泛函分析教学大纲Word格式.docx
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理解极限的概念;
理解函数的左、右极限的概念;
了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。
掌握极限的性质和四则运算法则;
掌握判断极限存在的两个准则,会用它们求极限;
掌握利用两个重要极限求极限的方法。
理解无穷小和无穷大的概念;
掌握无穷小的比较方法,会利用等价无穷小代换求极限;
掌握无穷小和无穷大的关系。
理解函数的连续(一点处、区间)的概念;
了解一点处左、右连续的概念;
了解函数在一点连续和极限存在的关系;
会判断函数间断点的类型;
掌握初等函数在其定义区间上连续的性质。
理解闭区间上连续函数的有界性定理、最值定理和介值定理,会在实际问题中应用这些性质。
了解一致连续的概念。
2.一元函数微分学
理解导数的概念;
了解导数的几何意义,会求平面曲线在一点处的切线、法线方程;
掌握可导性和连续性的关系;
掌握基本初等函数的求导公式;
掌握函数的四则运算求导法则和复合函数的求导法则,会求反函数的导数;
了解左、右导数的概念,会求分段函数的导数。
理解高阶导数的概念,会求简单函数的n阶导数;
掌握隐函数和由参数方程所确定的函数的一、二阶导数,会对数求导法。
理解微分的概念;
掌握微分的运算法则,会求函数的微分;
掌握可微与可导的关系;
了解一阶微分形式不变性。
理解罗尔定理、拉格朗日中值定理;
了解柯西中值定理;
掌握用洛必达法则求未定式极限的方法;
理解泰勒定理。
理解函数极值的概念;
掌握用导数判别函数的单调性和求极值的方法;
掌握求函数最值的方法和应用;
会用导数判断函数图形的凸性和求函数图形的拐点;
会求平面曲线的渐近线;
会描绘简单函数的图形;
理解曲率和曲率半径的概念,会计算曲率和曲率半径。
3.一元函数积分学
理解原函数和不定积分的概念及它们之间的关系;
掌握不定积分的基本公式;
理解定积分的概念;
掌握不定积分和定积分的性质及定积分的中值定理;
理解定积分的几何意义;
了解函数可积的充分条件。
理解变上限定积分所定义的函数的性质,会对其求导数;
掌握微积分基本定理—Newton-Leibniz公式;
掌握换元积分法和分部积分法;
会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。
掌握两种反常积分的概念;
会计算反常积分,会判断反常积分的收敛性。
掌握微元法;
掌握用定积分求一些几何量和物理量的应用(平面图形的面积、平面曲线的弧长,旋转体的体积、平行截面面积为已知的立体的体积、功、引力、压力等)。
4.向量代数与空间解析几何
理解空间直角坐标系;
理解向量的概念,掌握向量的坐标表示法,会求单位向量、方向数、方向余弦和向量在坐标轴上的投影;
掌握向量的运算(线形运算、数量积、向量积和混合积)。
理解平面方程和直线方程的概念;
会求平面方程和直线方程;
会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角;
会求点到平面、点到直线的距离;
会判断平面与平面之间的位置关系(平行、垂直);
会判断直线与直线之间的位置关系(平行、垂直、相交);
会判断平面与直线之间的位置关系(平行、垂直、直线在平面上)。
理解曲面方程和曲线方程的概念;
了解常用的二次曲面方程及其图形;
会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程;
了解空间曲线的参数方程和一般式方程;
了解空间曲线在坐标平面上的投影,并会求其方程。
5.多元函数微分学
理解多元函数的概念;
理解n维点集特别是平面点集的概念;
理解二元函数的几何意义;
了解二元函数的极限和连续性的概念;
理解多元函数偏导数和全微分的概念;
掌握偏导数和全微分的求法;
掌握多元复合函数一、二阶偏导数的求法;
掌握隐函数的求导法则。
了解全微分存在的充分条件和必要条件;
了解一阶全微分形式的不变性;
理解方向导数与梯度的概念,并掌握其求法;
了解向量值函数及其微分法。
了解空间曲线的切线和法平面及曲面的法线和切平面的概念,会求它们的方程;
了解n元函数的二阶泰勒公式和二元函数的n阶泰勒公式;
理解多元函数极值和条件极值的概念;
掌握多元函数极值存在的必要条件和二元函数极值存在的充分条件;
会求二元函数极值;
会用拉格朗日乘数法求条件极值;
会求多元函数的最值,并会解决一些应用问题。
6.多元函数积分学
理解二重积分和二重积分的概念;
了解重积分的性质和二重积分中值定理;
掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标);
会计算三重积分(直角坐标、柱面坐标、球面坐标);
了解重积分的变量替换公式;
理解第一类曲线、曲面积分的概念,了解它们的性质,掌握它们的计算方法;
了解几何形体上积分的概念。
理解第二类曲线、曲面积分的概念,了解它们的性质,掌握它们的计算方法;
了解两类曲线积分之间的关系;
了解两类曲面积分之间的关系;
掌握格林公式;
了解平面曲线积分与路径无关的条件;
会求全微分的原函数;
掌握高斯公式;
了解斯托克斯公式;
了解散度和旋度的概念;
了解场论的初步知识;
了解含参变量积分确定函数的概念和性质;
了解反常重积分的概念;
了解Γ函数和B函数的定义和性质。
会用重积分和两类线、面积分求一些几何量与物理量(体积、曲面面积、弧长、质量、质心、转动惯量、引力功和流量等)。
