《选修45不等式选讲》知识点详解 例题 习题含详细答案解析Word下载.docx
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|β|≥|α·
β|,当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立.
1.判断正误(在括号内打“√”或“×
”)
(1)对|a+b|≥|a|-|b|当且仅当a>
b>
0时等号成立.( )
(2)对|a-b|≤|a|+|b|当且仅当ab≤0时等号成立.( )
(3)|ax+b|≤c(c>
0)的解等价于-c≤ax+b≤c.( )
(4)不等式|x-1|+|x+2|<
2的解集为Ø
.( )
(5)若实数x、y适合不等式xy>
1,x+y>
-2,则x>
0,y>
0.( )
[答案]
(1)×
(2)√ (3)√ (4)√ (5)√
2.不等式|2x-1|-x<
1的解集是( )
A.{x|0<
x<
2}B.{x|1<
2}
C.{x|0<
1}D.{x|1<
3}
[解析] 解法一:
x=1时,满足不等关系,排除C、D、B,故选A.
解法二:
令f(x)=则f(x)<
1的解集为{x|0<
2}.
[答案] A
3.设|a|<
1,|b|<
1,则|a+b|+|a-b|与2的大小关系是
( )
A.|a+b|+|a-b|>
2B.|a+b|+|a-b|<
2
C.|a+b|+|a-b|=2D.不能比较大小
[解析] |a+b|+|a-b|≤|2a|<
2.
[答案] B
4.若a,b,c∈(0,+∞),且a+b+c=1,则++的最大值为( )
A.1B.
C.D.2
[解析] (++)2=(1×
+1×
)2≤(12+12+12)(a+b+c)=3.
当且仅当a=b=c=时,等号成立.
∴(++)2≤3.
故++的最大值为.故应选C.
[答案] C
5.若存在实数x使|x-a|+|x-1|≤3成立,则实数a的取值范围是________.
[解析] 利用数轴及不等式的几何意义可得x到a与到1的距离和小于3,所以a的取值范围为-2≤a≤4.
[答案] -2≤a≤4
考点一 含绝对值的不等式的解法
解|x-a|+|x-b|≥c(或≤c)型不等式,其一般步骤是:
(1)令每个绝对值符号里的代数式为零,并求出相应的根.
(2)把这些根由小到大排序,它们把定义域分为若干个区间.
(3)在所分区间上,去掉绝对值符号组成若干个不等式,解这些不等式,求出它们的解集.
(4)这些不等式解集的并集就是原不等式的解集.
解绝对值不等式的关键是恰当的去掉绝对值符号.
(1)(2015·
山东卷)不等式|x-1|-|x-5|<
2的解集是( )
A.(-∞,4)B.(-∞,1)
C.(1,4)D.(1,5)
(2)(2014·
湖南卷)若关于x的不等式|ax-2|<
3的解集为,则a=________.
[解题指导] 切入点:
“脱掉”绝对值符号;
关键点:
利用绝对值的性质进行分类讨论.
[解析]
(1)当x<
1时,不等式可化为-(x-1)+(x-5)<
2,即-4<
2,显然成立,所以此时不等式的解集为(-∞,1);
当1≤x≤5时,不等式可化为x-1+(x-5)<
2,即2x-6<
2,解得x<
4,又1≤x≤5,所以此时不等式的解集为[1,4);
当x>
5时,不等式可化为(x-1)-(x-5)<
2,即4<
2,显然不成立,所以此时不等式无解.
综上,不等式的解集为(-∞,4).故选A.
(2)∵|ax-2|<
3,∴-1<
ax<
5.
当a>
0时,-<
,与已知条件不符;
当a=0时,x∈R,与已知条件不符;
当a<
0时,<
-,又不等式的解集为,故a=-3.
[答案]
(1)A
(2)-3
用零点分段法解绝对值不等式的步骤:
(1)求零点;
(2)划区间、去绝对值号;
(3)分别解去掉绝对值的不等式;
(4)取每个结果的并集,注意在分段时不要遗漏区间的端点值.
对点训练
已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.
(1)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集;
(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.
