人教B版数学必修第一册34 数学建模活动决定苹果的最佳出售时间点学案Word格式文档下载.docx
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y=a(x-h)2+k,其中顶点坐标为(h,k).
(3)分段函数模型
有些实际问题,在事物的某个阶段对应的变化规律不尽相同,此时我们可以选择利用分段函数模型来刻画它,由于分段函数在不同的区间中具有不同的解析式,因此分段函数在研究条件变化的实际问题中,或者在某一特定条件下的实际问题中具有广泛的应用.
(1)在函数建模中,通常需要先画出函数图像,根据图像来确定两个变量的关系,选择函数类型.
(2)函数模型在实际应用中,函数的自变量x往往具有实际意义,如x表示长度时,x≥0;
x表示件数时,x≥0,且x∈Z等.在解答时,必须要考虑这些实际意义.
基础自测:
1.一个等腰三角形的周长是20,则底边长y是关于腰长x的函数,其解析式为()
A.y=20-2x(x≤10)
B.y=20-2x(x<
10)
C.y=20-2x(5≤x≤10)
D.y=20-2x(5<
x<
答案:
D
2.将进货单价为80元的商品按90元一个售出时,能卖出400个,已知该商品每个涨价1元时,其销售量就会减少20个,为了获得最大的利润,其售价应定为()
A.110元/个
B.105元/个
C.100元/个
D.95元/个
解析:
设每个商品涨价x元,利润为y元,则销售量为(400-20x)个,根据题意,有y=(10+x)(400-20x)=-20x2+200x+4000=-20(x-5)2+4500.所以当x=5时,y取得最大值,且为4500,即当每个涨价5元,也就是售价为95元/个时,可以获得最大利润为4500元.
3.某生产厂家的生产总成本y(万元)与产量x(件)之间的关系式为y=x2-80x,若每件产品的售价为25万元,则该厂获得最大利润时,生产的产品件数为()
A.52
B.52.5
C.53
D.52或53
因为利润=收入-成本,当产量为x件时(x∈N),利润f(x)=25x-(x2-80x),所以f(x)=105x-x2=-2+,所以x=52或x=53时,f(x)有最大值.
4.某游乐场每天的盈利额y(单位:
元)与售出的门票数x(单位:
张)之间的函数关系如图所示,试分析图像,要使该游乐场每天的盈利额超过1000元,那么每天至少应售出________张门票.
由题图知,盈利额每天要超过1000元时,x∈(200,300]这一区间,设y=kx+b(k≠0),将(200,500),(300,2000)代入得即y=15x-2500.由15x-2500>
1000,得x>
,故至少要售出234张门票,才能使游乐场每天的盈利额超过1000元.
234
二、素养提升
题型一:
一次函数模型的应用[经典例题]
例1:
(1)某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(套)之间的关系为y=6x+30000.而出厂价格为每套12元,要使该厂不亏本,至少日生产文具盒()
A.2000套
B.3000套
C.4000套
D.5000套
(2)商店出售茶壶和茶杯,茶壶定价为每个20元,茶杯每个5元,该商店推出两种优惠办法:
①买一个茶壶赠一个茶杯;
②按总价的92%付款.
某顾客需要购买茶壶4个,茶杯若干个(不少于4个),若购买茶杯x(个),付款y(元),分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数解析式,并讨论该顾客买同样多的茶杯时,两种办法哪一种更优惠?
(1)因利润z=12x-(6x+30000),所以z=6x-30000,由z≥0解得x≥5000,故至少日生产文具盒5000套.
(2)由优惠办法①可得函数解析式为y1=20×
4+5(x-4)=5x+60(x≥4,且x∈N).
由优惠办法②可得y2=(5x+20×
4)×
92%=4.6x+73.6(x≥4,且x∈N).
y1-y2=0.4x-13.6(x≥4,且x∈N),
令y1-y2=0,得x=34.
所以,当购买34个茶杯时,两种办法付款相同;
当4≤x<
34时,y1<
y2,即优惠办法①更省钱;
当x>
34时,y1>
y2,优惠办法②更省钱.
(1)D;
(2)见解析
方法归纳:
(1)一次函数模型的实际应用:
一次函数模型应用时,本着“问什么,设什么,列什么”这一原则.
(2)一次函数的最值求解:
一次函数求最值,常转化为求解不等式ax+b≥0(或≤0),解答时,注意系数a的正负,也可以结合函数图像或其单调性来求最值.
跟踪训练1:
若一根蜡烛长20cm,点燃后每小时燃烧5cm,则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图像表示为图中的()
蜡烛剩下的长度随时间增加而缩短,根据实际意义不可能是D项,更不可能是A、C两项.故选B项.
B
题型二:
二次函数模型的应用
例2:
某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元.市场调查发现,若每箱以50元的价格销售,平均每天销售90箱,价格每提高1元,平均每天少销售3箱.
(1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式;
(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式;
(3)当每箱苹果的售价为多少元时,可以获得最大利润?
最大利润是多少?
(1)根据题意,得y=90-3(x-50),
化简,得y=-3x+240(50≤x≤55,x∈N).
(2)因为该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售量×
每箱销售利润.
