九年级数学 初中各种函数知识点总结良心出品必属Word下载.docx
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3、函数的三种表示法及其优缺点
(1)解析法
两个变量间的函数关系,有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示,这种表示法叫做解析法。
(2)列表法
把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系,这种表示法叫做列表法。
(3)图像法
用图像表示函数关系的方法叫做图像法。
4、由函数解析式画其图像的一般步骤
(1)列表:
列表给出自变量与函数的一些对应值
(2)描点:
以表中每对对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点
(3)连线:
按照自变量由小到大的顺序,把所描各点用平滑的曲线连接起来。
知识点四,正比例函数和一次函数
1、正比例函数和一次函数的概念
一般地,如果(k,b是常数,k0),那么y叫做x的一次函数。
?
b?
kx?
y特别地,当一次函数中的b为0时,(k为常数,k0)。
这?
kxy?
bkx?
y时,y叫做x的正比例函数。
2、一次函数的图像:
所有一次函数的图像都是一条直线
3、一次函数、正比例函数图像的主要特征:
一次函数的图像是经b?
y?
kx过点(0,b)的直线;
正比例函数的图像是经过原点(0,0)的直线。
kxy?
3
k的符号
b的符号
函数图像
图像特征
k>
b>
y
0
x
图像经过一、二、三象限,y随x的增大而增大。
b<
0x
图像经过一、三、四象限,y随x的增大而增大。
k<
图像经过一、二、四象限,y随x的增大而减小
图像经过二、三、四象
4
的增大而减小。
y随x限,
时,一次函数变为正比例函数,正比例函数是一次函数的特例。
注:
当b=0
4、正比例函数的性质一般地,正比例函数有下列性质:
的增大而增大;
x时,图像经过第一、三象限,y随
(1)当k>
0的增大而减小。
随xy
(2)当k<
0时,图像经过第二、四象限,
、一次函数的性质5一般地,一次函数有下列性质:
by?
x随的增大而增大k>
0
(1)当时,y的增大而减小xyk<
02()当时,随
5
6、正比例函数和一次函数解析式的确定
确定一个正比例函数,就是要确定正比例函数定义式(k0)中的常?
数k。
确定一个一次函数,需要确定一次函数定义式(k0)中的常?
数k和b。
解这类问题的一般方法是待定系数法
知识点五、反比例函数
1、反比例函数的概念
k)叫做反比例函数。
反比例函数的解k0一般地,函数(k是常数,?
y
x的一切实数,函x0的取值范围是析式也可以写成的形式。
自变量x1?
数的取值范围也是一切非零实数。
、反比例函数的图像2反比例函数的图像是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、,由于反比例函数中自变量它们关于原点对称。
x0三象限,或第二、四象限,?
轴都没有交点,即双曲线的两个分支无y0函数y,所以,它的图像与x轴、?
限接近坐标轴,但永远达不到坐标轴。
6
3、反比例函数的性质
反比例函数
k)?
k?
y0(x
的符k号
图像
yOx
7
性质
的取值范围是x0,①x?
y的取值范围是y0;
时,函数图像的两个分支②当k>
0分别在第一、三象限。
在每个象限内,y随x的增大而减小。
,的取值范围是x0①x?
;
的取值范围是y0y?
函数图像的两个分支时,②当k<
0分别在第二、四象限。
在每个象限内,y随x的增大而增大。
4、反比例函数解析式的确定k只有一个由于在反比例函数确定及诶是的方法仍是待定系数法。
中,?
x的k待定系数,因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标,即可求出值,从而确定其解析式。
、反比例函数中反比例系数的几何意义5k,P图像上任一点如下图,过反比例函数作x轴、y轴的垂线PM)y?
(k0?
xk。
。
S=PMPN,则所得的矩形PMON的面积PN=
xy?
yx?
y,xyk,S?
x
知识点六、二次函数的概念和图像
1、二次函数的概念不为零,那,特别注意a一般地,如果特2)?
是常数,,,(?
axy?
bxcabca0么yx的二次函数。
叫做叫做二次函数的一般式。
2)a(?
bxax?
c是常数,c,b,a0?
