数学建模论比赛资料艾滋病模型Word下载.docx
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艾滋病疗效数学模型与分析
摘要
本文就艾滋病疗效的问题做了深入的研究,由于数据量庞大,我们首先对数据进行筛选,排除那些部分信息量过少或偏离总体规律的数据,并对剩余数据逐个曲线拟合,然后通过对拟合后每个个体数据的散点分布趋势,找出图中密集点分布的大致范围,在此范围内求取平均值的方法,以此来确定普遍规律中方程的未知数,利用这种将大量的个体数据归纳为一个总体规律的方法来建立数学模型并求解。
在第一题中,由于HIV与CD4高度相关,因此我们通过研究CD4的变化率与HIV的变化率的关系,由于两者成反比关系,于是我们将CD4的变化率与HIV的变化率的关系模型假定为,整理得到:
;
我们对个体数据进行了逐个曲线拟合,并将各个拟合后方程的系数看作坐标轴中的点(k1,k2)画出散点图,根据这些点在图中的疏密性确定(k1,k2)的大致范围,并利用平均值的方法求出(,),再根据短时间内HIV与CD4的变化规律,即“当CD4被HIV感染而裂解时,其数量会急剧减少,HIV将迅速增加,导致AIDS发作”列出两者间的关系方程,消去方程中HIV,得到间的线性关系:
通过斜率判断出药物对艾滋病的疗效是显著的。
第二题的模型中,首先通过对人年龄的仔细分类,由于在大于50岁或小于30岁的年龄人群中,药物对他们的疗效并不显著,因此我们在这里重点讨论年龄在30至50岁之间的人群,从而将年龄对于疗效的影响减地至最小。
然后将此年龄段间的数据进行筛选,排除那些部分信息量过少或偏离总体规律的数据,并对剩余数据逐个进行多项式CD4=的曲线拟合,计算出各个数据的a,b,c,d的值,并对各个CD4=方程对t求导并利用类似于第一题的方法求出其方程的系数,从而得出疗效变化率方程。
最后对疗效变化率方程利用Mathematica进行画图,从而分析出四种疗效的变化规律,即第一和三种疗法没有持续疗效,而最佳疗效分别在第5.815周和第18.712周,第二种没有疗效,而第四种疗法从20.5周后有明显疗效。
第三题中,运用运筹学中的线性规划的方法,将每一个疗法的费用作为方程的系数,把到达最佳疗效的周期作为未知数,建立每一种疗法的费用与其到达疗效周期的线性关系式:
Y=kX。
通过上
(2)已求得的最佳疗效周期数据,进行逐个代入求有效治疗的费用。
再通过坐标图型作出每一种疗法的所对应的函数图形,由不同的斜率来,来判断到达最佳周期时的费用,得出第四种疗法最好的结果。
关键词:
数据优化 曲线拟合线性规划Mathematica
一、问题重述
艾滋病是当前人类社会最严重的瘟疫之一,从1981年发现以来的20多年间,它已经吞噬了近3000万人的生命。
艾滋病的医学全名为“获得性免疫缺损综合症”,英文简称AIDS,它是由艾滋病毒(医学全名为“人体免疫缺损病毒”,英文简称HIV)引起的。
这种病毒破坏人的免疫系统,使人体丧失抵抗各种疾病的能力,从而严重危害人的生命。
艾滋病究竟是什么?
即获得性免疫缺陷综合症(acquiredimmunodeficiencysyndrome,AIDS),是一种由人免疫缺陷病毒引起的,以全身免疫系统严重损害为牲的传染性疾病。
感染者终生携带病毒,且缺乏治愈该病的有效方法。
导致这场悲剧的恶魔便是人免疫缺陷病毒(humanimmunodeficiencyvirus,HIV),或称为艾滋病毒,在分类学上属扫转录病毒科慢性病毒属长类慢病毒群(Murphy,1996)。
作为艾滋病的病原,HIV不仅成为众多生物学家和医学家研究的焦点,而且迅速引起整个人类社会的震惊和普遍关注。
HIV病毒是一种杀细胞性病毒,此病毒主要在‘辅助性T淋巴细胞’内大量增殖使细胞破坏。
而‘辅助性T淋巴细胞’是人体中极其重要的免疫细胞,它的破坏,逐渐导致免疫功能衰竭。
这样,即使一个对正常人来说是微不足道的感染,如小伤口或普通感冒,也可以致艾滋病人于死地。
什么是艾滋病病毒(HIV)(图)注[2]
艾滋病病毒的医学名称为"
人类免疫缺陷病毒"
(英文缩写HIV),它侵入人体后破环人体的免疫系统,使人体发生多种难以治愈的感染和肿瘤,最终导致死亡。
在T淋巴细胞分类中,CD4代表T辅助细胞而CD8代表T抑制细胞和T杀伤细胞。
CD4+T淋巴细胞是HIV感染的主要靶细胞,而其本身又是免疫反应的中心细胞;
CD8+T淋巴细胞是免疫反应的效应细胞。
正常人的CD4+T淋巴细胞约占总的T淋巴细胞的65%,CD8+T淋巴细胞约占35%。
人体感染了HIV后,涉及的主要病理过程就是免疫系统的损害,主要表现为:
CD4+T淋巴细胞的丢失,绝对数量的减少,同时CD8+T淋巴细胞数量增加,CD4和CD8的比例失调。
因此CD4+,CD4+T淋巴细胞记数作为直接测定免疫功能的方法,是提供HIV感染病人免疫系统损害状况最明确的指标。
认识CD4值:
T细胞是白血球细胞,在免疫系统中扮演很重要的角色。
人体内有二种主要的T细胞,其中一种是称为CD4细胞,在T细胞的表面。
