211一元二次方Word下载.docx
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(1)x2+2x-4=0;
(2)x2-2=0;
(3x2+5x=0;
(4)(x-1)(x+2)=1.
3.请写出一元二次方程的定义:
________________________________________________的方程叫做一元二次方程.
4.
(1)一元一次方程的解的意义是什么?
(2)类比一元一次方程的解的意义,你认为x=1是方程x2+x-2=0的解吗?
-3,-2,-1,0,2,3呢?
归纳梳理
1一个方程是一元二次方程,必须同时满足三个条件:
①含有_____未知数;
②未知数的最高次数是______;
③是______式方程.
2.关于二的一元二次方程,其一般形式是,其中二次项是_________,二次项系数是_________,一次项是______,一次项系数是________,常数项是________。
需要注意的是,二次项系数a必须满足条件_______,若a=0且b≠0,则方程ax2+bx+c=0变为一元_____次方程.
3.一元二次方程的解也叫做一元二次方程的______。
典例解析
1.根据定义判断一个方程是否是一元二次方程
【例1】
(2015•浠水县校级模拟)下列方程是一元二次方程的是( )
A.x2+2x﹣y=3B.C.(3x2﹣1)2﹣3=0D.x2﹣8=x
总结:
一元二次方程必须满足四个条件:
是整式方程;
含有一个未知数;
未知数的最高次数是2;
二次项系数不为0.
练1(2015•科左中旗校级一模)关于x的方程:
(a﹣1)+x+a2﹣1=0,求当a= 时,方程是一元二次方程;
当a= 时,方程是一元一次方程.
2.把一元二次方程化成一般形式(写出其二次项系数、一次项系数和常数项)
【例2】
(2014秋•忠县校级期末)一元二次方程(1﹣3x)(x+3)=2x2+1的一般形式是 ;
它的二次项系数是 ,一次项系数是 ,常数项是 .
一元二次方程的一般形式是:
ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)
(1)特别要注意a≠0的条件;
(2)在一般形式中,ax2叫二次项,bx叫一次项,c是常数项,其中a,b,c分别叫二次项系数、一次项系数和常数项.
练2将方程x(x-1)=5(x-2)化为一元二次方程的一般形式,并写出二次项系数、一次项系数和常数.
练3(2014•东西湖区校级模拟)将一元二次方程4x2+5x=81化成一般式后,如果二次项系数是4,则一次项系数和常数项分别是( )
A.5,81B.5,﹣81C.﹣5,81D.5x,﹣81
3.根据一元二次方程的根求参数
【例3】
(2015•临淄区校级模拟)若0是关于x的一元二次方程(m﹣1)x2+5x+m2﹣3m+2=0的一根,则m的值为( )
A.1B.0C.1或2D.2
使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根.一元二次方程可能无解,但是有解就一定有两个解.
可用代入法检验一个数是否是一元二次方程的解.
已知一元二次方程的一个解,将这个解直接代入原方程,原方程仍然成立,由此可求解原方程中的字母参数.
若二次项系数含有字母参数,求出的字母参数值要保证二次项系数不为0.这一步容易被忽略,谨记.
练4(2014•绵阳模拟)若关于x的一元二次方程(a+1)x2+4x+a2﹣1=0的一根是0,则a= .
练5(2015•绵阳)关于m的一元二次方程nm2﹣n2m﹣2=0的一个根为2,则n2+n﹣2= .
基础夯实
一、选择题
1.(2015春•莒县期中)下列关于x的方程中,一定是一元二次方程的为( )
A.ax2+bx+c=0B.x+y=2C.x2+3y﹣5=0D.x2﹣1=0
2.(2014•泗县校级模拟)方程x2﹣2x﹣5=0,x3=x,y2﹣3x=2,x2=0,其中一元二次方程的个数是( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
3.(2014秋•沈丘县校级期末)要使方程(a﹣3)x2+(b+1)x+c=0是关于x的一元二次方程,则( )
A.a≠0B.a≠3
C.a≠1且b≠﹣1D.a≠3且b≠﹣1且c≠0
4.(2015•石河子校级模拟)把方程x(x+2)=5(x﹣2)化成一般式,则a、b、c的值分别是( )
A.1,﹣3,10B.1,7,﹣10C.1,﹣5,12D.1,3,2
5.(2015•石河子校级模拟)关于x的方程(3m2+1)x2+2mx﹣1=0的一个根是1,则m的值是( )
A.0B.﹣C.D.0或,
6.(2014•祁阳县校级模拟)已知x=3是关于方程3x2+2ax﹣3a=0的一个根,则关于y的方程y2﹣12=a的解是( )
A.B.﹣
C.±
D.以上答案都不对
7.(2014秋•南昌期末)关于x的方程(k+2)x2﹣kx﹣2=0必有一个根为( )
A.x=1B.x=﹣1C.x=2D.x=﹣2
8.(2016年浙江省台州市)有x支球队参加篮球比赛,共比赛了45场,每两队之间都比赛一场,则下列方程中符合题意的是( )
A.x(x﹣1)=45B.x(x+1)=45C.x(x﹣1)=45D.x(x+1)=45
9.(2016·
黑龙江大庆)若x0是方程ax2+2x+c=0(a≠0)的一个根,设M=1﹣ac,N=(ax0+1)2,则M与N的大小关系正确的为( )
A.M>NB.M=NC.M<ND.不确定
二、填空题
10.(2015•东西湖区校级模拟)已知(m﹣2)x2﹣3x+1=0是关于x的一元二次方程,则m的取值范围
是 .