7.无穷级数
理解数项级数收敛和发散的概念;
理解收敛级数和的概念;
掌握级数收敛的必要条件和级数收敛的基本性质;
掌握几何级数与p-级数收敛与发散的条件;
掌握正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法,会根值法和积分判别法;
掌握交错级数的莱布尼兹判别法;
了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念。
理解函数项级数的收敛域及和函数的概念;
掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法;
掌握幂级数运算规则,会求一些幂级数在收敛区间内的和函数;
了解函数展开成Taylor级数的充分必要条件;
掌握Maclaurin展式,会利用它们将一些函数间接展开成幂级数。
理解Fourier级数的概念;
了解Fourier级数的收敛定理;
了解三角函数系的正交性;
掌握将周期函数展开成Fourier级数的方法;
会将函数展开成正弦级数和余弦级数。
8.常微分方程
理解微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等概念;
掌握可分离变量的方程、一阶线性方程、齐次方程、伯努利方程和全微分方程的解法;
会用简单的变量代换解某些微分方程;
会用降阶法解微分方程。
理解线性微分方程的性质和解的结构;
了解常数变易法;
掌握二阶常系数齐次线性方程的解法;
会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程;
会解Euler方程;
会应用微分方程解决一些实际问题。
四、具体教学内容
第一章函数与极限(17―20课时)
§
1变量与函数
函数的概念,表示法,函数性态的简单讨论,反函数,复合函数及初等函数。
2极限的概念
收敛变量,变量的极限,七种极限过程,用定义求极限的几个例子,无穷大量与无界变量。
3极限的性质与运算法则
极限的基本性质,极限的四则运算法则,*Stolz定理。
4极限存在的判别法及两个重要极限
夹挤定理,单调有界定理,*Cauchy收敛准则,Heine定理,*数列与其子数列的收敛关系。
5无穷小量与无穷大量的阶
无穷小量与无穷大量阶的比较,记号O,o及∽,主要部分及无穷小(大)量的阶数。
6连续函数
函数的连续性,函数的间断点,连续函数的运算性质及初等函数的连续性,*一致连续性的概念,闭区间上连续函数的性质。
第二章导数与微分(10--12课时)
1导数概念
几个实际例子,导数的定义,导数的几何意义,用定义求导数的几个简单例子。
2求导法则
导数的四则运算,反函数的导数,复合函数的导数,隐函数的导数,参数方程所表示函数的导数。
3微分及其运算
微分的定义与性质,微分的运算,微分应用于近似计算与误差估计。
4高阶导数与高阶微分
高阶导数的概念,高阶导数的运算法则,参数方程及隐函数的高阶导数,高阶微分。
第三章中值定理及其应用(14―16课时)
1微分中值定理
三个微分定理的引入,条件和结论,证明及推论。
2罗必塔法则
基本不定式,其它形式的不定式。
3泰勒公式
公式的引入,余项的不同形式,基本初等函数的麦克劳林展式及其几个简单的应用。
4函数几何性质的讨论
单调性,极值,最值,凹凸与拐点。
5函数图形的描绘
渐进线,函数作图的一般步骤。
6曲率
概念的引入,曲率的计算,*密切圆与渐屈线。
第四章不定积分(8―12课时)
1不定积分的概念与性质
原函数与不定积分的定义,不定积分基本公式,不定积分的运算法则和直接积分法。
2两个基本积分法
换元积分法,分部积分法。
3有理函数的积分
待定系数法,*奥氏法。
4三角函数的有理函数的积分
万能代换,整角代换,降幂法及其它。
5简单无理函数的积分
分式线性函数的有理幂,*欧拉代换,*二项微分式的积分。
第五章定积分(12―14课时)
1定积分的概念和性质
概念的引入,定义,可积分性,几何意义,性质。
2微积分基本定理
*用定义计算定积分的几个例子,牛顿-莱布尼兹公式。
3定积分的换元法与分部积分法。
4定积分的应用
微元分析法,平面图形的面积,特殊立体的体积,曲线弧长,定积分在物理、力学中的应用。
*§
5定积分的近似计算
6广义积分的基本概念
无穷积分,瑕积分。
第六章广义积分与无穷级数(12―14课时)
1数项级数
定义及收敛性,收敛级数的性质,正项级数,任意项级数,绝对收敛级数。
2广义积分的收敛性
无穷积分和数项级数的关系,无穷积分的收敛判别法,欧拉积分。
3函数项级数的一般概念
收敛种种,*一致收敛性的判定,*一致收敛级数的性质和内闭一致收敛性。
4幂级数
收敛半径,幂级数的运算及分析性质,函数的幂级数展开。
5富里叶级数
上的富里叶级数,正弦级数和余弦级数,任意区间上的富里叶级数,*富里叶级数的逐项积分和逐项微分,*富里叶级数的复数形式。
第七章常微分方程(8--10课时)
1微分方程的基本概念
微分方程,解,通解,初始条件和特解等。
2一阶微分方程的基本解法
可分离变量的微分方程,齐次方程,准齐次方程,一阶线性微分方程,贝奴里方程。
3高阶线性微分方程解的结构
线性微分算子与线性相关性,齐次线性微分方程解的结构,非齐次线性微分方程解的结构。
4常系数线性微分方程
常系数二阶线性齐次方程,常系数二阶线性非齐次方程,*常系数高阶线性微分方程解法简介,*欧拉方程。
5几类高阶方程的降阶。
第八章空间解析几何与矢量代
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