自动机理论语言和计算导论课后习题答案中文版Word文档下载推荐.docx

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*010a

011r

111r

010a

111r

*100a

100a

*101a

000a

101a

*110a

001a

110a

Exercise2.2.2

Thestatementtobeprovedisδ-hat（q,xy）=δ-hat（δ-hat（q,x）,y）,andweproceedbyinductiononthelengthofy.

证明：

通过对|y|进行归纳，来证明

（q,xy）=

（

（q,x）,y），具体过程如下：

Basis:

Ify=ε,thenthestatementisδ-hat（q,x）=δ-hat（δ-hat（q,x）,ε）.Thisstatementfollowsfromthebasisinthedefinitionofδ-hat.Notethatinapplyingthisdefinition,wemusttreatδ-hat（q,x）asifitwerejustastate,sayp.Then,thestatementtobeprovedisp=δ-hat（p,ε）,whichiseasytorecognizeasthebasisinthedefinitionofδ-hat.

基础:

=0，则y=ε。

那么需证

（q,x）=

（q,x）,ε），记p=

（q,x）,命题变为p=

（p,ε）,由

的定义知这显然成立。

Induction:

Assumethestatementforstringsshorterthany,andbreaky=za,whereaisthelastsymbolofy.Thestepsconvertingδ-hat（δ-hat（q,x）,y）toδ-hat（q,xy）aresummarizedinthefollowingtable:

归纳:

假设命题对于比y　短的串成立,且y=za,其中a是y的结尾符号。

（q,x）,y）到

（q,xy）的变换总结在下表中:

Expression表达式

Reason原因

（q,x）,y）

Start开始

（q,x）,za）

y=zabyassumption由假设y=za

δ（

（q,x）,z）,a）

Definitionofδ-hat,treatingδ-hat（q,x）asastate

的定义,把

（q,x）看作是一个状态

（q,xz）,a）

Inductivehypothesis归纳假设

（q,xza）

Definitionofδ-hat

的定义

（q,xy）

y=za

Exercise2.2.4（a）

TheintuitivemeaningsofstatesA,B,andCarethatthestringseensofarendsin0,1,oratleast2zeros.

状态A,B，C分别表示以１,０和00结尾的串的状态。

0

1

B

A

C

*C

Exercise2.2.6（a）

Thetrickistorealizethatreadinganotherbiteithermultipliesthenumberseensofarby2（ifitisa0）,ormultipliesby2andthenadds1（ifitisa1）.Wedon'

tneedtoremembertheentirenumberseen---justitsremainderwhendividedby5.Thatis,ifwehaveanynumberoftheform5a+b,wherebistheremainder,between0and4,then2（5a+b）=10a+2b.Since10aissurelydivisibleby5,theremainderof10a+2bisthesameastheremainderof2bwhendividedby5.Sinceb,is0,1,2,3,or4,wecantabulatetheanswerseasily.Thesameideaholdsifwewanttoconsiderwhathappensto5a+bifwemultiplyby2andadd1.

对于一个二进制整数，如果读入一个比特０，其值等于原数乘以２；

否则等于原数乘以２再加以1。

而任意一个数均可写成形如5a+b，其中a任意，0<

=b<

=4，那么输入0，原数变为2（5a+b）=10a+2b，由于10a是5的倍数,，因此10a+2b除以５的余数与2b相同。

输入1，则得2（5a+b）+1类似。

因此对于所有的数只要记住它被５除的余数就可以。

由于b是0,1,2,3或者4,我们可以容易得到该DPA的转移表，具体如下：

Thetablebelowshowsthisautomaton.Stateqimeansthattheinputseensofarhasremainderiwhendividedby5.

