全等三角形中考真题汇编解析版文档格式.docx
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∙ZCOA=ZAOP=LZCoP,ZPoB=ZDOB=LZPOD,PE=CEtOP=OC=5cm,PF=FD,22
OP=OD=5cm,
V∆PEF的周长是5cm,
.∙∙PE+EF+PF=CE+EF+FD=CD=5cm,
CD=OD=OD=5cm»
Λ∆OCD是等边三角形,
ΛZ∞D=60∖
:
•ZAoB=ΛAOP+ZBoP=丄ACOP+丄ADOP=IZCoD=30°
222
故答案为:
30.
本题考查了线段垂直平分线性质,轴对称性质和等边三角形的性质和判左,能求出ACOD是等边三角形是解此题的关键.
3.如图,点P是ZAOB内任意一点,0P=5cm,点M和点N分別是射线OA和射线
OB上的动点,PN+PM+MN的最小值是5cm,则ZAOB的度数是.
【答案】30°
试题解析:
分别作点P关于OA、OB的对称点C、D,连接CD,
分别交OA、OB于点M、N,连接OC、ODXPMXPNSMN,如图所示:
•••点P关于OA的对称点为D,关于OB的对称点为C,
ΛPM=DMrOP=OD,ZDOA=ZPOA;
T点P关于OB的对称点为C,
APN=CN,OP=OCrZCOB=ZPOB,
AOC=OP=OD,ZAOB=-ZcODf
2
VPN+PM+MN的最小值是5cmz
ΛPM+PN+MN=5,
ΛDM+CN+MN=5,
即CD=S=OPj
AOC=OD=CDr
即AOCD是等边三角形,
∙∙∙ZCOD=60oZ
∙∙∙ZAOB=30°
・
4.如图,在厶ABC中,AB>
AC,按以下步骤作图:
分别以点〃和点C为圆心,大于
BC-半长为半径作画弧,两弧相交于点M和点N,过点M、N作直线交AB于点D,
连接CD,若AB=10,AC=6,则的周长为•
【答案】16
利用基本作图可以判定MN垂直平分BC,则DC=DB,然后利用等线段代换得到MCD的周长=AB+AC,再把AB=10,AC=6代入计算即可.
由作法得MN垂直平分BC,则DC=DB,
C^CD=CD+AC+AD=DB+AD+AC=AB+AC=∖O+6=16
16.
本题考查了基本作图和线段垂直平分线的性质,熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段:
作一个角等于已知角;
作已知线段的垂直平分线;
作已知角的角平分线:
过一点作已知直线的垂线)是本题的关键.
5.如图,AB=AlB,AlBl=AiA2,A2B2=A2A3,A3B3=A3A4t...»
当n≥2t
ZA=70。
时,ZAI&
坊T=•
【答案】
70°
【分析】先根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分別求岀ZB1A2A1,ZB2A3A2及么艮人人
的度数,再找出规律即可得出的度数•
∙.∙在ΔABA1中,ZA=IOo,AB=AlB
.∙.ZBAlA=ZA=70°
VAxA2=AxBx,ZBAIA^ΔAlA2Bl的外角
-τ
本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质,根拯特殊情况找岀规律是解题关键.
6.如图,A,B,C三点在同一直线上,分别以AB,BC(AB>
BC)为边,在直线AC的同侧作等边
ΔABD和等边ABCE,连接AE交BD于点M,连接CD交BE于点N,连接MN.以下结论:
φAE=DC,©
MN//AB,③BD丄AE,④ZDPM=60°
⑤ABMN是等边三角形.其中正确的是
(把所有正确的序号都填上).
