电磁场与电磁波电子教案3.docx
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电磁场与电磁波电子教案3
第三章静态电磁场及其边值问题的解
3.1真空中静电场的基本方程
3.1.1场的基本方程
由亥姆霍兹定理,矢量场的散度和旋度决定其性质,因此,静电场的基本方程即为电场的散度、旋度计算式。
一、真空中静电场的散度高斯定理
1、真空中静电场的散度
可以证明,真空中静电场的散度为
静电场高斯定理微分形式
说明:
1)电场散度仅与电荷分布有关,其大小;
2)对于真空中点电荷,有
2、高斯定理
讨论:
1)物理意义:
静电场穿过闭合面S的通量只与闭合面内所包围电荷量有关(场与所有电荷有关);
2)静电荷是静电场的散度源,激发起扩散或汇集状的静电场;
3)无电荷处,源的散度为零,但电场不一定为零。
二、真空中静电场的旋度环路定理
当A点和B点重合时,
静电场环路定理的积分形式
由斯托克斯公式,环路定理的微分形式
讨论:
1)物理意义:
在静电场中将单位电荷沿任一闭合路径移动一周,静电场力做功为零静电场为保守场;
2)静电场旋度处处为零,静电场中不存在旋涡场,电力线不构成闭合回路。
三、真空中静电场性质小结
1、微分形式积分形式
2、静电场性质:
有源无旋场,是保守场
3、静电场的源:
电荷
讨论:
对于静电场,恒有
,而
为标量辅助函数
静电场可以由一标量函数的梯度表示。
补充内容:
利用高斯定理求解静电场
1、求解关键:
高斯面的选择
2、高斯面的选择原则:
1)场点位于高斯面上
2)高斯面为闭合面
3)在整个或分段高斯面上,或为恒定值。
3、适用范围:
呈对程分布的电荷系统。
3.1.2电位函数
一、电位函数与电位差
1、电位函数
可用一标量函数表示
讨论:
1)电位函数为电场函数的辅助函数,是一标量函数
2)“-”号表示电场指向电位减小最快的方向
3)在直角坐标系中,
2、电位差(电压)
电位差反映了电场空间中不同位置处电场的变化量。
电位差的计算:
电场空间中两点间电位差为:
说明:
1)意义:
A、B两点间的电位差等于将单位点电荷从B点移动到A点过程中电场力所做的功;
2)两点间的电位差有确定值,只与首尾两点位置有关,与路径无关。
3、电位参考点
电位函数不唯一,导致电场分布具有不确定性
设
为使空间各点电位具有确定值,必须选定空间某一点作为参考点,且令参考点的电位为零。
由于空间各点与参考点的电位差为确定值,所以该点的电位也就具有确定值。
选择电位参考点的原则:
1)应使电位表达式有意义;
2)应使电位表达式最简单;
3)同一个问题只能有一个参考点;
4)电位参考点的电位值一般为零。
二、电位函数的求解
1、点电荷的电位Q
qp
选取Q点为电位参考点,则
若参考点Q在无穷远处,即,则
点电荷在空间产生的电位
说明:
若电荷分布在有限区域,一般选择无穷远点为电位参考点。
2、无限长线电荷的电位
Q
p
电位参考点不能位于无穷远点,否则表达式无意义,根据表达式最简原则,选取柱面为电位参考点,即,得
无限长线电流在空间产生的电位
3、分布电荷在空间产生的电位
体电荷:
面电荷:
线电荷:
说明:
若参考点在无穷远处,则。
综上所述,电位是一标量
电位是一相对量,与参考点的选取有关
电位差是绝对的
引入电位函数的意义:
简化电场的求解——间接求解法
在某些情况下,直接求解电场强度很困难,但求解电位函数则相对简单,因此可以通过先求解电位函数,再由关系得到电场解。
三、电位的微分方程
1、方程的建立
有源区
即电位的泊松方程
