新领航教育特供上海市普陀区届高三上学期一模考试数学理试题.docx
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新领航教育特供上海市普陀区届高三上学期一模考试数学理试题
无锡新领航教育特供:
2012学年第一学期普陀区高三数学质量调研卷
考生注意:
2013.1
1.答卷前,考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚,并在规定的区域贴上条形码.
2.本试卷共有23道题,满分150分.考试时间120分钟.
一.填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.
1.不等式的解为.
【答案】
【解析】由得,即,所以不等式的解集为。
2.函数的最小正周期.
【答案】
【解析】,所以,即函数的最小周期为。
3.若集合,集合,,,,,则.
【答案】
【解析】由得,即,所以,即,所以。
4.【理科】如图,正方体中,直线与平面所成的角的大小为(结果用反三角函数值表示).
【答案】
【解析】连结,则是在平面上的射影,所以为直线与平面所成的角,所以设正方体的边长为1,则,所以,所以。
5.【理科】若函数的图像经过点,则.
【答案】
【解析】因为函数过点,所以,即,即,由得,,即,所以。
6.若等差数列的前项和为,,,则数列的通项公式
为.
【答案】()
【解析】在等差数列中,设公差为,则由,得,,即,解得,所以。
7.在一个袋内装有同样大小、质地的五个球,编号分别为1、2、3、4、5,若从袋中任意
取两个,则编号的和是奇数的概率为(结果用最简分数表示).
【答案】
【解析】从袋中任意取两个球,共有种。
若编号为奇数,则有种,所以编号的和是奇数的概率为。
8.在的二项展开式中,常数项等于.
【答案】180
【解析】展开式的通项为。
由得,所以常数项为。
9.若函数(,)的部分图像如右
图,则.
【答案】
【解析】由图象可知,即,所以,即,所以,因为,所以当时,,所以,即。
10.在中,若,,则.
【答案】3
【解析】因为,,所以,即,因为,所以,所以。
11.【理科】若函数满足,且,则_.
【答案】
【解析】令,则,所以由得,即,即数列的公比为2.不设,则有,所以由,即,所以。
12.【理科】若、,是椭圆上的动点,则
的最小值为.
【答案】1
【解析】根据椭圆的方程可知,所以,所以,即是椭圆的两个焦点。
设,即,所以,所以,因为,所以当时,有最小值,即的最小值为1.
13.三棱锥中,、、、分别为、、、的中点,则截面将三棱锥分成两部分的体积之比为.
【答案】
【解析】因为、、、分别为、、、的中点,所以四边形为平行四边形,平行平面且平行平面,且和到平面的距离相同。
每一部分都可以可作是一个三棱锥和一个四棱锥两部分的体积和。
如图1中连接DE、DF,VADEFGH=VD﹣EFGH+VD﹣EFA:
图2中,连接BF、BG,
VBCEFGH=VB﹣EFGH+VG﹣CBFE,F,G分别是棱AB,AC,CD的中点,所以VD﹣EFGH=VB﹣EFGHVD﹣EFA的底面面积是VG﹣CBF的一半,高是它的2倍,所以二者体积相等.
所以VADEFGH:
VBCEFGH=1:
1
14.已知函数,设,若,则的取值范围是.
【答案】
【解析】当时,。
当时,由得。
所以。
而,所以,即,所以的取值范围是。
二.选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.
15.已知函数(),则“”是“函数在上是增函数”的………………………………………()
(A)充分非必要条件.(B)必要非充分条件.
(C)充要条件.(D)非充分非必要条件.
【答案】B
【解析】若函数在上是增函数,则成立。
当时,函数在上不一定是增函数,所以“”是“函数在上是增函数”的必要非充分条件,选B.
16.【理科】双曲线()的焦点坐标为………()
(A).(B).
(C).(D).
【答案】B
【解析】因为,所以,,即为,所以双曲线的焦点在轴上,所以,即,所以焦点坐标为,选B.
17.已知,,若,则的值不可能是………()
(A).(B).(C).(D).
【答案】D
【解析】若,则,若,则,因为,所以,所以的值不可能是10,选D.
18.如图,四边形是正方形,延长至,使得.若动点从点出发,沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点,其中,下列判断
正确的是………………………………………………………()
(A)满足的点必为的中点.