[答案]Φ©
④⑤
1由三角形ABD与三角形BCE都为等边三角形,利用等边三角形的性质得到两条边对应相等,两个角相等都为60。
,利用SAS即可得到三角形ABE与三角形DBC全等即可得结论:
2由①中三角形ABE与三角形DBC全等,利用全等三角形的对应角相等得到一对角相等,再由ZABD=ZEBC=60°
利用平角的泄义得到ZMBE=ZNBC=60°
再由EB=CB,利用ASA可得出三角形EMB与三角形CNB全等,利用全等三角形的对应边相等得到MB=NB,再由ZMBE=60%利用有一个角为60。
的等腰三角形为等边三角形可得岀三角形BMN为等边三角形;
可得ZBMN=60°
进行可得ZBMN=ZABD,故MN//AB,从而可判断②,⑤正确;
3无法证明PM=PN,因此不能得到BD丄AE:
4由①得ZEAB=ZCDB,根据三角形内角和和外角的性质可证得结论.
①•••等边AABD和等边ZkBCE,
ΛAB=DB,BE=BC,ZABD=ZEBC=60°
∙∙∙ZABE=ZDBC=I20%
在MBE和ZkDBC中.
AB=DB
•・•ZABE=ZDBC,
BE=BC
ΛΔABE^ΔDBC(SAS),
ΛAE=DC,
故①正确:
V∆ABE^ΔDBCt
∙∙∙ZAEB=ZDCB>
又ZABD=ZEBC=60%
•IZMBE=I80o-60o-60o=60o>
即ZMBE=ZNBC=60°
在AMBE和ANBC中,
ZAEB=ZDCB
VEB=CB,
ZMBE=ZNBC
Λ∆MBE^∆NBC(ASA),
ΛBM=BN>
ZMBE=60%
则ABMN为等边三角形,
故⑤正确:
V∆BMN为等边三角形,
ΛZBMN=60∖
TZABD=60:
.∙.ZBMN=ZABD.
ΛMN∕∕AB,
故②正确:
4由①得ZEAB=ZCDB,ZAPC+ZPAC+ZPCA=I80°
∙∙∙ZPAC+ZPCA=ZPDB+ZPCB=ZDBA=60o,
VZDPM=ZPAC+ZPCA
AZDPM=60°
故④正确,
①②④
此题考査了等边三角形的判怎与性质,以及全等三角形的判定与性质,熟练掌握判左与性
质是解本题的关键.
7.如图,在ZiABC中,P,O分别是BC,AC上的点,PR丄AB^PS丄AC,垂足分别是/?
S,若ΛQ=PQ,PR=PS,那么下而四个结论:
(DAS=AR;
②QP//ARx③厶BRP竺\QSP;
④BR=QS9Jt中一立正确的是(填写编号)
【答案】①,②
连接AP,根拯角平分线性质即可推出①,根据勾股N理即可推出AR=AS,根据等腰三角形性质推岀ZQAP=ZQPA,推出ZQPA=ZBAP,根据平行线判左推出QP〃AB即可:
在RtΔBRP和RtZkQSP中,只有PR=PS.无法判断厶BRP昌AQSP也无法证明BR=QS.
连接AP
1TPR丄AB,PS丄AC,PR=PS,
•••点P在ZBAC的平分线上,ZARP=ZASP=90°
ΛZSAP=ZRAPl
在RtΔARP和RIZ∖ASP中,由勾股泄理得:
AR2=AP2-PR2,AS2=AP2-PS2t
VAP=AP,PR=PSt
•AR=AS,
・•・①正确:
2VAQ=QPf
ΛZQAP=ZQPa,
VZQAP=ZBAPt
ΛZQPA=ZBAP,
ΛQP∕∕AR,
・•・②正确:
3在RtΔBRP和RtΔQSP中,只有PR=PSt
不满足三角形全等的条件,故③④错误;
①②.
本题主要考查了角平分线的性质与勾股定理的应用,熟练掌握根据垂直与相等得出点在角平分线上是解题的关键・
8.如图,∆ABC中,AB=II,AC=5,ZBAC的平分线AD与边BC的垂直平分线CD相交
于点D,过点D分别作DE丄AB,DF丄AC,垂足分别为E、F,则BE的长为・
【答案】3
连接CD,BD,由ZBAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D,DE±
AB,DF±
AC,根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质,易得CD=BD,DF=DE,继而可得AF=AE,易证得Rt∆CDF^Rt∆BDE,则可得BE=CF,继而求得答案.
