七年级数学下册第9章不等式与不等式组Word下载.docx
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不等式也是经常考到的内容,经常出现在选择题、填空题中,以解不等式为主.有时在一些解答题中也要用到不等式,利用不等关系求范围等.
第二节、教材解读
1.常用的不等号有哪些?
常用的不等号有五种,其读法和意义是:
(1)“≠”读
作“不等于”,它说明两个量是不相等的,但不能明确哪个大哪个小.
(2)“>”读作“大于”,表示其左边的量比右边的量大.
(3)“<”读作“小于”,表示其左边的量比右边的量小.
(4)“≥”读作“大于或等于”,即“不小于”,表示左边的量不小于右边的量.
(5)“≤”读作“小于或等于”,即“不大于”,表示左边的量不大于右
边的量.
2.如何恰当地列不等式表示不等关系?
(1)找准题中不等关系的两个量,并用代数式表示.
(2)正确理解题目中的关键词语,如:
多、少、快、慢、增加了、减少了、不足、不到、不大于、不小于、不超过、非负数、至多、至少等的确切含义.
(3)选用与题意符合的不等号将表示不等关系的两个量的代数
式连接起来.
根据下列关系列不等式:
a的2倍与b的
的和不大于3.前者用代数式表示是2a+
b.“不大于”就是“小于或等于”.
列不等式为:
2a+
b≤3.
3.用数轴表示不等式注意什么?
用数轴表示不等式要注意两点:
一是边界;
二是方向.若边界点在范围内则用实心点表示,若边界点不在范围内,则用空心圆圈表示;
方向是对于边界点而言,大于向右画,而小于则向左画.
在同一个数轴上表示下列两个不等式:
x>-3;
x≤2.
第三节、错题剖析
一、去括号时,错用乘法分配律
【例1】解不等式
3x+2(2-4x)<
19.
错解:
去括号,得
3x+4-4x<
19,解得x>
-15.
诊断:
错解在去括号时,括号前面的数2没有乘以括号内的每一项.
正解:
3x+4-8x<
19,
-5x<
15,所以x>
-3.
二、去括号时,忽视括号前的负号
【例2】解不等式
5x-3(2x-1)>
-6.
5x-6x-3>
-6,解得x<
3.
诊断:
去括号时,当括号前面是“-”时,去掉括号和前面的“-”,括号内的各项都要改变符号.错解在去括号时,没有将括号内的项全改变符号.
5x-6x+3>
-6,
所以-x>
-9,所以x<
9.
三、移项时,不改变符号
【例3】解不等式
4x-5<
2x-9.
错解:
移项,得
4x+2x<
-9-5,
即6x<
-14,所以
一元一次不等式中的移项和一元一次方程中的移项一样,移项就要改变符号,错解忽略了这一点.
4x-2x<
-9+5,
解得2x<
-4,所以x<
-2.
四、去分母时
,忽视分数线的括号作用
【例4】
解不等式
去分母,得
6x-2x-5>
14,解得
诊断:
去分母时,如果分子是一个整式,去掉分母后要用括号将分子括起来.错解在去掉分母时,忽视了分数线的括号作用.
正解:
6x-(2x-5)>
14,
6x-2x+5>
五、不等式两边同除以负数,不改变方向
【例5】 解不等式
3x-6<1+7x.
错解:
3x-7x<1+6,
即-4x<7,所以
诊断:
将不等式-4x<7的系数化为1时,不等式两边同除以-4后,根据不等式的基本性质:
不等式两边同乘以或同除以同一个负数,不等号要改变方向,因此造成了错解.
正解:
移项,得
3x-7x<
1+6,
即-4x<7,
所以x>
【例6】x2与a的和不是正数用不等式表示.
错解及分析:
x2+a<
0.对“不是正数”理解不清.x2与a的和是0或负数.
x2+a≤0.
【例7】求不等式
的非负整数解.
错解及分析:
整理得,3x≤16,所以
故其非负整数解是1,2,3,4,5.
本例的解题过程没有错误,错在对“非负整数”的理解.
整理得,3x≤16,所以
故其非负整数解是0,1,2,3,4,5.
【例8】解不等式3-5(
x-2)-4(-1+5x)<
0.
去括号,得3-x-2-4+5x<
0,即4x<
3,所以
本题一是去括号后各项没有改变符号;
二是一个数乘以一个多项式时应该把这个数和多项式的每一项相乘.
去括号得3-x+10+4-20x<
0,
即-21x<
-17,所以
【例9】解不等式7x-6<
4x-9.
移项,得
7x+4x<
-9-6,
即11x<
-15,所以
一元一次不等式中移项和一元一次方程中的移项一样,都要改变符号.
移项,得7x-4x<
-9+6,
即3x<
-3,所以x<
-1.