这些CD4细胞又称为免疫系统的「辅助手」(helper),能指挥身体对抗微生物,例如病毒。
另一种T细胞是称为CD8细胞,它能摧毁已受感染的细胞。
注[1]
如今爱滋病在世界上的传播速度越来越快,世界各国的医学界都不断研制新药来治疗HIV,因此新药的疗效如何要刻不容缓的加以解决,以下我们就将对新的几种对抗艾滋病的药物疗效通过数学模型进行分析和讨论。
现在得到了美国艾滋病医疗试验机构ACTG公布了两种不同治疗方法的两组数据,我们需要解决的问题如下:
(1)利用附件1的数据,建立模型预测同时服用zidovudine(齐多夫定),lamivudine(拉美夫定)和indinavir(茚地那韦)3种药物的继续治疗的效果,如果认为继续服药效果不好,则根据模型计算出提前终止治疗的时间。
(2)利用附件2的数据,分析4种不同的疗法,其日用药量分别为:
600mgzidovudine或400mgdidanosine(去羟基苷),这两种药按月轮换使用;
600mgzidovudine加2.25mgzalcitabine(扎西他滨);
600mgzidovudine加400mgdidanosine;
600mgzidovudine加400mgdidanosine,再加400mgnevirapine(奈韦拉平)。
以CD4的值为标准评价4种疗法的优劣,并对较优的疗法预测继续治疗的效果,或者确定最佳治疗终止时间。
(3)根据题目给出的艾滋病药品的主要供给商对不发达国家提供的药品价格,考虑如果病人需要考虑4种疗法的费用,对
(2)中的评价和预测(或者提前终止)有什么改变。
二、模型的建立与求解
第一题:
1、模型假设
据题意,HIV随时间的变化量与CD4随时间的变化量成反比,为便于计算,我们假设两者间的关系为线性关系。
(由于本题未牵涉到非艾滋病患者,所以这类人群不在本题讨论范围之内)
2、模型建立
根据我们的假设,于是我们建立模型:
方程两边同时乘以,得到方程如下:
。
3、模型求解
对附件1的每个人的CD4,HIV,t的数据进行处理计算,得到,,;
再对每人的,,进行数据拟合,求出每个人的k1,k2的拟合值;
(附录1)
将k1,k2的值输入EXCEL,在excel中画出散点图,通过观察发现所以点在原点的左上方比较密集(如图)
取横坐标(-12,30)之间,纵坐标(-2,6)之间的点,分别对k1,k2取平均值得:
,;
由此我们得到
4、模型分析
计算(,)与其余(k1,k2)的方差,其中点(-8.929,2.74)与(,)的方差最小
因此我们将点(-8.929,2.74)所代表的个人作为权,
由于在题目中提到“当CD4被HIV感染而裂解时,其数量会急剧减少,HIV将迅速增加,导致AIDS发作。
”因此我们假定在感染过程这个极短的时间内,CD4的变化量与时间t无关,即,利用之前确定的权中的数据进行拟合,得到方程:
将这个方程代入基本方程中,得到间的线性关系:
它的斜率=3.67>
0,这说明CD4的总量随着时间的增加而增长,因此证明药物是有效果的。
第二题:
讨论:
疗法1:
1、模型假设:
首先观察四种疗法中的年龄,时间,CD4的数据情况,由于药物的疗效只和CD4的变化量为标准,因此我们可以画出大多数人CD4和t的散点图进行比较,通过比较图中CD4对于时间的变化情况,可以发现当年龄<
35并>
50岁时,第一种疗法没有什么疗效,因此此时我们只讨论年龄在30<
AGE<
50之间的数据,将数据导入excel,并筛选。
我们再次观察年龄在30<
50之间的数据,并在EXCEL中为每个人画出对于每个人的CD4和t之间的疗效情况图(在此截取部分图)。
我们发现大多数人CD4和t之间的关系都是3次曲线,而且在这年龄段的疗效情况基本类似,因此我们可以假设四种疗法中每个人CD4和T之间关系为CD4=
2、模型的建立:
每个人CD4和T之间关系为CD4=,由于每个人的情况不同,因此我们只能用每个人的CD4和T的数据拟合一个方程,这样便得到N个人的拟合后的CD4=,然后CD4对T求导,便可得CD4关于时间T的变化率,也就是在某个T时刻,药物的疗效。
即
即每个人的疗效情况;
然后将每个人的中3a,2b,c的数据在EXCEL上统计出,然后画出它们的散点图,在散点图最密集的区域确定一个3a,2b,c的范围,将属于此范围的点筛选出来求其平均值,得到,这样便可列出疗法1的疗效方程:
(1)
将等式
(1)=0,求解除此时的t值,这便是治疗到最佳效果的时期。
3.模型求解:
(一)疗法1:
首先筛选数据,将周期短的和不符合假设年龄的数据剔除掉,然后将筛选后的每个人的数据进行拟合,在mathmatica中用拟合命令,可解得a,bc的值.:
,再求出3a,2b.c(数据见附录),在离散点图上进行统计,得:
根据图我们发现3a大多集中在-0.005和0.005之间,而2b集中在-0.01和0.01之间,筛选出这些范围中的点,并求这些点的平均值,可求得:
=-0.00049;
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- 数学 建模 比赛 资料 艾滋病 模型