TAD是ZBAC的平分线,DE丄AB,DF丄AC,
ΛDF=DE.ZF=ZDEB=90∖ZADF=ZADEt
ΛAE=AF,
TDG是Be的垂直平分线,
ΛCD=BD.
在Rt∆CDF和Rt∆BDE中,
CD=BD
DF=DE
.Rt∆CDF^Rt∆BDE(HL),
ΛBE=CF,.∙∙AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BEf
VAB=Il,AC=5∙
ΛBE=-(11-5)=3.
3.
此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题・
9.如图,在3x3的正方形网格中,格线的交点称为格点,以格点为顶点的三角形称为格点
三角形.图中的∆ABC为格点三角形,在图中最多能画出个格点三角形与LABC成轴
对称.
【分析】根据网格结构分别确定岀不同的对称轴,然后作出轴对称三角形即可得解.
如图,最多能画岀6个格点三角形与AABC成轴对称.
6.
本题考查了利用轴对称变换作图,熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位垃是解题的关键,本题难点在于确定岀不同的对称轴・
10・已知,ZMoN二30。
,点人2、Zb在射线O/V上,点Bl、B2>
Be在射线OM上,
∆AιBιA2.∆A2B2A3.∆Λ3β3A4...均为等边三角形,若OAι=a,贝∖∖δA7B7A3的边长为
【答案】64a
根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得岀A1Bi//A2B2//A3Bi,根据30°
角所对直角边等于斜边的一半得到A2B2=2BiA2^进而得出A5B3=ΛBιA2=4a98BιA2=Sa,ASBS^I6BιAr-从而得到答案.
VAALBIAZ是等边三角形,:
.AIBI=A2B19Z3=Z4=Z12=60o,ΛZ2=120o.
VZMON=30°
ΛZ1=180°
-120°
-30°
=30°
又VZ3=60o,ΛZ5=180o・60°
=90°
.
VZMOΛ/=Z1=30°
:
.OAι=AιBι=a9.∖A2Bι=a・
9.9AA2B2A3yZV⅛B√U是等边三角形,ΛZll=Z10=60a,Z13二60。
.
VZ4=Z12=60o,.∖A1B1∕∕A2B2∕∕A3B3^B1A2∕∕B2A3^ΛZ1=Z6=Z7=3O°
Z5=Z8=90,/.A2B229B5∕43=2B2Λ39∙°
∙^383=43/2=46A^Ba=3B1A2~30♦
AsBs=16BιA2=16a,以此类推:
A7B7=6ΛBιA2=64a.
64α.
本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及含30°
角的直角三角形的性质,根据己矢口得出<
A333=4B√½
AiBi=BB1A2,ASBS=I6BιA2进而发现规律是解题的关键.
二、八年级数学轴对称三角形选择题(难)
11.平而直角坐标系中,已知A(2,O),B(0,2)若在坐标轴上取C点,使AABC为等腰三角形,则满足条件的点C的个数是()
A.4B.6C.7D.8
【答案】C
如图,①以A为圆心,AB为半径画圆,交坐标轴于点B,CnC2,C5,得到以A为顶点的等腰厶ABCnΔABC2,△ABC5;
2以B为圆心,AB为半径画圆,交坐标轴于点A,C3,C6,C7,得到以B为顶点的等腰
△BAC3,△BACβ>
△BAC7:
3作AB的垂直平分线,交X轴于点Ci得到以C为顶点的等腰AQAB
・•・符合条件的点C共7个
故选C
6
12.如图,丄&
C,CD.BF分别是Z∖MC的角平分线,AG//BC9AG丄3G,下列结论:
(X)ZBAG=2ZABF;
②BA平分ZCBG;
③ZABG=ZACB;
④ZCFB=135°
其中正确的结论有()个
A.1B・2C.3D・4
由已知条件可知ZABC+ZACB=9CΓ,又因为CD、BE分別是AABC的角平分线,所以得到ZFBC+ZFCB二45。
,所以求岀ZCFB=I35°
有平行线的性质可得到:
ZABG=ZACB,ZBAG=2ZABF.所以可知选项①©
④正确.
