分别比分母小3.
因此把第1项变为-,
原数列化为-,,-,,…,
故an=(-1)n.
题型二 由an与Sn的关系求通项公式
例2
(1)(2016·
南通模拟)若数列{an}的前n项和Sn=an+,则{an}的通项公式an=.
答案 (-2)n-1
解析 由Sn=an+,得当n≥2时,Sn-1=an-1+,两式相减,整理得an=-2an-1,又当n=1时,S1=a1=a1+,∴a1=1,∴{an}是首项为1,公比为-2的等比数列,故an=(-2)n-1.
(2)已知下列数列{an}的前n项和Sn,求{an}的通项公式.
①Sn=2n2-3n;
②Sn=3n+b.
解 ①a1=S1=2-3=-1,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1
=(2n2-3n)-[2(n-1)2-3(n-1)]=4n-5,
由于a1也适合此等式,∴an=4n-5.
②a1=S1=3+b,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n+b)-(3n-1+b)
=2·
3n-1.
当b=-1时,a1适合此等式;
当b≠-1时,a1不适合此等式.
∴当b=-1时,an=2·
3n-1;
当b≠-1时,an=
思维升华 已知Sn,求an的步骤
(1)当n=1时,a1=S1;
(2)当n≥2时,an=Sn-Sn-1;
(3)对n=1时的情况进行检验,若适合n≥2的通项则可以合并;
若不适合则写成分段函数形式.
(1)已知数列{an}的前n项和Sn=2n-3,则数列{an}的通项公式为.
(2)已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n,则其通项an=;
若它的第k项满足5<
ak<
8,则k=.
答案
(1)an=
(2)2n-10 8
解析
(1)当n=1时,a1=S1=-1;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1,
∴an=
(2)∵an=∴an=
又∵-8也适合an=2n-10,∴an=2n-10,n∈N*.
由5<
2k-10<
8,∴7.5<
k<
9,∴k=8.
题型三 由数列的递推关系求通项公式
例3 根据下列条件,确定数列{an}的通项公式.
(1)a1=2,an+1=an+ln(1+);
(2)a1=1,an+1=2nan;
(3)a1=1,an+1=3an+2.
解
(1)∵an+1=an+ln(1+),
∴an-an-1=ln(1+)=ln(n≥2),
∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1
=ln+ln+…+ln+ln2+2
=2+ln(·
·
…·
2)
=2+lnn(n≥2).
又a1=2适合上式,故an=2+lnn(n∈N*).
(2)∵an+1=2nan,∴=2n-1(n≥2),
∴an=·
a1
=2n-1·
2n-2·
2·
1=21+2+3+…+(n-1)=
又a1=1适合上式,故an=
(3)∵an+1=3an+2,∴an+1+1=3(an+1),
又a1=1,∴a1+1=2,
故数列{an+1}是首项为2,公比为3的等比数列,
∴an+1=2·
3n-1,故an=2·
3n-1-1.
思维升华 已知数列的递推关系求通项公式的典型方法
(1)当出现an=an-1+m时,构造等差数列.
(2)当出现an=xan-1+y时,构造等比数列.
(3)当出现an=an-1+f(n)时,用累加法求解.
(4)当出现=f(n)时,用累乘法求解.
(1)已知数列{an}满足a1=1,an=·
an-1(n≥2且n∈N*),则an=.
(2)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-1(n∈N*),则a5=.
答案
(1)
(2)16
解析
(1)∵an=an-1(n≥2),
∴an-1=an-2,…,a2=a1.
以上(n-1)个式子相乘得
an=a1·
==.
当n=1时也满足此等式,∴an=.
(2)当n=1时,S1=2a1-1,∴a1=1.
当n≥2时,Sn-1=2an-1-1,
∴an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,∴an=2an-1.
∴{an}是等比数列且a1=1,q=2,
故a5=a1×
q4=24=16.
题型四 数列的性质
命题点1 数列的单调性
例4 已知an=,那么数列{an}是数列.(填“递减”“递增”或“常”)
答案 递增
解析 an=1-,将an看作关于n的函数,n∈N*,易知{an}是递增数列.
命题点2 数列的周期性
例5 数列{an}满足an+1=,a8=2,则a1=.
解析 ∵an+1=,
∴an+1===
==1-
=1-=1-(1-an-2)=an-2,n≥3,
∴周期T=(n+1)-(n-2)=3.
∴a8=a3×
2+2=a2=2.
而a2=,∴a1=.
命题点3 数列的最值
例6 若数列{an}的通项an=,则数列{an}中的最大项的值是.
解析 令f(x)=x+(x>
0),运用基本不等式得f(x)≥2,当且仅当x=3时等号成立.因为an=,所以≤,由于n∈N*,不难发现当n=9或n=10时,an=最大.
思维升华
(1)解决数列的单调性问题可用以下三种方法
①用作差比较法,根据an+1-an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列.
②用作商比较法,根据(an>0或an<0)与1的大小关系进行判断.
③结合相应函数的图象直观判断.
(2)解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项,确定数列的周期,再根据周期性求值.
(3)数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解.
(1)(2016·
哈尔滨模拟)若数列{an}满足an+1=a1=,则数列的第2015项为.
(2)设an=-3n2+15n-18,则数列{an}中的最大项的值是.
答案
(1)
(2)0
解析
(1)由已知可得,a2=2×
-1=,
a3=2×
=,
a4=2×
a5=2×
∴{an}为周期数列且T=4,
∴a2015=a503×
4+3=a3=.
(2)∵an=-32+,由二次函数性质,得当n=2或3时,an最大,最大值为0.
12.解决数列问题的函数思想
典例
(1)数列{an}的通项公式是an=(n+1)·
()n,则此数列的最大项是第项.
(2)若an=n2+kn+4且对于n∈N*,都有an+1>
an成立,则实数k的取值范围是.
思想方法指导
(1)可以将数列看成定义域为正整数集上的函数;
(2)数列的最值可以根据单调性进行分析.
解析
(1)∵an+1-an
=(n+2)()n+1-(n+1)()n
=()n×
,
当n<
9时,an+1-an>
0,即an+1>
an;
当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;
当n>
9时,an+1-an<
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