所以w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9600(50≤x≤55,x∈N).
(3)因为w=-3x2+360x-9600=-3(x-60)2+1200,
所以当x<
60时,w随x的增大而增大.
又50≤x≤55,x∈N,所以当x=55时,w有最大值,最大值为1125.
所以当每箱苹果的售价为55元时,可以获得最大利润,且最大利润为1125元.
本题中平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)是一个一次函数关系,虽然x∈[50,55],x∈N,但仍可把问题看成一次函数模型的应用问题;
平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)是一个二次函数关系,可看成是一个二次函数模型的应用题.
二次函数的实际应用:
(1)在根据实际问题建立函数解析式后,可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值,从而解决实际问题中的最值问题.二次函数求最值最好结合二次函数的图像来解答.
(2)对于本题要清楚平均每天的销售利润=平均每天的销售量×
跟踪训练2:
有A,B两城相距100km,在A,B两城之间距A城xkm的D地建一核电站给这两城供电.为保证城市安全,核电站与城市距离不得少于10km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比,比例系数λ=0.25.若A城供电量为20亿度/月,B城供电量为10亿度/月.
(1)把月供电总费用y表示成x的函数,并求定义域;
(2)核电站建在距A城多远时,才能使供电费用最小?
(1)由题意:
y=0.25[20x2+10(100-x)2]=7.52+.
∵x≥10,且100-x≥10,
∴10≤x≤90.
∴函数的定义域为[10,90].
(2)由二次函数知当x=时,y最小,
因此当核电站建在距离A城km时,供电费用最小.
题型三:
分段函数模型的应用[经典例题]
例3:
WAP手机上网每月使用量在500min以下(包括500min),按30元计费;
超过500min的部分按0.15元/min计费.假如上网时间过短(小于60min)使用量在1min以下不计费,在1min以上(包括1min)按0.5元/min计费.计费时间均取整数,不足1min的按1min计算.WAP手机上网不收通话费和漫游费.
(1)写出上网时间xmin与所付费用y元之间的函数关系式.
(2)12月份小王WAP上网使用量为20h,要付多少钱?
(3)小王10月份付了90元的WAP上网费,那么他上网的时间是多少?
由于上网时间不同,收费标准不同,因此对所付费用作分段讨论,以确定付费标准,建立函数关系式,解决付费与上网时间的问题.
(1)设上网时间为xmin,用[x]表示不小于x的最小整数,由已知条件知所付费用y关于x的函数关系式为
y=
(2)当x=20×
60=1200(min)时,x>
500,应付y=30+0.15×
(1200-500)=135(元).
(3)90元已超过30元,所以上网时间超过500min,由解析式可得上网时间为900min.
分段函数的实际应用:
(1)在刻画实际问题中,变量之间的关系因自变量x取值范围的不同,对应的函数关系不能用同一个解析式表示时,常用分段函数建立函数模型解决问题.
(2)分段函数是指自变量在不同的范围内有着不同对应法则的函数.求解分段函数的最值问题时应注意:
分段函数的最大值是各段函数最大值中较大的一个,分解函数的最小值是各段函数最小值中较小的一个.
跟踪训练3:
某厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元,但每生产100台,需要加可变成本(即另增加投入)0.25万元.市场对此产品的年需求量为500台.销售的收入函数为R(x)=5x-(万元)(0≤x≤5),其中x是产品售出的数量(单位:
百台).
(1)把利润表示为年产量的函数;
(2)年产量是多少时,工厂所得利润最大?
(3)年产量是多少时,工厂才不亏本?
(1)设利润为L(x),成本为C(x).当x≤5时,产品能全部售出;
5时,只能售出500台,故利润函数为L(x)=R(x)-C(x)
=
(2)当0≤x≤5时,L(x)=4.75x--0.5,
当x=4.75时,L(x)max=10.78125(万元);
5时,L(x)<
12-1.25=10.75(万元).
∴生产475台时利润最大.
(3)由或
得5≥x≥4.75-≈0.11或5<
x≤48,
∴产品年产量在11台到4800台时,工厂不亏本.
本题考查分段函数问题,生产不超过500台时,产量等于销售量;
产量超过500台时,销售量为一个常数500台.
四、课时作业
(一)选择题
1.某种生物增长的数量y(个)与时间x(小时)的关系如下表:
x/个
1
2
3
…
y/小时
8
下面函数解析式中,能表达这种关系的是()
A.y=x2-1
B.y=2x+1
C.y=2x-1
D.y=1.5x2-2.5x+2
2.商店某种货物的进价下降了8%,但销售价不变,于是这种货物的销售利润率由原来的r%增加到(r+10)%,则r的值等于()
A.12
B.15
C.25
D.50
设原销售价为a,原进价为x,可以列出方程组:
解这个方程组,消去a,x,可得r=15.
3.国家规定个人稿费纳税办法:
不超过800元的不纳税;
超过800元而不超过4000元的按超过800元部分的14%纳税;
超过4000元的按全部稿酬的11.2%纳税,已知某人出版一本书,共纳税420元,则这个人应得稿费(扣税前)为()
A.2800元
B.3000元
C.3800元
D.3818元
- 配套讲稿:
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