VABlAC・
AZBAC=90°
TZBAC+ZABC+ZACB=180°
ΛZABC+ZACB=90°
VCD.BE分别是AABC的角平分线,
Λ2ZFBC+2ZFCB=90o
ΛZFBC+ZFCB=450
AZBFC=135°
故④正确.
TAG〃BC,
ΛZBAG=ZABC
TZABC=2ZABF
∙∙∙ZBAG=2ZABF故①正确.
VABlAC,
∙∙∙ZABC+ZACB=90ot
TAG丄BG,
.∙∙ZABG+ZGAB=90o
VZBAG=ZABC,
∙∙∙ZABG=ZACB故③正确・
故选C.
本题考查了等腰三角形的判龙与性质,平行线的性质.掌握相关的判定立理和性质泄理是解题的关键・
13.在RtAABC中,ZACB=90。
,以ΔABC的一边为边画等腰三角形,使得它的第三个顶点在ΔABC的其他边上,则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多可画几个?
【答案】B
先以RiMBC三个顶点分别为圆心,再以每个顶点所在的较短边为半径画弧,即可确宦等腰三角形的第三个顶点:
也可以作三边的垂直平分线确左等腰三角形的第三个顶点即得.
①如图1,以B为圆心,BC长为半径画弧,交AB于点D,则JBCD就是等腰三角形:
2如图2,以A为圆心,Ae长为半径画弧,交AB于点E,则ZIACE就是等腰三角形:
3如图3,以C为圆心,BC长为半径画弧,交AB于交AC于点F,则ZIBCNkJBCF是等腰三角形;
④如图4,作AC的垂直平分线交AB于点H.则ZIACH就是等腰三角形;
⑤如图5,作AB的垂宜平分线交AC于点G,则ZlAGB就是等腰三角形:
⑥如图6,作BC的垂直平分线交AB于I,则ZlBCl就是等腰三角形.
故选:
B.
本题考查等腰三角形的判左的应用,通过作垂直平分线或者画弧的方法确左相等的边是解题关键・
14.如图,MBC中,AB的垂直平分线DG交ZACB的平分线CD于点D,过Z)作
DE丄AC于点若AC=IO,CB=4,则AE=()
A.7B.6C・3D・2
连接BD、AD,过点D作DF丄CB于点F,利用角平分线及线段垂直平分线的性质可求出
BD=AD,DE=DF,依据HL左理可判断出RtΔAED^RtΔBFD,根据全等三角形的性质即可得岀BF=AE>再运用AAS左理可证得RtΔCED^RtΔCFD.证出CE=CF,设AE的长度为X,根据CE=CF列方程求解即可.
如图,连接BD.AD,过点D作DF丄CB于点F.
VAB的垂直平分线DG交ZACB的平分线CD于点D,DE±
AC,DF丄BC,
ABD=AD>
DE=DF.ΛRt∆AED^RtΔBFD・
∙∙∙BF二AE・
又VZECD=ZFCD,ZCED二ZCFD,CA=CA,ΛRtΔCED^RtΔCFD.
ACE=CF>
设AE的长度为x,则CE=10-χ,CF=CB+BF=CB+AE=4+x,
•••可列方程IO-X=4+x,x=3,ΛAE=3;
【点睛]
本题涉及到线段垂直平分线及角平分线的性质,直角三角形全等的判定左理及性质,解答此题的关键是作出辅助线,构造出直角三角形解答.