[解]
(1)当a=-3时,f(x)=
当x≤2时,由f(x)≥3得-2x+5≥3,解得x≤1;
当2<
3时,f(x)≥3无解;
当x≥3时,由f(x)≥3得2x-5≥3,解得x≥4;
所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}.
(2)f(x)≤|x-4|⇔|x-4|-|x-2|≥|x+a|.
当x∈[1,2]时,|x-4|-|x-2|≥|x+a|
⇔4-x-(2-x)≥|x+a|⇔-2-a≤x≤2-a.
由条件得-2-a≤1且2-a≥2,即-3≤a≤0.
故满足条件的a的取值范围为[-3,0].
考点二 利用绝对值的几何意义或图象解不等式
对于形如|x-a|+|x-b|>
c或|x-a|+|x-b|<
c的不等式,利用绝对值的几何意义或者画出左、右两边函数的图象去解不等式,更为直观、简捷,它体现了数形结合思想方法的优越性.
|x-a|+|x-b|的几何意义是数轴上表示x的点与点a和点b的距离之和,应注意x的系数为1.
(1)(2014·
重庆卷)若不等式|x-1|+|x+2|≥a2+a+2对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是________.
(2)不等式|x+1|-|x-2|>
k的解集为R,则实数k的取值范围是__________.
绝对值的几何意义;
把恒成立问题转化为最值问题.
[解析]
(1)∵|x-1|+|x+2|≥|(x-1)-(x-2)|=3,
∴a2+a+2≤3,解得≤a≤.
即实数a的取值范围是.
(2)解法一:
根据绝对值的几何意义,设数x,-1,2在数轴上对应的点分别为P,A,B,则原不等式等价于PA-PB>
k恒成立.∵AB=3,即|x+1|-|x-2|≥-3.故当k<
-3时,原不等式恒成立.
令y=|x+1|-|x-2|,
则y=
要使|x+1|-|x-2|>
k恒成立,从图象中可以看出,只要k<
-3即可.故k<
-3满足题意.
[答案]
(1)
(2)(-∞,-3)
解含参数的不等式存在性问题,只要求出存在满足条件的x即可;
不等式的恒成立问题,可转化为最值问题,即f(x)<
a恒成立⇔a>
f(x)max,f(x)>
a恒成立⇔a<
f(x)min.
(2015·
唐山一模)已知函数f(x)=|2x-a|+a,a∈R,g(x)=|2x-1|.
(1)若当g(x)≤5时,恒有f(x)≤6,求a的最大值;
(2)若当x∈R时,恒有f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围.
[解]
(1)g(x)≤5⇔|2x-1|≤5⇔-5≤2x-1≤5⇔-2≤x≤3;
f(x)≤6⇔|2x-a|≤6-a⇔a-6≤2x-a≤6-a⇔a-3≤x≤3.
依题意有,a-3≤-2,a≤1.
故a的最大值为1.
(2)f(x)+g(x)=|2x-a|+|2x-1|+a≥|2x-a-2x+1|+a=|a-1|+a,
当且仅当(2x-a)(2x-1)≤0时等号成立.
解不等式|a-1|+a≥3,得a的取值范围是[2,+∞).
考点三 不等式的证明与应用
不等式的证明方法很多,解题时既要充分利用已知条件,又要时刻瞄准解题目标,既不仅要搞清是什么,还要搞清干什么,只有兼顾条件与结论,才能找到正确的解题途径.
应用基本不等式时要注意不等式中等号成立的条件.
新课标全国卷Ⅱ)设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明:
(1)若ab>
cd,则+>
+;
(2)+>
+是|a-b|<
|c-d|的充要条件.
不等式的性质;
不等式的恒等变形.
[证明]
(1)因为(+)2=a+b+2,(+)2=c+d+2,
由题设a+b=c+d,ab>
cd得(+)2>
(+)2.
因此+>
+.
(2)①若|a-b|<
|c-d|,则(a-b)2<
(c-d)2,即(a+b)2-4ab<
(c+d)2-4cd.
因为a+b=c+d,所以ab>
cd.
由
(1)得+>
②若+>
+,则(+)2>
(+)2,即
a+b+2>
c+d+2.
cd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<
(c+d)2-4cd=(c-d)2.
因此|a-b|<
|c-d|.