8
2、二次函数的图像
b对称的曲线,这条曲线叫抛物线。
二次函数的图像是一条关于?
x
a2抛物线的主要特征:
①有开口方向;
②有对称轴;
③有顶点。
3、二次函数图像的画法五点法:
,在平面直角坐标系中描出顶点M
(1)先根据函数解析式,求出顶点坐标,并用虚线画出对称轴与坐标轴的交点:
(2)求抛物线2cbx?
ax?
y轴的交当抛物线与x轴有两个交点时,描出这两个交点A,B及抛物线与y。
将这五个点按从左到右的顺序连接起来,并向点C,再找到点C的对称点D上或向下延伸,就得到二次函数的图像。
及C轴只有一个交点或无交点时,描出抛物线与y轴的交点当抛物线与x三点可粗略地画出二次函数的草图。
如果需要画出比较DM、D对称点。
由C、,然后顺次连接五点,画出二次函数、B精确的图像,可再描出一对对称点A的图像。
知识点七、二次函数的解析式三顶点二次函数的解析式有三种形式:
口诀-----一般两根
(1)一般一般式:
2)是常数,,c(ab,ca?
0?
bx轴有交点时,即对应二次好方程x当抛物线与)两根(22cbxax?
9
有实根和存在时,根据二次三项式的分解因式2xx0?
axc?
bx21,二次函数可转化为两根式22)xx)(x?
bx?
c?
a(xax?
cbx?
y21。
如果没有交点,则不能这样表示。
)xx)(x?
a(x?
21(3)三顶点顶点式:
2)?
0k是常数,a?
k(a,hy?
h),a的绝对值越大,抛物线的开口越小。
知识点八、二次函数的最值
如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最2b?
4acb小值),即当时,。
最值4a2ab是否在自变量取,那么,首先要看如果自变量的取值范围是xx?
212a2b?
4acb值范围内,若在此范围内,则当x=时,;
若不在此?
21最值4a2a范围内,则需要考虑函数在范围内的增减性,如果在此范围内,y随x?
xx?
21,;
x的增大而增大,则当时,当时,22x?
xcbx?
bxcy112212最小最大,如果在此范围内,y随x的增大而减小,则当时,当2x?
xxc?
yax1121最大时,。
2c?
ax22最小知识点九、二次函数的性质
1、二次函数的性质
函数
二次函数
2)0是常数,ca?
,(?
bxcab
图像
a>
a<
10
y0x
性质
(1)抛物线开口向上,并向上无限延伸;
b,顶点坐标是2()对称轴是x=?
2a2b4ac?
b;
(,)?
a42abx<
(3)在对称轴的左侧,即当?
2ax的增大而减小;
在对时,y随b时,yx>
称轴的右侧,即当?
2a随x的增大而增大,简记左减右增;
b当)(4抛物线有最低点,x=时,?
2a
并向下无限抛物线开口向下,1)(延伸;
b顶点坐标是,2)对称轴是x=(?
a22b?
4acb;
(,)?
a4a2bx<
在对称轴的左侧,即当(3)?
a2的增大而增大;
在xy时,随b时,对称轴的右侧,即当x>
a2的增大而减小,简记左xy随增右减;
b时,x=)4抛物线有最高点,当(?
a2
11
】h<
0)>
0)
【或左(向右(h向右(h>
0)】<
0)个单位|k|平移个单位k|平移|】
(k<
0)向上(k【或下个单位平移|k|
2?
b4acy有最小值,?
y最小值4a2y=ax
2b?
4ac有最大值,y?
y最大值a42k+y=ax
的含义:
中,2、二次函数2)0c,b,是常数,a?
axbx?
c(acb、a、时,抛物线开口向上表示开口方向:
>
0aa时,抛物线开口向下<
0ab与对称轴有关:
对称轴为x=?
b
a2,)y轴的交点坐标:
(0表示抛物线与cc
3、二次函数与一元二次方程的关系
轴的交点坐标。
一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴是否有x因此一元二次方程中的,在二次函数中表示图像与2ac?
b4?
交点。
轴有两个交点;
x当>
0时,图像与?
轴有一个交点;
时,图像与x=0当?
轴没有交点。
<
0当时,图像与x?
中考二次函数压轴题常考公式(必记必会,理解记忆)知识点十
12
1、两点间距离公式(当遇到没有思路的题时,可用此方法拓展思路,以寻求解题方法)
y
如图:
点A坐标为(x,y)点B坐标为(x,y)2112?
22AAB的长度为间的距离,即线段则AByy?
2112
0x
B
2.二次函数图象的平移
①将抛物线解析式转化成顶点式,确定其顶点坐标;
2?
kh,kh?
yax?
②保持抛物线的形状不变,将其顶点平移到处,具体平移方法?
2k,haxy?