15・如图,在RtΔABC中,AC=BC,ZACB=90°
D为AB的中点,E为线段AD上一点,过E点的线段FG交CD的延长线于G点,交AC于F点,且EG=AE,分别延长CE,
BG交于点H,若EH平分ZAEG,HD平分ZCHG则下列说法:
(DZGDH=45°
:
②GD=
【分析】首先证明厶AEC^^GEC(SAS),推出CA=CG,ZA=ZCGE=45°
推出DE=DG,故②正确:
再证明△EDC^AGDB.推岀ZCED=ZBGD.ED=GD,由三角形外角的性质得出ZHDG=ZHDE∖进而得出ZGDH=ZEDH=45°
即可判断①正确:
通过证明AEDC和AEMD是等腰直角三角形,得到ED=忑MD,再通过证明
EDC.得到FQED,从而可判断③错误;
由CG=CD+DG,CD=AD.ED=GD,变形即可判断④正确.
【详解】9:
AC=BC.ZACB=90°
AD=DB9:
.CD丄AB,CD=AD=DB,ZA=ZCBD=45°
TEH平分ZAEG9:
.ZAEH=ZGEH.
VZAEH^ZAEC=180°
ZG£
H+ZCeG=I80°
∙∙∙ZAEC=ZCEG.
VAE=GE.EC=EC,
Λ∆AEC^ΔGEC(SAS)•
.CA=CG.ZA=ZCGE=45°
VZFDG=90o,
ΛZDEG=ZDGE=45°
.DE=DG9ZAEF=ZDEG=ZA=Λ5ζtt
9JDE=DG9ZCDE=ZBDG=90。
DC=DB.
.AEDC^AGDB(SAS),
∙∙∙ZCEd=ZBGD,ED=GD.
9:
HD平分ZCHG,
∙ZGHD=ZEHD・
IZCED=ZEHD七ZHDE,ZBGD=ZGHD十ZHDG,
•ZHDG=ZHDE.
VZfDG=ZΛDC=90o,
•ZGDH=ZEDH=45°
故①正确;
VZfDC=90°
ED=GD.
MEDC是等腰直角三角形,
ΛZDEG=45°
VZGDH=45"
ΛZEDH=45°
.,.∆FMD是等腰直角三角形,
.9.ED=yf2MD・
VZAEF=ZDEG=ZA=45°
∙∙∙ZAFE=ZCFG=90°
VZEDC=90°
∙∙∙ZEFC=ZEDC=90°
TEH平分ZAEG9
•:
ZFEC=ZGEH,ZDEC=ZAEH,
∙ZFEC=ZDEC・
TEC=EC,
•∖EFC9'
EDC、
∙EF=ED.
∙EF=迥MD.
故③错误:
∙.∙CG=CDWG=AD^ED=AE^ED^EDf
.9.CG=2DE+AE.
故选B.
本题考查了等腰直角三角形的性质和判立,全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,属于中考选择题中的压轴题.
16・如图,在等腰"
BC中,AB=AC=6f^BAC=120o,点P、Q分别是线段3C、射线弘上一点,则CePQ的最小值为()
A.6B.7.5C.9D・12
通过作点C关于直线AB的对称点,利用点到直线的距离垂线段最短,即可求解.
如图,作点C关于宜线AB的对称点G,CG交射线BA于
H,过点C]作BC的垂线,垂足为P,与AB交于点QCQ+PQ的长即为PCl的长.
ΛZABC=30o,
易得BC=6√3»
在RtZkBHC中,ZABC=30\
∙∙∙HC=3√^,ZBeH=60°
.e∙CCl=6\/3,
在RtAPCC1中,ZPCCl=60°
.PG=9
∙∙∙CQ+PQ的最小值为9,
C.
本题考查了等腰三角形的性质以及利用对称点求最小值的问题,认真审题作出辅助线是解
题的关键.
17・如果三角形有一个内角为120%且过某一顶点的直线能将该三角形分成两个等腰三角形,那么这个三角形最小的内角度数是()
A.150B・40C・15°
或20°
D・15°
或40°
依据三角形的一个内角的度数为120°
且过某一顶点能将该三角形分成两个等腰三角形,运用分类思想和三角形内角和定理,即可得到该三角形其余两个内角的度数.
如图1,当ZA=120o,AD=AC,DB=DC时,ZADC=ZACD=30%ZDBC=ZDCB=I5°
所以,ZDBC=I5o,ZACB=30
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