综上,+>
分析法是证明不等式的重要方法,当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系,较难发现条件和结论之间的关系时,可用分析法来寻找证明途径,使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.
(2014·
新课标全国卷Ⅱ)设a、b、c均为正数,且a+b+c=1.证明:
(1)ab+bc+ac≤;
(2)++≥1.
[证明]
(1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.
由题设得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.
所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤.
(2)因为+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,
故+++(a+b+c)≥2(a+b+c),
即++≥a+b+c.
所以++≥1.
———————方法规律总结————————
[方法技巧]
1.绝对值不等式求解的根本方向是去除绝对值符号.
2.绝对值不等式在求与绝对值运算有关的最值问题时需灵活运用,同时还要注意等号成立的条件.
3.在证明不等式时,应根据命题提供的信息选择合适的方法与技巧.如在使用柯西不等式时,要注意右边为常数.
[易错点睛]
1.对含有参数的不等式求解时,分类要完整.
2.应用基本不等式和柯西不等式证明时要注意等号成立的条件.
课时跟踪训练(七十)
一、填空题
1.不等式|2x-1|<
3的解集为__________.
[解析] |2x-1|<
3⇔-3<
2x-1<
3⇔-1<
[答案] (-1,2)
2.若不等式|kx-4|≤2的解集为{x|1≤x≤3},则实数k=__________.
[解析] ∵|kx-4|≤2,∴-2≤kx-4≤2,∴2≤kx≤6.
∵不等式的解集为{x|1≤x≤3},∴k=2.
[答案] 2
3.不等式|2x+1|+|x-1|<
2的解集为________.
[解析] 当x≤-时,原不等式等价为-(2x+1)-(x-1)<
2,即-3x<
2,x>
-,此时-<
x≤-.当-<
1时,原不等式等价为(2x+1)-(x-1)<
2,即x<
0,此时-<
0.当x≥1时,原不等式等价为(2x+1)+(x-1)<
2,即3x<
2,x<
,此时不等式无解,综上,原不等式的解为-<
0,即原不等式的解集为.
[答案]
4.已知关于x的不等式|x-1|+|x|≤k无解,则实数k的取值范围是__________.
[解析] ∵|x-1|+|x|≥|x-1-x|=1,∴当k<
1时,不等式|x-1|+|x|≤k无解,故k<
1.
[答案] (-∞,1)
5.(2015·
西安统考)若关于实数x的不等式|x-5|+|x+3|<
a无解,则实数a的取值范围是________.
[解析] |x-5|+|x+3|≥|(x-5)-(x+3)|=8,
故a≤8.
[答案] (-∞,8]
6.(2015·
重庆卷)若函数f(x)=|x+1|+2|x-a|的最小值为5,则实数a=__________.
[解析] 当a=-1时,f(x)=3|x+1|≥0,不满足题意;
-1时,f(x)=f(x)min=f(a)=-3a-1+2a=5,解得a=-6;
-1时,f(x)=f(x)min=f(a)=-a+1+2a=5,解得a=4.
[答案] -6或4
7.若关于x的不等式|a|≥|x+1|+|x-2|存在实数解,则实数a的取值范围是__________.
[解析] ∵f(x)=|x+1|+|x-2|=
∴f(x)≥3.要使|a|≥|x+1|+|x-2|有解,
∴|a|≥3,即a≤-3或a≥3.
[答案] (-∞,-3]∪[3,+∞)
8.已知关于x的不等式|x-a|+1-x>
0的解集为R,则实数a的取值范围是__________.
[解析] 若x-1<
0,则a∈R;
若x-1≥0,则(x-a)2>
(x-1)2对任意的x∈[1,+∞)恒成立,即(a-1)[(a+1)-2x]>
0对任意的x∈[1,+∞)恒成立,所以(舍去)或对任意的x∈[1,+∞]恒成立,解得a<
1.综上,a<
9.设a,b,c是正实数,且a+b+c=9,则++的最小值为__________.
[解析] ∵(a+b+c)
=[()2+()2+()2]
≥2=18,
∴++≥2,∴++的最小值为2.
10.(2014·
陕西卷)设a,b,m,n∈R,且a2+b2=5,ma+nb=5,则的最小值为________.