如下:
13
向上(k>
【或向下(k<
0)】平移|k|个单位
】<
【或左(h(向右(h>
【或左h个单位|k|平移2)y=a(x-h2+kx-h)y=a(个单位|k|【或下向上(k>
0)(k<
0)】平移
③平移规律
负下移”.负左移;
值正上移,在原有函数的基础上“值正右移,kh
)(必须理解记忆异右下减特别记忆--同左上加
说明:
值异号,图像顶轴左侧同左,ab,b值同号,图像顶点在y①函数中aY轴右侧异右点必在向左向上移动为加左上加,向右向下移动为减右下减②
轴上的截距b、直线斜率:
为直线在y3yy?
12?
tan
x?
x12、直线方程:
4
:
①两点由直线上两点确定的直线的两点式方程,简称两式
12)x(x?
ykx?
(tan)x?
b
11x?
x12②点斜)?
x(yy?
kxx110)
≠+=直线的斜截式方程,简称斜截式③斜截:
ykxb(k14
简称截轴和轴上的截距确定的直线的截距式方程,④截距由直线在yxyx距式:
1?
ba截距点斜斜截牢记口诀---两点斜截距--两点
ll、设两条直线分别为,:
:
5b?
yb?
y122211l//lb?
bkk?
l//l?
若且。
,则有21212211若1?
l?
2211
:
6、点P(x,y)到直线y=kx+b(即:
kx-y+b=0)的距离00bkxkx?
0000?
d2221k(?
1)k?
7.抛物线中,abc,的作用2c?
ax
(1)决定开口方向及开口大小,这与中的完全一样.2ax?
yaa
(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对2cbxax?
ab称轴是直线
bb,故:
①时,对称轴为轴;
②(即、同号)时,对x?
0ayb0b?
aa2b口、(即异号)时,对称轴在轴右侧.称轴在轴左侧;
③0?
ayyb
a诀---同左异右
(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.
2yc?
c当时,,∴抛物线与轴有且只有一个交点(0,2ycybx?
cy?
0x?
15
):
c①,抛物线经过原点;
0?
c②,与轴交于正半轴;
y0c?
③,与轴交于负半轴.
y0?
c以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立.如抛物线的对称轴在轴yb.右侧,则0?
a
)十一,初中数学助记口诀(函数部分
(+,+),(-,+),(-,-)(x,y),横在前来纵在后;
特殊点坐标特征:
坐标平面点轴。
00,x为在Y(+,-),和四个象限分前后;
X轴上y为
Y相反X轴对称y对称点坐标要记牢对称点坐标:
相反数位置莫混淆,横纵坐标变符号。
轴对称,x前面添负号;
原点对称最好记,
自变量的取值范围:
分式分母不为零,偶次根下负不行;
零次幂底数不为零,整式、奇次根全能行。
、二次函数+b(x+0)y=k函数图像的移动规律:
若把一次函数解析式写成,2+k的形式,则用下面后的口诀“左右平移在括号(的解析式写成y=ax+h)同左上加,异右下减.上下平移在末稍
一次函数是直线,图像经过仨象限;
正比例函一次函数图像与性质口诀:
16
数更简单,经过原点一直线;
两个系数k与b,作用之大莫小看,k是斜率定夹角,b与Y轴来相见,k为正来右上斜,x增减y增减;
k为负来左下展,变化规律正相反;
k的绝对值越大,线离横轴就越远。
二次函数图像与性质口诀:
二次函数抛物线,图象对称是关键;
开口、顶点和交点,它们确定图象现;
开口、大小由a断,c与Y轴来相见,b的符号较特别,符号与a相关联;
顶点位置先找见,Y轴作为参考线,左同右异中为0,牢记心中莫混乱;
顶点坐标最重要,一般式配方它就现,横标即为对称轴,纵标函数最值见。
若求对称轴位置,符号反,一般、顶点、交点式,不同表达能互换。
反比例函数图像与性质口诀:
反比例函数有特点,双曲线相背离的远;
k为正,图在一、三(象)限,k为负,图在二、四(象)限;
图在一、三函数减,两个分支分别减。
图在二、四正相反,两个分支分别添;
线越长越近轴,永远与轴不沾边。
正比例函数是直线,图象一定过圆点,k的正负是关键,决定直线的象限,负k经过二四限,x增大y在减,上下平移k不变,由引得到一次线,向上加b向下减,图象经过三个限,两点决定一条线,选定系数是关键。
反比例函数双曲线,待定只需一个点,正k落在一三限,x增大y在减,图象上面任意点,矩形面积都不变,对称轴是角分线x、y的顺序可交换。
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二次函数抛物线,选定需要三个点,a的正负开口判,c的大小y轴看,△的符号最简便,x轴上数交点,a、b同号轴左边抛物线平移a不变,顶点牵着图象转,三种形式可变换,配方法作用最关键。
1.对称点坐标:
对称点坐标要记牢,相反数位置莫混淆,
X轴对称y相反,Y轴对称,x前面添负号;
原点对称最好记,横纵坐标变符号。
关于轴对称x关于轴对称后,得到的解析式是;
22cax?