(B)满足的点有且只有一个.
(C)的最大值为3.
(D)的最小值不存在.
【答案】C
【解析】当时,,此时位于处,所以(A)错误。
当时,此时位于处,当时,此时位于处,所以满足满足的点有且只有一个错误。
所以(B)错误。
将图象放入坐标系设正方形的边长为1,则,设,则由得,即。
若点位于上,则,此时,,所以。
若点位于上,则,此时,,所以。
若点位于上,则,此时,,即,所以。
若点位于上,则,此时,,即,所以。
若点位于上,此时,,所以。
综上,即
的最大值是3,最小值为0.所以选C.
三.解答题(本大题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19.(本题满分12分)本大题共有2小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分.
如图,某种水箱用的“浮球”,是由两个半球和一个圆柱筒组成.已知球的直径是,圆柱筒长.
(1)这种“浮球”的体积是多少(结果精确到0.1)?
(2)要在这样个“浮球”表面涂一层胶质,
如果每平方米需要涂胶克,共需胶多少?
20.(本题满分14分)本大题共有2小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
已知动点到点和直线的距离相等.
52、求动点的轨迹方程;
53、记点,若,求△的面积.
21.(本题满分14分)本大题共有2小题,第1小题6分,第2小题8分.
已知、、是中、、的对边,,,.
(1)求;
(2)求的值.
22.(本题满分16分)本大题共有3小题,第1小题满分5分,第2小题满分5分,第3
小题满分6分.
【理科】在平面直角坐标系中,点满足,且;点满足,且,其中.
(1)求的坐标,并证明点在直线上;
(2)记四边形的面积为,求的表达式;
(3)对于
(2)中的,是否存在最小的正整数,使得对任意都有成立?
若存在,求的值;若不存在,请说明理由.
23.(本题满分18分)本大题共有3小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
【理科】设函数和都是定义在集合上的函数,对于任意的,都有
成立,称函数与在上互为“函数”.
(1)函数与在上互为“函数”,求集合;
(2)若函数(与在集合上互为“函数”,
求证:
;
(3)函数与在集合且,上互为“
函数”,当时,,且在上是偶函数,求函数
在集合上的解析式.
2012学年第一学期普陀区高三理科数学质量调研评分标准
一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.
1.2.3.4.【理科】5.6.()7.8.1809.10.311.【理科】12.113.14.
二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.
15.
16.
17.
18.
B
B
D
C
三.解答题(本大题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19.【解】
(1),,…………2分
,…………2分
…………2分
(2)…………2分
…………2分
1个“浮球”的表面积
2500个“浮球”的表面积的和
所用胶的质量为(克)…………2分
答:
这种浮球的体积约为;供需胶克.
20.【解】
(1)由题意可知,动点的轨迹为抛物线,其焦点为,准线为
设方程为,其中,即……2分
所以动点的轨迹方程为……2分
(2)过作,垂足为,根据抛物线定义,可得……2分
由于,所以是等腰直角三角形
………2分
其中…………2分
所以…………2分
21.【解】
(1)在中,由余弦定理得,…………2分
…………2分
即,,解得…………2分
(2)由得为钝角,所以…………2分
在中,由正弦定理,得
则…………2分
由于为锐角,则……2分
所以………2分
22.【理科】【解】
(1)由已知条件得,,,所以……2分
,则
设,则,
所以;………2分
即满足方程,所以点在直线上.………1分
(证明在直线上也可以用数学归纳法证明.)
(2)由
(1)得
………1分
设,则,
,所以
,逐差累和得,,
所以………2分
设直线与轴的交点,则
,……2分
(3)由
(2),
…2分
于是,,………2分
数列中项的最大值为,则,即最小的正整数的值为,所以,存在最小的自然数,对一切都有成立.……2分
23.【解】
(1)由得
化简得,,或………2分
解得或,,即集合………2分
(若学生写出的答案是集合的非空子集,扣1分,以示区别。
)
(2)证明:
由题意得,(且)………2分
变形得,,由于且
………2分
因为,所以,即………2分
(3)当,则,由于函数在上是偶函数
则
所以当时,……………2分
由于与函数在集合上“互为函数”
所以当,恒成立,
对于任意的()恒成立,
即……………2分
所以,
即
所以,
当()时,
……………2分
所以当时,
………2分
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