[解析] 由柯西不等式,得(a2+b2)(m2+n2)≥(am+bn)2,
即5(m2+n2)≥25,
∴m2+n2≥5,当且仅当an=bm时,等号成立.∴的最小值为.
11.对任意x,y∈R,|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为__________.
[解析] ∵|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|
=(|1-x|+|x|)+(|1-y|+|1+y|)
≥|(1-x)+x|+|(1-y)+(1+y)|=1+2=3,
当且仅当(1-x)·
x≥0,(1-y)·
(1+y)≥0,即0≤x≤1,-1≤y≤1时等号成立,
∴|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为3.
[答案] 3
12.若不等式|x+1|-|x-4|≥a+,对任意的x∈R恒成立,则实数a的取值范围是________.
[解析] 只要函数f(x)=|x+1|-|x-4|的最小值不小于a+即可.由于||x+1|-|x-4||≤|(x+1)-(x-4)|=5,所以-5≤|x+1|-|x-4|≤5,故只要-5≥a+即可.当a>
0时,将不等式-5≥a+整理,得a2+5a+4≤0,无解;
0时,将不等式-5≥a+整理,得a2+5a+4≥0,则有a≤-4或-1≤a<
0.综上可知,实数a的取值范围是(-∞,-4]∪[-1,0).
[答案] (-∞,-4]∪[-1,0)
二、解答题
13.已知不等式2|x-3|+|x-4|<
2a.
(1)若a=1,求不等式的解集;
(2)若已知不等式的解集不是空集,求a的取值范围.
[解]
(1)当a=1时,不等式即为2|x-3|+|x-4|<
2,
若x≥4,则3x-10<
4,∴舍去;
若3<
4,则x-2<
2,∴3<
4;
若x≤3,则10-3x<
2,∴<
x≤3.
综上,不等式的解集为.
(2)设f(x)=2|x-3|+|x-4|,则
f(x)=
作出函数f(x)的图象,如图所示.
由图象可知,f(x)≥1,
∴2a>
1,a>
,即a的取值范围为.
14.(2015·
新课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>
0.
(1)当a=1时,求不等式f(x)>
1的解集;
(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.
[解]
(1)当a=1时,f(x)>
1化为|x+1|-2|x-1|-1>
当x≤-1时,不等式化为x-4>
0,无解;
当-1<
1时,不等式化为3x-2>
0,解得<
1;
当x≥1时,不等式化为-x+2>
0,解得1≤x<
所以f(x)>
1的解集为.
(2)由题设可得,f(x)=所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A,B(2a+1,0),C(a,a+1),△ABC的面积为(a+1)2.
由题设得(a+1)2>
6,故a>
所以a的取值范围为(2,+∞).
15.设函数f(x)=|x-1|+|x-a|.
(1)若a=-1,解不等式f(x)≥3;
(2)如果∀x∈R,f(x)≥2,求a的取值范围.
[解]
(1)当a=-1时,f(x)=|x-1|+|x+1|,
作出函数f(x)=|x-1|+|x+1|的图象.
由图象可知,不等式f(x)≥3的解集为
.
(2)若a=1,f(x)=2|x-1|,
不满足题设条件;
若a<
1,f(x)=
f(x)的最小值为1-a;
若a>
f(x)的最小值为a-1.
∴对于∀x∈R,f(x)≥2的充要条件是|a-1|≥2,
∴a的取值范围是(-∞,-1]∪[3,+∞).
16.(2015·
福建卷)已知a>
0,b>
0,c>
0,函数f(x)=|x+a|+|x-b|+c的最小值为4.
(1)求a+b+c的值;
(2)求a2+b2+c2的最小值.
[解]
(1)因为f(x)=|x+a|+|x-b|+c≥|(x+a)-(x-b)|+c=|a+b|+c,
当且仅当-a≤x≤b时,等号成立.
又a>
0,所以|a+b|=a+b,
所以f(x)的最小值为a+b+c.
又已知f(x)的最小值为4,
所以a+b+c=4.
(2)由
(1)知a+b+c=4,由柯西不等式得
(4+9+1)≥
2=(a+b+c)2=16,
即a2+b2+c2≥.
当且仅当==,
即a=,b=,c=时等号成立.
故a2+b2+c2的最小值为.
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