高中数学函数与方程知识点总结经典例题及解析高考真题及答案Word格式文档下载.docx
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②(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点。
(3)零点个数确定
有2个零点有两个不等实根;
有1个零点有两个相等实根;
无零点无实根;
对于二次函数在区间上的零点个数,要结合图像进行确定.
3、二分法
(1)二分法的定义:
对于在区间上连续不断且的函数,通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法;
(2)用二分法求方程的近似解的步骤:
①确定区间,验证,给定精确度;
②求区间的中点;
③计算;
(ⅰ)若,则就是函数的零点;
(ⅱ)若,则令(此时零点);
(ⅲ)若,则令(此时零点);
④判断是否达到精确度,即,则得到零点近似值为(或);
否则重复②至④步.
【经典例题】
【例1】
(2012天津)函数在区间内的零点个数是()
A、0 B、1 C、2 D、3
【答案】B
【解析】解法1:
因为,,即且函数在内连续不断,故在内的零点个数是1.
解法2:
设,,在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示:
可知B正确.
【例2】
(2010天津)函数 f(x)=2x+3x的零点所在的一个区间是( )
A、(-2,-1) B、(-1,0)C、(0,1)D、(1,2)
【解析】∵f(-1)=2-1+3×
(-1)=-<
0,
f(0)=20+0=1>
∴f(-1)f(0)<
0.
∴ f(x)=2x+3x的零点所在的一个区间为(-1,0).
【例3】
(2009山东)若函数(且)有两个零点,则实数的取值范围是.
【答案】
【解析】函数=(且)有两个零点,方程有两个不相等的实数根,即两个函数与的图像有两个不同的交点,当时,两个函数的图像有且仅有一个交点,不合题意;
当时,两个函数的图像有两个交点,满足题意.
【例4】
(2012辽宁)设函数f(x)满足f()=f(x),f(x)=f(2x),且当时,f(x)=x3.又函数g(x)=|xcos|,则函数h(x)=g(x)-f(x)在上的零点个数为()
A、5B、6C、7D、8
【解析】因为当时,f(x)=x3.所以当时,,,
当时,;
当时,,注意到函数f(x)、g(x)都是偶函数,且f(0)=g(0),f
(1)=g
(1),,作出函数f(x)、g(x)的大致图象,函数h(x)除了0、1这两个零点之外,分别在区间上各有一个零点,共有6个零点,故选B
【例5】
(2012湖北)函数在区间[0,4]上的零点个数为()
A、4B、5C、6D、7
【答案】C
【解析】:
f(x)=0,则x=0或cosx2=0,x2=kπ+,k∈Z,又x∈[0,4],k=0,1,2,3,4,所以共有6个解.选C.
【例6】
(2011陕西)函数在内()
A、没有零点B、有且仅有一个零点
C、有且仅有两个零点D、有无穷多个零点
【解析】解法一:
数形结合法,令,则,设函数和,它们在的图像如图所示,显然两函数的图像的交点有且只有一个,所以函数在内有且仅有一个零点;
解法二:
在上,,,所以;
在,,所以函数是增函数,又因为,,所以在上有且只有一个零点.
【例7】
(2011天津)对实数a和b,定义运算“⊗”:
a⊗b=设函数f(x)=(x2-2)⊗(x-x2),x∈R,若函数y=f(x)-c的图象与x轴恰有两个公共点,则实数c的取值范围是( )
A、(-∞,-2]∪
B、(-∞,-2]∪
C、∪
D、∪
【解析】f(x)==
则f的图象如图
∵y=f(x)-c的图象与x轴恰有两个公共点,
∴y=f(x)与y=c的图象恰有两个公共点,
由图象知c≤-2,或-1<
c<
-.
【例8】已知函数=当2<a<3<b<4时,函数的零点.
【答案】5
【解析】方程=0的根为,即函数的图象与函数的交点横坐标为,且,结合图象,因为当时,,此时对应直线上的点的横坐标;
当时,对数函数的图象上点的横坐标,直线的图象上点的横坐标,故所求的.
【例9】求下列函数的零点:
(1);
(2).
(1)2,1,-1.
(2)2,-2.
【解析】
(1)由
故函数的零点是2,1,-1.
(2)
故函数的零点是2,-2.
【例10】判断函数y=x3-x-1在区间[1,1.5]内有无零点,如果有,求出一个近似零点(精确度0.1).
【答案】1.3125
【解析】 因为f
(1)=-1<
0,f(1.5)=0.875>
0,且函数y=x3-x-1的图象是连续的曲线,所以它在区间[1,1.5]内有零点,用二分法逐次计算,列表如下:
区间
中点值
中点函数近似值
(1,1.5)
1.25
-0.3
(1.25,1.5)
1.375
0.22
(1.25,1.375)
1.3125
-0.05
(1.3125,1.375)
1.34375
0.08
由于|1.375-1.3125|=0.0625<
0.1,
所以函数的一个近似零点为1.3125.