无源区
电位的拉普拉斯方程
(不同坐标系下方程的表示略)
电位的边界条件
有
若有
3.1.3电容
一、电容
1、孤立导体的电容
定义:
孤立导体所带电量与其电位之比,即
电容C只与导体几何性质和周围介质有关,与q和无关;
例:
空气中半径为a的孤立导体球
2、两个带等量异号电荷导体的电容(双导体电容)
C只与导体几何性质、导体间距和导体周围介质有关;
例:
平行板电容器电容(导体球、圆柱等)
3.1.4电场能量
一、空间总电场能量
1、分布电荷总能量
空间电荷分布,在空间中产生的电位为,空间总电场能量为:
说明:
1)此公式只适用于静电场能量求解;
2)不表示能量密度;
3)为空间中自由电荷分布;
4)积分范围为整个空间,但可退化到电荷分布区域。
2、带电导体系统总能量
若电量为的电荷分布在导体上,导体电位为,空间总静电场能量为导体所带电量
N个导体,导体电位
二、电场能量密度
第一项:
电场能量密度
例3.1.6P102
三、静电力(虚位移法)
虚功原理如下:
设空间一定位形结构的带电体系,静电
能为。
假想该电荷体系的空间位形结构在静电力作
用下发生小的虚位移,静电力作的虚功为:
(力为广义力)
该虚功等于电荷体系能量的减少
若系统与外界电源相连,外界电源供给的能量为,
则该系统的能量关系为
3.2恒定电场分析(恒定电流空间中存在的电场)
一、恒定电场基本方程
基本量
基本方程:
有源无旋场
恒定电场空间中电荷分布不变由电流连续性方程,
,有
均匀导电媒质,=常数
由
二、欧姆定律
体积元:
电导率,电场
由欧姆定律
单位矢量
讨论:
1)在理想导体内,恒定电场为0;
2)恒定电场可以存在于非理想导体内;
3)在导电媒质内,恒定电场和的方向同。
三、焦耳定律
在导电媒质中,电场力使电荷运动,所以电场力要做功,设电荷量,运动速度为,则电场力在时间所做的功为
功率
电场力做功,将电场能量转化为电荷运动机械能,最终以热量形式损耗掉。
导电媒质中单位体积功率损耗为
——焦耳定律的微分形式
体积为V的导电媒质内的损耗功率为
——焦耳定律的积分形式
四、恒定电场边界条件
的边界条件
的边界条件
电位边界条件
讨论:
若,则
在理想导体表面上,和都垂直于边界面。
静电场和性质的比较:
相同点:
不同点:
1、场性质相同,均为保守场;1、源不同;
2、场不随时间改变;2、存在区域不同,静电场只能
3、均不能存在于理想导体内部。
存在于导体外,恒定电场可以存在于非理想导体内。
静电场恒定电场静电比拟
3.3恒定磁场分析
3.3.1真空中恒定磁场基本方程
1、磁场基本方程
恒定磁场性质:
1)无源场,磁感应线无头无尾且不相交;
2)有旋场,电流是磁场的旋涡源,磁感应线构成闭合回路。
注意:
1)空间中任意一点的磁场的旋度只与当地的电流密度有关;
2)定理中,电流为回路所围电流的代数和,为回路C内外的电流共同产生。
2、边界条件
若,则
3.3.2矢量磁位
一、矢量磁位的引入
()
二、库仑规范
要求:
与间满足一一对应关系
1、矢量位的任意性
设为任意标量场
而
有
而
上式表明和为性质不同的两种矢量场,这意味着满足
的有无限多个。
2、库仑规范条件
由上所述,必须引入新的条件对进行限定。
由亥姆霍兹定理可知,矢量场的性质由起旋度和散度决定,的旋度已知,必须对其散度进行限定。
令库仑规范条件
注意:
规范条件是人为引入的限定条件
三、矢量磁位的求解
1、矢量磁位满足的方程
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