【例10】解不等式
去分母,得
3+2(2-3x)≤5(1+x).
即11x≥2,所以
错误的原因是在去分母时漏乘了不含分母的一项“3”.
30+2(2-3x)≤5(1+x).
即11x≥29,所以
【例11】解不等式6x-6≤1+7x.
移项,得6x-7x≤1+6.
即-x≤7,所以x<
-7.
将不等式-x≤7的系数化为1时,不等式两边同除以-1,不等号没有改变方向,因此造成了错解.
移项,得6x-7x<
1+6.
即-x≤7,所以x≥-7.
【例12】解关于x的不等式m(x-2)>
x-2.
化简,得(m-1)x>
2(m-1),所以x>
2.
错解默认为m-1>
0,实际上m-1还可能小于或等于0.
2(m-1),
①当m-1>
0时,x>
2;
②当m-1<
0时,x<
③当m-1=0时,无解.
【例13】解不等式(a-1)x>3.
错解:
系数化为1,得x>
.
此题的未知数系数含有字母,不能直接在不等式两边同时除以这个系数,应该分类讨论.
①当a-1>0时,x>
;
②当a=1时,0×
x>3,不等式无解;
③当a-1<0时,x<
【例14】不等式组
的解集为
.
两个不等式相加,得x-1<0,所以x<1.
这是解法上的错误,它把解不等式组与解一次方程组的方法混为一谈,不等式组的解法是分别求出不等式组中各个不等式的解集,然后在数轴上表示出来,求得的公共部分就是不等式组的解集,而不能用解方程组的方法来求解
解不等式组,得
在同一条数轴上表示出它们的解集,如图,
所以不等式组的解集为:
0<x<
【例15】解不等式组
因为5x-3>4x+2,且4x+2>3x-2,
所以5x-3>3x-2.
移项,得5x-3x>-2+3.
解得x>
上面的解法套用了解方程组的方法,是否正确,我们可以在x>
的条件下,任取一个x的值,看是否满足不等式组.如取x=1,将它代入5x-3>4x+2,得2>6(不成立).可知x>
不是原方程组的解集,其造成错误的原因是由原不等式组变形为一个新的不等式时,改变了不等式的解集.
由5x-3>4x+2,得x>5.
由4x+2>3x-2,得x>-4.
综合x>5和x>-4,得原不等式组的解集为x>5.
【例16】解不等式组
由不等式2x+3<
7可得x<
由不等式5x-6>
9可得x>
所以原不等式组的解集为2>
x>
由不等式性质可得,2>
3,这是不可能的.
所以原不等式组无解.
【例17】解不等式
去分母,得3-4x-1>9x.移项,得-4x-9x>1-3合并,得-13x>-2系数化为1,得
本题忽视了分数线的双重作用,去分母时,若分子为多项式,应对其加上括号.
去分母,得3-(4x-1)>9x去括号,得3-4x+1>9x.移项,得-4x-9x>-1-3合并,得-13x>-4系数化为1,得
【例18】若不等式组
的解集为x>
2,则a的取值范围是(
).
A.a<
2
B.a≤2
C.a>
D.a≥2
原不等式组可分为
得a<
2,故选A.
当a=2时,原不等式组变为
解集也为x>
应为a≤2,故选B.
【例19】解不等式组
②-①,得不等式组的解集为x<
-13.
错解中把方程组的解法套用到不等式组中.
由不等式2x<
7+x得到x<
7.
由不等式3x<
x-6得到x<
所以原不等式组的解集为x<
第四节、思维点拨
一、巧用乘法
【例1】解不等式0.125x<3.
【思考与分析】此不等式是一元一次不等式的一般形式,只需不等式两边同时除以0.125,就可以化系数为“1”,但是较繁.不如利用不等式的性质2两边同乘以8要比两边同除以0.125解得简捷.
解:
两边同乘以8,得x<24.
二、巧去分母
【思考与分析】常规方法是先去分母,但仔细观察就会发现
,可先进行移项.
解:
合并同类项,得x≥-1.
【例3】解不等式
【思考与分析】常规方法是去分母,两边同乘以分母的最小公倍数.但我们会注意到“0.25×
4=1,0.5×
2=1”,则利用分数的性质,对左边第一项分子、分母同乘以4,第二项分子、分母同乘以2,这样就可以化去分母并且系数为整数.
利用分数的性质(即左边第一项分子、分母同乘以4,第二项分子、分母同乘以2),得8x+4-2(x-2)≤2,
去括号,得8x+4-2x+4≤2,
移项,合并同类项,得
6x≤-6两边同时除以6得
x≤-1.
三、根据已知条件取特殊值
【
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- 七年 级数 下册 不等式