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辽宁省沈阳市中考数学
2014年辽宁省沈阳市中考试题
数学
(满分150分,考试时间120分钟)
参考公式:
抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标是().对称轴是直线x=.
一、选择题(下面各题的备选答案中,只有一个答案是正确的,每小题3分,共24分)
1.(2014年辽宁省沈阳市,1,3分)0这个数是( )
A.正数B.负数C.整数D.无理数
【答案】C
2.(2014年辽宁省沈阳市,2,3分)2014年端午节小长假期间,沈阳某景区接待游客约为85000人,将数据85000用科学记数法表示为()
A.85×103B.8.5×104C.0.85×105D.8.5×105
【答案】B
3.(2014年辽宁省沈阳市,3,3分)某几何体的三视图如图所示,这个几何体是( )
A.圆柱B.三棱柱
C.长方体D.圆锥
【答案】C
4.(2014年辽宁省沈阳市,4,3分)已知一组数据:
1,2,6,3,3,下列说法正确的是( )
A.众数是3B.中位数是6C.平均数是4D.方差是5
【答案】A
5.(2014年辽宁省沈阳市,5,3分)一元一次不等式x-1≥0的解集在数轴上表示正确的是()
【答案】A
6.(2014年辽宁省沈阳市,6,3分)正方形是轴对称图形,它的对称轴有( )
A.2条B.4条C.6条D.8条
【答案】B
7.(2014年辽宁省沈阳市,7,3分)下列运算正确的是( )
A.(-x3)2=-x6B.x4+x4=x8
C.x2•x3=x6D.xy4÷(-xy)=-y3
【答案】D
8.(2014年辽宁省沈阳市,8,3分)如图,在△ABC中,点D在边AB上,BD=2AD,DE//BC交AC于点E,若线段DE=5,则线段BC的长为( )
A.7.5B.10C.15D.20
【答案】C
二、填空题(每小题4分,共32分)
9.(2014年辽宁省沈阳市,9,4分)计算:
=__________.
【答案】3
10.(2014年辽宁省沈阳市,10,4分)分解因式:
=__________.
【答案】2m(m+5)
11.(2014年辽宁省沈阳市,11,4分)如图,直线a//b,n直线l与a相交于点P,与直线b相交于点Q,PM⊥l于点P,若∠1=50°,则∠2=°.
【答案】40
12.(2014年辽宁省沈阳市,12,4分)化简:
=___________.
【答案】
13.(2014年辽宁省沈阳市,13,4分)已知一次函数y=x+1的图象与反比例函数y=的图象相交,其中一个交点的横坐标是2,则k的值为_________.
【答案】6
14.(2014年辽宁省沈阳市,14,4分)如图,△ABC三边的中点D,E,F组成△DEF,△DEF三边的中点M,N,P组成△MNP,将△FPM与△ECD涂成阴影.假设可以随意在中取点,那么这个点取在阴影部分的概率为__________.
【答案】
15.(2014年辽宁省沈阳市,15,4分)某种商品每件进价为20元,调查表明:
在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30,且x为整数)出售,可卖出(30-x)件.若使利润最大,每件的售价应为__________元.
【答案】
16.(2014年辽宁省沈阳市,16,4分)(每题7分,共14分)如图,□ABCD中,AB>AD,AE,BE,CM,DM分别为∠DBA,∠ABC,∠BCD,∠CDA的平分线,AE与DM相交于点F,BE与CM相交于点H,连接EM,若□ABCD的周长为42cm,FM=3cm,EF=4cm,则EM=cm,AB=cm.
【答案】5;13
三、解答题(第17、18小题各8分,第19小题10分,共26分)
17.(2014年辽宁省沈阳市,17,8分)
先化简,再求值:
,其中
【答案】解:
=
=
=
当a=-1,b=5时,原式=4×(-1)2×5=20.
18.(2014年辽宁省沈阳市,18,8分)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别在边AD,BC上,且DE=CF,连接OE,OF.
求证:
OE=OF.
