高考数学理科一轮复习导数的概念及运算学案含答案Word文档格式.docx
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f(x)=xα(α∈Q*)f′(x)=______(α∈Q*)
F(x)=sinxf′(x)=__________
F(x)=sxf′(x)=____________
f(x)=ax(a&
gt;
0,a≠1)f′(x)=____________(a&
0,a≠1)
f(x)=exf′(x)=________
f(x)=lgax(a&
0,a≠1,且x&
0)f′(x)=__________(a&
0)
f(x)=lnxf′(x)=__________
.导数运算法则
(1)[f(x)±
g(x)]′=__________;
(2)[f(x)g(x)]′=______________;
(3)f&
#61480;
x&
#61481;
g&
′=______________[g(x)≠0].
6.复合函数的求导法则:
设函数u=φ(x)在点x处有导数ux′=φ′(x),函数=f(u)在点x处的对应点u处有导数u′=f′(u),则复合函数=f(φ(x))在点x处有导数,且′x=′u&
#8226;
u′x,或写作f′x(φ(x))=f′(u)φ′(x).
自我检测
1.在曲线=x2+1的图象上取一点(1,2)及附近一点(1+Δx,2+Δ),则ΔΔx为( )
A.Δx+1Δx+2B.Δx-1Δx-2
.Δx+2D.2+Δx-1Δx
2.设=x2&
ex,则′等于( )
A.x2ex+2xB.2xex
.(2x+x2)exD.(x+x2)&
ex
3.(2010&
全国Ⅱ)若曲线=x-12在点(a,a-12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18,则a等于( )
A.64B.32.16D.8
4.(2011&
临汾模拟)若函数f(x)=ex+ae-x的导函数是奇函数,并且曲线=f(x)的一条切线的斜率是32,则切点的横坐标是( )
A.-ln22B.-ln2
ln22D.ln2
.(2009&
湖北)已知函数f(x)=f′(π4)sx+sinx,则f(π4)=________探究点一 利用导数的定义求函数的导数
例1 利用导数的定义求函数的导数:
(1)f(x)=1x在x=1处的导数;
(2)f(x)=1x+2
变式迁移1 求函数=x2+1在x0到x0+Δx之间的平均变化率,并求出其导函数.
探究点二 导数的运算
例2 求下列函数的导数:
(1)=(1-x)1+1x;
(2)=lnxx;
(3)=xex;
(4)=tanx
变式迁移2 求下列函数的导数:
(1)=x2sinx;
(2)=3xex-2x+e;
(3)=lnxx2+1
探究点三 求复合函数的导数
例3 (2011&
莆田模拟)求下列函数的导数:
(1)=(1+sinx)2;
(2)=11+x2;
(3)=lnx2+1;
(4)=xe1-sx
变式迁移3 求下列函数的导数:
(1)=1&
1-3x&
4;
(2)=sin22x+π3;
(3)=x1+x2
探究点四 导数的几何意义
例4 已知曲线=13x3+43
(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程;
(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程;
(3)求满足斜率为1的曲线的切线方程.
变式迁移4 求曲线f(x)=x3-3x2+2x过原点的切线方程.
1.准确理解曲线的切线,需注意的两个方面:
(1)直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征,若直线与曲线只有一个公共点,则直线不一定是曲线的切线,同样,若直线是曲线的切线,则直线也可能与曲线有两个或两个以上的公共点.
(2)曲线未必在其切线的“同侧”,如曲线=x3在其过(0,0)点的切线=0的两侧.
2.曲线的切线的求法:
若已知曲线过点P(x0,0),求曲线过点P的切线则需分点P(x0,0)是切点和不是切点两种情况求解.
(1)点P(x0,0)是切点的切线方程为-0=f′(x0)(x-x0).
(2)当点P(x0,0)不是切点时可分以下几步完成:
第一步:
设出切点坐标P′(x1,f(x1));
第二步:
写出过P′(x1,f(x1))的切线方程为-f(x1)=f′(x1)(x-x1);
第三步:
将点P的坐标(x0,0)代入切线方程求出x1;
第四步:
将x1的值代入方程-f(x1)=f′(x1)(x-x1)可得过点P(x0,0)的切线方程.