11.(2014秋•西昌市校级期中)方程2x2﹣1=的二次项系数是 ,一次项系数是 ,常数项是 .
12.(2015•厦门校级质检)若m是方程x2﹣2x=2的一个根,则2m2﹣4m+2010的值是 .
三、解答题
13.把方程先化成一元二次方程的一般形式,再写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.
(1)5x2=3x;
(2)(﹣1)x+x2﹣3=0;
(3)(7x﹣1)2﹣3=0;
(4)(﹣1)(+1)=0;
(5)(6m﹣5)(2m+1)=m2.
14.(2015春•亳州校级期中)已知关于x的方程(m﹣1)x2+5x+m2﹣3m+2=0的常数项为0,
(1)求m的值;
(2)求方程的解.
15.(2015春•嵊州市校级月考)已知,下列关于x的一元二次方程
(1)x2﹣1=0
(2)x2+x﹣2=0(3)x2+2x﹣3=0…(n)x2+(n﹣1)x﹣n=0
(1)求出方程
(1)、方程
(2)、方程(3)的根,并猜测方程(n)的根.
(2)请指出上述几个方程的根有什么共同特点,写出一条即可.
16.关于y的方程my2﹣ny﹣p=0(m≠0)中的二次项的系数,一次项的系数与常数项的和为多少
参考答案:
【例1】【解析】根据一元二次方程的定义解答.
(1)未知数的最高次数是2;
(2)二次项系数不为0;
(3)是整式方程;
(4)含有一个未知数.
由这四个条件对四个选项进行验证,满足这四个条件者为正确答案.
解:
A、方程含有两个未知数,故选项错误;
B、不是整式方程,故选项错误;
C、含未知数的项的最高次数是4,故选项错误;
D、符合一元二次方程的定义,故选项正确.
故选:
D.
点评:
本题考查了一元二次方程的概念,判断一个方程是否是一元二次方程,首先要看是否是整式方程,然后看化简后是否只含有一个未知数且未知数的最高次数是2.
练1.【解析】根据一元二次方程和一元一次方程的定义进行解答.
依题意得,a2+1=2且a﹣1≠0,
解得a=﹣1.
即当a=﹣1时,方程是一元二次方程.
当a2+1=0或a﹣1=0即a=1时,方程是一元一次方程.
故答案是:
﹣1;
1.
本题考查了一元二次方程和一元一次方程的定义.只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程,一般形式是ax2+bx+c=0(且a≠0).特别要注意a≠0的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.
【例2】【解析】将方程整理为一般形式,找出二次项系数,一次项系数,以及常数项即可.
一元二次方程(1﹣3x)(x+3)=2x2+1的一般形式是5x2+8x﹣2=0;
它的二次项系数是5,一次项系数是8,常数项是﹣2.
故答案为:
5x2+8x﹣2=0,5,8,﹣2
ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件.这是在解题过程中容易忽视的地方.在一般形式中ax2叫二次项,bx叫一次项,c是常数项.其中a,b,c分别叫二次项系数,一次项系数,常数项.
练2.【解析】将一元二次方程化为一般形式,主要包括几个步骤:
去括号、移项、合并同类项.
去括号,得x2-x=5x-10.
移项、合并同类项,
得x2-6x+10=0.
其中二次项系数是1,一次项系数为-6,常数项为10.
练3.【解析】根据一元二次方程的一般形式是:
ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件,其中a,b,c分别叫二次项系数,一次项系数,常数项,可得答案.
一元二次方程4x2+5x=81化成一般式为4x2+5x﹣81=0,
二次项系数,一次项系数,常数项分别为4,5,﹣81,
B.
本题考查了一元二次方程的一般形式,一元二次方程的一般形式是:
ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.在一般形式中ax2叫二次项,bx叫一次项,c是常数项.其中a,b,c分别叫二次项系数,一次项系数,常数项.
【例3】【解析】把方程的一个根0直接代入方程即可求出m的值.
∵0是关于x的一元二次方程(m﹣1)x2+5x+m2﹣3m+2=0的一根,
∴(m﹣1)×
0+5×
0+m2﹣3m+2=0,即m2﹣3m+2=0,
解方程得:
m1=1(舍去),m2=2,
∴m=2,
本题考查了一元二次方程的解,解题的关键是直接把方程的一根代入方程,此题比较简单,易于掌握.
练4.【解析】将一根0代入方程,再依据一元二次方程的二次项系数不为零,问题可求.
∵一根是0,∴(a+1)×
(0)2+4×
0+a2﹣1=0
∴a2﹣1=0,即a=±
1;
∵a+1≠0,∴a≠﹣1;
∴a=1.
练5.【解析】先根据一元二次方程的解的定义得到4n﹣2n2﹣2=0,两边除以2n得n+=2,再利用完全平方公式变形得到原式=(n+)2﹣2,然后利用整体代入的方法计算.
把m=2代入nm2﹣n2m﹣2=0得4n﹣2n2﹣2=0,
所以n+=2,
所以原式=(n+)2﹣2
=
(2)2﹣2
=26.
26.
本题考查了一元二次方程的解(根)的意义:
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