【课堂练习】
1、(2011课标)在下列区间中,函数的零点所在的区间为()
A、B、C、D、
2、(2010上海)若是方程的解,则属于区间()
A、B、C、D、
3、下列函数中能用二分法求零点的是( )
4、(2010天津)函数f=2+3x的零点所在的一个区间是()
A.(-2,-1)B、(-1,0)C、(0,1)D、(1,2)
5、(2010浙江)设函数f=4sin(2x+1)-x,则在下列区间中函数f不存在零点的是()
A、[-4,-2]B、[-2,0]C、[0,2]D、[2,4]
6、(2011陕西)函数=-在[0,﹚内()
A、没有零点B、有且仅有一个零点C、有且仅有两个零点D、有无穷多个零点
7、(2009福建)若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25,则可以是()
8、下列函数零点不宜用二分法的是( )
A、 B、
C、D、
9、(2009泉州)函数f(x)=log2x+2x-1的零点必落在区间()
A、B、C、D、(1,2)
10、(2009厦门)有解的区域是()
A、 B、 C、D、
11、(2011湖北文)在下列区间中,函数的零点所在的区间为()
A、B、C、D、
12、(2009合肥)函数的零点所在区间为()
A、B、C、D、
13、设,用二分法求方程内近似解的过程中得则方程的根落在区间()
A、B、C、D、不能确定
14、(2010浙江)设函数,则在下列区间中函数不存在零点的是()
15、(2010福建)函数,零点个数为()
A、3B、2C、1D、0
16、(2008惠州)若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据如下:
f
(1)=-2
f(1.5)=0.625
f(1.25)=-0.984
f(1.375)=-0.260
f(1.4375)=0.162
f(1.40625)=-0.054
那么方程的一个近似根(精确到0.1)为()
A、1.2B、1.3C、1.4D、1.5
17、(2008湖北)方程的实数解的个数为.
18、已知函数的一个零点比1大,一个零点比1小,求实数的取值范围。
19、判断函数在区间上零点的个数,并说明理由。
20、求函数的一个正数零点(精确度0.1).
【课后作业】
1、下列函数图象与x轴均有交点,但不宜用二分法求交点横坐标的是( )
2、设,则在下列区间中,使函数有零点的区间是( )
A、[0,1]B、[1,2]
C、[-2,-1]D、[-1,0]
3、已知唯一的零点在区间、、内,那么下面命题错误的()
A、函数在或内有零点B、函数在内无零点
C、函数在内有零点D、函数在内不一定有零点
4、(2009莆田)若函数有3个不同的零点,则实数的取值范围是()
A、B、C、D、
5、(2009沈阳)函数的零点所在的区间为()
A、(-1,0)B、(0,1)
C、(1,2)D、(1,e)
6、求函数零点的个数为()
7、如果二次函数有两个不同的零点,则的取值范围是()
8、方程根的个数为()
A、无穷多B、C、D、
9、用二分法求方程在(1,2)内近似解的过程中得f
(1)<
0,则方程的根在区间( )
A、(1.25,1.5)B、(1,1.25)C、(1.5,2)D、不能确定
10、(2009·
天津)设函数f(x)=x-lnx(x>0),则y=f(x)( )
A、在区间,(1,e)内均有零点
B、在区间,(1,e)内均无零点
C、在区间内有零点,在区间(1,e)内无零点
D、在区间内无零点,在区间(1,e)内有零点
11、设函数,则函数( )
A、在区间(0,1),(1,2)内均有零点
B、在区间(0,1)内有零点,在区间(1,2)内无零点
C、在区间(0,1),(1,2)内均无零点
D、在区间(0,1)内无零点,在区间(1,2)内有零点
12、(2008全国)用二分法研究函数的零点时,第一次经计算,可得其中一个零点,第二次应计算.以上横线上应填的内容为()
A、(0,0.5),B、(0,1),
C、(0.5,1),D、(0,0.5),
13、(2012天津理)函数在区间(0,1)内的零点个数是
A、0B、1C、2D、3
14、(2011山东)已知函数当是,函数的零点则n=.
15、用二分法求函数在区间(2,4)上的近似解,验证f
(2)·
f(4)<
0,给定精确度ε=0.01,取区间(2,4)的中点x1==3,计算得f
(2)·
f(x1)<
0,则此时零点x0∈________.
16、已知函数 f(x)=若函数 g(x)= f(x)-m有3个零点,
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