其中状态qi代表输入串被５除的余数i的状态。

*q0

q0

q1

q1

q2

q3

q4

q0

q3

q2

q4

Thereisasmallmatter,however,thatthisautomatonacceptsstringswithleading0'

s.Sincetheproblemcallsforacceptingonlythosestringsthatbeginwith1,weneedanadditionalstates,thestartstate,andanadditional``deadstate'

'

d.If,instates,weseea1first,weactlikeq0;

.,wegotostateq1.However,ifthefirstinputis0,weshouldneveraccept,sowegotostated,whichweneverleave.Thecompleteautomatonis:

但是上述自动机仍接受以０开头的字符串。

因为题目要求只接受以１开头的串，可增加一个初始状态s和“死亡状态”d。

在状态初始状态s,若看到１，则转到状态q1；

若看到０,则直接转到状态d，识别终止。

所求自动机如下:

s

d

d

Exercise2.2.9

Part（a）isaneasyinductiononthelengthofw,startingatlength1.

|w|=1.Thenδ-hat（q0,w）=δ-hat（qf,w）,becausewisasinglesymbol,andδ-hatagreeswithδonsinglesymbols.

Letw=za,sotheinductivehypothesisappliestoz.Thenδ-hat（q0,w）=δ-hat（q0,za）=δ（δ-hat（q0,z）,a）=δ（δ-hat（qf,z）,a）[bytheinductivehypothesis]=δ-hat（qf,za）=δ-hat（qf,w）.

a）通过对w长度的归纳证明。

若|w|=1，则w是一个符号，此时需证

（q0,w）=

（qf,w）,而对于单个符号扩展转移函数

与转移函数δ的作用是一样的，得证。

令w=za,假设对于z命题

（q0,z）=

（qf,z）成立。

那么

（q0,za）=δ（

（q0,z）,a）=δ（

（qf,z）,a）[由归纳假设]=

（qf,za）=

（qf,w）.

Forpart（b）,weknowthatδ-hat（q0,x）=qf.Sincexε,weknowbypart（a）thatδ-hat（qf,x）=qf.Itisthenasimpleinductiononktoshowthatδ-hat（q0,xk）=qf.

Fork=1thestatementisgiven.

Assumethestatementfork-1;

.,δ-hat（q0,xSUP>

k-1）=qf.UsingExercise2.2.2,δ-hat（q0,xk）=δ-hat（δ-hat（q0,xk-1）,x）=δ-hat（qf,x）[bytheinductivehypothesis]=qf[by（a）].

b）x是属于L（A）的非空串，也即串x被接收，因此

（q0,x）=qf，则由a）知

（qf,x）=

（q0,x）=qf。

现在通过对k的归纳来证明

（q0,xk）=qf。

k=1时，需证

（q0,x）=qf，由已知可得。

归纳：

假设对于k-1命题成立，也就是说，

（q0,xk-1）=qf。

由练习2.2.2,

（q0,xk）=

（q0,xk-1）,x）=

（qf,x）[由归纳假设]=qf[由（a）]。

Exercise2.2.10

Theautomatontellswhetherthenumberof1'

sseeniseven（stateA）orodd（stateB）,acceptinginthelattercase.Itisaneasyinductionon|w|toshowthatdh（A,w）=Aifandonlyifwhasanevennumberof1'

s.

|w|=0.Thenw,theemptystringsurelyhasanevennumberof1'

s,namelyzero1'

s,and

（A,w）=A.

Assumethestatementforstringsshorterthanw.Thenw=za,whereaiseither0or1.

Case1:

a=0.Ifwhasanevennumberof1'

s,sodoesz.Bytheinductivehypothesis,

（A,z）=A.ThetransitionsoftheDFAtellus

（A,w）=A.Ifwhasanoddnumberof1'

s,thensodoesz.Bytheinductivehypothesis,δ-hat（A,z）=B,andthetransitionsoftheDFAtellusδ-hat（A,w）=B.Thus,inthiscase,δ-hat（A,w）=Aifandonlyifwhasanevennumberof1'