【答案】证明:
∵四边形ABCD为矩形,
∴∠ADC=∠BCD=90°,
AC=BD,OD=BD,OC=AC.
OD=OC.
∴∠ODC=∠OCD.
∴∠ADC-∠ODC=∠BCD-∠OCD,即∠EDO=∠FCO.
又∵DE=CF,
∴△ODE≌△OCF.∴OE=OF.
19.(2014年辽宁省沈阳市,19,10分)在一个不透明的盒子里有红球、白球、黑球各一个,它们除了颜色外其余都相同.小明从盒子里随机摸出一球,记录下颜色后放回盒子里,充分摇匀后,再随机摸出一球,并记录下颜色.请用列表法或画树状图(树形图)法求小明两次摸出的球颜色不同的概率.
【答案】解:
或画树状(形)图得:
由表格(或树状图/树形图)可知,共有9种可能出现的结果,每种结果出现的可能性相同,其中小明两次摸出的球颜色不同的结果有6种:
(红球,白球)(红球,黑球)(白球,红球)(白球,黑球)(黑球,红球)(黑球,白球),所以P(小明两次摸出的球的颜色不同)==.
四、(每小题10分,共20分)
20.(2014年辽宁省沈阳市,20,10分)2014年世界杯足球赛于北京时间6月13日2时在巴西开幕,某媒体足球栏目从参加世界杯球队中选出五支传统强队:
意大利队、德国队、西班牙队、巴西队、阿根廷队,对哪支球队最有可能获得冠军进行了问卷调查.为了使调查结果有效,每位被调查都只能填写一份问卷,在问卷中必须选择这五支球队中的一队作为调查结果,这样的问卷才能成为有效问卷.从收集到的4800份有效问卷中随机抽取部分问卷进行了统计,绘制了统计图表的一部分如下:
根据统计图表提供的信息,解答下列问题:
(1)a=,b=;
(2)根据以上信息,请直接在答题卡中补全条形统计图;
(3)根据抽样调查结果,请你估计在提供有效问卷的这4800人中有多少人预测德国队最有可能获得冠军.
【答案】解:
(1)a=30%,b=5%
(2)
(3)4800×30%=1440(人)
答:
大约有1440人预测德国队最有可能获得冠军.
21.(2014年辽宁省沈阳市,21,10分)某公司今年销售一种产品,1月份获得利润20万元,由于产品畅销,利润逐月增加,3月份的利润比2月份的利润增加4.8万元,假设该产品利润每月的增长率相同,求这个增长率.
【答案】解:
设这个增长率为x.
依题意得:
20(1+x)2-20(1+x)=4.8
解得:
x1=0.2,x2=-1.2(不合题意,舍去),0.2=20%
答:
这个增长率为20%.
五、(本题10分)
22.(2014年辽宁省沈阳市,22,10分)如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB为直径,OD∥BC交⊙O于点D,交AC于点E,连接AD,BD,CD.
(1)求证:
AD=CD;
(2)若AB=10,cos∠ABC=,求tan∠DBC的值.
【答案】解:
(1)证明:
∵AB为⊙O直径,∴∠ACB=90°.
又∵OD∥BC,∴∠AEO=∠ACB=90°.
∴OD⊥AC.∴=.∴AD=CD.
(2)解:
∵AB=10,
∴OA=OD=AB=5.
∵OD∥BC,
∴∠AOE=∠ABC.
在Rt△AEO中,OE=OAcos∠AOE=OAcos∠ABC=5×=3.
∴DE=OD-OE=5-3=2.
由勾股定理得,AE=.
在Rt△AED中,tan∠DAE===.
又∵∠DBC=∠DAE,∴tan∠DBC=.
六、(本题12分)
23.(2014年辽宁省沈阳市,23,12分)如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC的顶点O为坐标原点,点C在x轴的正半轴上,且BC⊥OC于点C,点A的坐标为,AB=,∠B=60°,点D是线段OC上一点,且OD=4,连接AD.