bxy?
x关于轴对称后,得到的解析式是;
22?
khy?
aax?
hk?
x关于轴对称y关于轴对称后,得到的解析式是;
22c?
cbxy?
y关于轴对称后,得到的解析式是;
kax?
h?
kxh?
ay关于原点对称
关于原点对称后,得到的解析式是;
22cbx?
y关于原点对称后,得到的解析式是22?
hx?
关于顶点对称
2b关于顶点对称后,得到的解析式是;
22caxy?
a2关于顶点对称后,得到的解析式是.22?
ky?
axhh?
关于点对称?
nm,关于点对称后,得到的解析式是22?
nm,kh?
ay?
xkn2ha?
m?
18
根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方
a便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式.
口诀---Y反对X,X反对Y,都反对原点
2.自变量的取值范围:
零次幂底数不为零,
3.函数图像的移动规律:
若把一次函数解析式写成y=k(x+0)+b,
二次函数的解析式写成y=a(x+h)2+k的形式,
则用下面后的口诀:
“左右平移在括号,上下平移在末稍,
左正右负须牢记,上正下负错不了”。
4.一次函数图像与性质口诀:
正比例函数更简单,经过原点一直线;
19
两个系数k与b,作用之大莫小看,
k是斜率定夹角,b与Y轴来相见,
k为正来右上斜,x增减y增减;
5.二次函数图像与性质口诀:
开口、顶点和交点,它们确定图象限;
若求对称轴位置,符号反,一般、顶点、交点式,不同表达能互换。
20
轴看,△的y的正负开口判,c的大小二次函数抛物线,选定需要三个点,a不变,顶点牵着a、b同号轴左边抛物线平移符号最简便,x轴上数交点,a图象转,三种形式可变换,配方法作用最关键。
6.反比例函数图像与性质口诀
;
双曲线相背离的远反比例函数有特点,;
)限图在二、四(象,,为正图在一、三(象)限;
k为负k线;
两个分支分别减;
图在二、四正相反,两个分支分别添,图在一、三函数减永远与轴不沾边。
越长越近轴,
的正负是关键,决定k函数学习口决:
正比例函数是直线,图象一定过原点,不变,由引得到一在减,上下平移k经过二四限,kx增大y直线的象限,负向下减,图象经过三个限,两点决定一条线,选定系数是关次线,向上加b键;
在减,图象增大yx反比例函数双曲线,待定只需一个点,正k落在一三限,的顺序可交换;
x、y上面任意点,矩形面积都不变,对称轴是角分线
7.求定义域:
21
求定义域有讲究,四项原则须留意。
负数不能开平方,分母为零无意义。
指是分数底正数,数零没有零次幂。
限制条件不唯一,满足多个不等式。
求定义域要过关,四项原则须注意。
分数指数底正数,数零没有零次幂。
限制条件不唯一,不等式组求解集。
8.解一元一次不等式:
先去分母再括号,移项合并同类项。
系数化“1”有讲究,同乘除负要变向。
先去分母再括号,移项别忘要变号。
同类各项去合并,系数化“1”注意了。
同乘除正无防碍,同乘除负也变号。
9.解一元二次不等式:
22
首先化成一般式,构造函数第二站。
判别式值若非负,曲线横轴有交点。
a正开口它向上,大于零则取两边。
代数式若小于零,解集交点数之间。
方程若无实数根,口上大零解为全。
小于零将没有解,开口向下正相反。
10.用公式法解一元二次方程要用公式解方程,首先化成一般式。
调整系数随其后,使其成为最简比。
,计算方程判别式。
确定参数abc
判别式值与零比,有无实根便得知。
有实根可套公式,没有实根要告之。
11.用常规配方法解一元二次方程:
”是其次。
左未右已先分离,二系化“1
一系折半再平方,两边同加没问题。
左边分解右合并,直接开方去解题。
该种解法叫配方,解方程时多练习。
12.用间接配方法解一元二次方程:
23
已知未知先分离,因式分解是其次。
调整系数等互反,和差积套恒等式。
完全平方等常数,间接配方显优势
【注】恒等式
13.解一元二次方程:
方
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