3.求函数的导数要准确地把函数分割为基本初等函数的和、差、积、商及其复合运算,再利用运算法则求导数.在求导过程中,要仔细分析函数解析式的结构特征,紧扣法则,联系基本初等函数求导公式,对于不具备求导法则结构形式的要适当变形.
(满分:
7分)
一、选择题(每小题分,共2分)
1.已知函数f(x)=2ln(3x)+8x,则f&
1-2Δx&
-f&
1&
Δx的值为( )
A.10B.-10.-20D.20
2.(2011&
温州调研)如图是函数f(x)=x2+ax+b的部分图象,则函数g(x)=lnx+f′(x)的零点所在的区间是( )A14,12B.(1,2)
12,1D.(2,3)
3.若曲线=x4的一条切线l与直线x+4-8=0垂直,则l的方程为( )
A.4x--3=0B.x+4-=0
.4x-+3=0D.x+4+3=0
4.(2010&
辽宁)已知点P在曲线=4ex+1上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是( )
A0,π4Bπ4,π2π2,3π4D3π4,π
.(2011&
珠海模拟)在下列四个函数中,满足性质:
“对于区间(1,2)上的任意x1,x2(x1≠x2),|f(x2)-f(x1)|&
lt;
|x2-x1|恒成立”的只有( )
A.f(x)=1xB.f(x)=|x|
.f(x)=2xD.f(x)=x2
题号1234
答案
二、填空题(每小题4分,共12分)
6.一质点沿直线运动,如果由始点起经过t秒后的位移为s=13t3-32t2+2t,那么速度为零的时刻是__________.
7.若点P是曲线f(x)=x2-lnx上任意一点,则点P到直线=x-2的最小距离为________.
8.设点P是曲线=x33-x2-3x-3上的一个动点,则以P为切点的切线中,斜率取得最小值时的切线方程是__________________.
三、解答题(共38分)
9.(12分)求下列函数在x=x0处的导数.
(1)f(x)=ex1-x+ex1+x,x0=2;
(2)f(x)=x-x3+x2lnxx2,x0=1
10.(12分)(2011&
保定模拟)有一个长度为的梯子贴靠在笔直的墙上,假设其下端沿地板以3/s的速度离开墙脚滑动,求当其下端离开墙脚14时,梯子上端下滑的速度.
11.(14分)(2011&
平顶模拟)已知函数f(x)=12x2-alnx(a∈R).
(1)若函数f(x)的图象在x=2处的切线方程为=x+b,求a,b的值;
(2)若函数f(x)在(1,+∞)上为增函数,求a的取值范围.
自主梳理
1
2
(1)
(2)切线的斜率 切线斜率的取值范围
3′或f′(x)
4.0 αxα-1 sx -sinx axlna ex 1xlna 1x
.
(1)f′(x)±
g′(x)
(2)f′(x)g(x)+f(x)g′(x)
(3)f′&
g′&
[g&
]2
自我检测
1. 2 3A 4D
.1
解析 ∵f′(x)=-f′(π4)sinx+sx,
∴f′(π4)=2-1
∴f(π4)=1
堂活动区
例1 解题导引
(1)用导数定义求函数导数必须把分式ΔΔx中的分母Δx这一因式约掉才可能求出极限,所以目标就是分子中出现Δx,从而分子分母相约分.
(2)第
(1)小题中用到的技巧是“分子有理化”.“有理化”是处理根式问题常用的方法,有时用“分母有理化”,有时用“分子有理化”.
(3)注意在某点处的导数与导数定义式的区别:
;
(4)用导数的定义求导的步骤为:
①求函数的增量Δ;
②求平均变化率ΔΔx;
③化简取极限.
解
(1)ΔΔx=f&
1+Δx&
Δx
=
=,
∴
=-12
(2)ΔΔx=f&
x+Δx&
=&
x+2&
-&
x+2+Δx&
Δx&
&
=-1&
,
2
变式迁移1 解 ∵Δ=&
x0+Δx&
2+1-x20+1
2+1-x20-1&
2+1+x20+1
=2x0Δx+&
2&
2+1+x20+1,
∴ΔΔx=2x0+Δx&
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