(1)求证:
△AOD是等边三角形;
(2)求点B的坐标;
(3)平行于AD的直线l从原点O出发,沿x轴正方向平移.设直线l被四边形OABC截得的线段长为m,直线l与x轴交点的横坐标为t.
①当直线l与x轴的交点在线段CD上(交点不与点以,D重合)时,请直接写出m与t的函数关系式(不必写出自变量t的取值范围);
②若m=2,请直接写出此时直线l与x轴的交点坐标.
【答案】解:
(1)证明:
过点作AM⊥x轴于点M,
∵点A的坐标为,∴OM=2,AM=.
∴在Rt△AOM中,tan∠AOM===,∴∠AOM=60°.
由勾股定理得,OA=
∵OD=4,
∴OA=OD.
∴△AOD是等边三角形.
(2)解:
过点A作AN⊥BC于点N,
∵BC⊥OC,AM⊥x轴,
∴∠BCM=∠CMA=∠ANC=90°.
∴四边形ANCM为矩形,∴AN=MC,AM=NC.
∵∠B=60°,AB=,
∴在Rt△ABN中,AN=AB·sinB==6,
∴BN=AB·cosB==.
∴AN=MC=6,CN=AM=.∴OC=OM+MC=2+6=8,
BC=BN+CN=+=.
∴点B的坐标为(8,).
(3)①.②(2,0),(,0)
七、(本题12分)
24.(2014年辽宁省沈阳市,24,12分)如图1,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AB=13,BD=24,在菱形ABCD的外部以AB为边作等边三角形ABE.点F是对角线BD上一动点(点F不与点B重合),将线段AF绕点A在顺时针方向旋转60°得到线段AM,连接FM.
(1)求AO的长;
(2)如图2,当点F在线段BO上,且点M,F,C三点在同一条直线上时,求证:
AC=AM;
(3)连接EM,若△AEM的面积为40,请直接写出△AFM的周长.
温馨提示:
考生可以根据题意,在备用图中补充图形,以便作答.
【答案】解:
(1)解:
∵四边形ABCD为菱形,∴AC⊥BD,OB=OD=BD.
∵BD=24,∴OB=12.∴在Rt△OAB中,∵AB=13,∴OA=.
(2)证明:
∵四边形ABCD为菱形,∴BD垂直平分AC.
∴FA=FC.∠FAC=∠FCA.
由已知AF=AM.∴∠MAF=60°.
∴△AMF为等边三角形.
∴∠M=∠AFM=60°.
∵点M,F,C三点在同一条直线上
∴∠FAC+∠FCA=∠AFM=60°.∴∠FAC=∠FCA=30°.
∴∠MAC=∠MAF+∠FAC=60°+30°=90°.
在Rt△ACM中,tanM=,∴tan60°=.
∴AC=AM.
(3)△AFM的周长为.
八、(本题14分)
25.(2014年辽宁省沈阳市,25,14分)如图1,在平面直角坐标系中,二次函数的图象与y轴交于点A,与x轴交于点B,C两点(点B在点C的左侧),连接AB,AC.
(1)点B的坐标为,点C的坐标为;
(2)过点C作射线CD∥AB,点M是线段AB上的动点,点P是线段AC上的动点,且始终满足BM=AP(点M不与点A,点B重合),过点M作MN∥BC分别交AC于点Q,交射线CD于点N(点Q不与点P重合),连接PM,PN,设线段AP的长为n.
①如图2,当时,求证:
△PAM≌△NCP;
②直接用含n的代数式表示线段PQ的长;
③若PM的长为,当二次函数的图象经过平移同时过点P和点N时,请直接写出此时的二次函数的表达式.
温馨提示:
考生可以根据题意,在备用图中补充图形,以便作答
【答案】解:
(1)(-9,0),(9,0).
(2)①证明:
∵AB∥CD,MN∥BC,
∴四边形BMNC为平行四边形.
∴BM=CN.∵BM=AP,∴AP=CN.
∵OC=OB=9,又∵AO⊥
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