Case2:

a=1.Ifwhasanevennumberof1'

s,thenzhasanoddnumberof1'

s.Bytheinductivehypothesis,δ-hat（A,z）=B.ThetransitionsoftheDFAtellusδ-hat（A,w）=A.Ifwhasanoddnumberof1'

s,thenzhasanevennumberof1'

s.Bytheinductivehypothesis,δ-hat（A,z）=A,andthetransitionsoftheDFAtellusδ-hat（A,w）=B.Thus,inthiscaseaswell,δ-hat（A,w）=Aifandonlyifwhasanevennumberof1'

这个自动机表示，状态A表示偶数个1，状态B表示奇数个1，不管串有偶数个还是奇数个1，都会被接受。

当且仅当串w中有偶数个1时，

（A,w）=A.。

用归纳法证明如下

|w|=0。

空串当然有偶数个1，即0个1，且

（A,w）=A.

假设对于比w短的串命题成立。

令w=za,其中a为0或1。

情形1：

a=0.如果w有偶数个1,则z有偶数个1。

由归纳假设，

（A,z）=A。

由转移表的DFA知

（A,w）=A.如果w有奇数个1,则z有奇数个1.由归纳假设，

（A,z）=B,由转移表的DFA知

（A,w）=B.因此这种情况下

（A,w）=A当且仅当w有偶数个1。

情形2：

a=1.如果w有偶数个1,则z有奇数个1。

（A,z）=B.由转移表的DFA知

（A,w）=A.如果w有奇数个1,则z有偶数个1。

由归纳假设,

（A,z）=A,由转移表的DFA知

（A,w）=A当且仅当w有偶数个1.

综合上述情形，命题得证。

Exercise2.3.1

HerearethesetsofNFAstatesrepresentedbyeachoftheDFAstatesAthroughH:

A={p};

B={p,q};

C={p,r};

D={p,q,r};

E={p,q,s};

F={p,q,r,s};

G={p,r,s};

H={p,s}.

下表就是利用子集构造法将NFA转化成的DFA。

其中构造的子集有：

A={p};

D

C

E

F

*E

G

*F

*G

H

*H

Exercise2.3.4（a）

Theideaistouseastateqi,fori=0,1,...,9torepresenttheideathatwehaveseenaninputiandguessedthatthisistherepeateddigitattheend.Wealsohavestateqs,theinitialstate,andqf,thefinalstate.Westayinstateqsallthetime;

itrepresentsnoguesshavingbeenmade.Thetransitiontable:

记状态qi为已经看到i并猜测i就是结尾将要重复的数字，i=0,1,...,9。

初始状态为qs，终止状态为qf。

我们可以一直停留在状态qs，表示尚未猜测。

转移表如下：

1

...

9

qs

{qs,q0}

{qs,q1}

{qs,q9}

{qf}

{q0}

{q0}

{q1}

{q1}

...

q9

{q9}

{qf}

*qf

{}

{}

Exercise2.4.1（a）

We'

lluseq0asthestartstate.q1,q2,andq3willrecognizeabc;

q4,q5,andq6willrecognizeabd,andq7throughq10willrecognizeaacd.Thetransitiontableis:

记q0为初始状态。

q1,q2和q3识别abc;

q4,q5和q6识别abd,q7到q10识别aacd.转移表如下：

a

b

c

{q0,q1,q4,q7}

{q2}

{q3}

*q3

{q5}

q5

{q6}

*q6

q7

{q8}

q8

{q10}

*q10

Exercise2.4.2（a）

Thesubsetconstructiongivesusthefollowingstates,eachrepresentingthesubsetoftheNFAstatesindicated:

A={q0};

B={q0,q1,q4,q7};

C={q0,q1,q4,q7,q8};

D={q0,q2,q5};

E={q0,q9};

F={q0,q3};

G={q0,q6};

H={q0,q10}.NotethatF,GandHcanbecombinedintooneacceptingstate,orwecanusethesethreestatetosignaltherecognitionofabc,abd,andaacd,respectively.

由子集构造法可得以下DFA的状态，其中每一个状态都是NFA状态的子集：

H={q0,q10}.注意到F,G和H可以整合到一个接受状态中，或者我们可以用这三个状态来分别标记已识别abc,abd和aacd。