黑龙江省各地市高考数学 最新联考试题分类汇编17选修系列.docx
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黑龙江省各地市高考数学最新联考试题分类汇编17选修系列
黑龙江省各地市2013年高考数学最新联考试题分类汇编(17)选修系列
一、解答题:
22.(东北三省三校2013年3月高三第一次联合模拟理)(本小题满分10分)
选修4-1:
几何证明选讲
如图,圆O的半径OC垂直于直径AB,弦CD交半径OA于E,过D的切线与BA的延长线交于M。
(1)求证:
MD=ME;
(2)设圆O的半径为1,MD=,求MA及CE的长。
解析:
(Ⅰ)证明:
连接,则
……5分
(Ⅱ)解:
由(Ⅰ)
在中,
……10分
23.(东北三省三校2013年3月高三第一次联合模拟理)(本小题满分10分)
选修4-4:
坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,圆C1和C2的参数方程分别是(φ为参数)和(φ为参数),以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
(1)求圆C1和C2的极坐标方程;
(2)射线OM:
θ=α与圆C1的交点为O、P,与圆C2的交点为O、Q,求|OP|·|OQ|的最大值
24.(东北三省三校2013年3月高三第一次联合模拟理)(本小题满分10分)
选修4-5:
不等式选讲
设函数,其中a>0。
(1)当a=2时,求不等式的解集;
(2)若时,恒有,求a的取值范围。
解析:
(Ⅰ)时,或,
解集为……5分
(Ⅱ)当时,只需即可,
……10分
(22)(黑龙江省哈六中2013届高三第二次模拟理)(本小题满分10分)选修4—1:
几何证明选讲
如图,A,B,C,D四点在同一圆上,与的延长线交于点,点在的延长线上.
(1)若,求的值;
(2)若,证明:
.
22证明:
()四点共圆,,
又,∽,
,,
.......5分
(II),
,又,
∽,,
又四点共圆,,
,.......10分
(23)(黑龙江省哈六中2013届高三第二次模拟理)(本小题满分10分)选修4—4:
坐标系与参数方程
极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位,以原点为极点,以正半轴为极轴,已知曲线的极坐标方程为,曲线的参数方程是(为参数,,射线与曲线交于极点外的三点
(1)求证:
;
(2)当时,两点在曲线上,求与的值.
23.解
(1)设点的极坐标分别为
∵点在曲线上,∴
则=
所以......5分
(2)由曲线的参数方程知曲线为倾斜角为且过定点的直线,
当时,B,C点的极坐标分别为
化为直角坐标为,,
∵直线斜率为,,∴
直线BC的普通方程为,
∵过点,∴,解得......10分
(24)(黑龙江省哈六中2013届高三第二次模拟理)(本小题满分10分)选修4—5:
不等式选讲
已知均为正数
(1)证明:
,并确定如何取值时等号成立;
(2)若,求的最大值.
24.
(1)证明:
取等条件......5分
(2)=18
所以的最大值为,取等条件......10分
(22)(黑龙江省哈六中2013届高三第二次模拟文)(本小题满分10分)选修4—1:
几何证明选讲
如图,A,B,C,D四点在同一圆上,与
的延长线交于点,点在的延长线上.
(Ⅰ)若,求的值;
(Ⅱ)若,证明:
.
22.证明:
()四点共圆,,
又,∽,
,,
...........5分
(II),
,又,
∽,,
又四点共圆,,
,...........10分
(23)(黑龙江省哈六中2013届高三第二次模拟文)(本小题满分10分)选修4—4:
坐标系与参数方程
极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位,以原点为极点,以正半轴为极轴,已知曲线的极坐标方程为,曲线的参数方程是(为参数,,射线与曲线交于极点外的三点
(Ⅰ)求证:
;
(Ⅱ)当时,两点在曲线上,求与的值.
23.解
(1)设点的极坐标分别为
∵点在曲线上,
∴
则=
所以
(2)由曲线的参数方程知曲线为倾斜角为且过定点的直线,
当时,B,C点的极坐标分别为
化为直角坐标为,,
∵直线斜率为,,∴
直线BC的普通方程为,
∵过点,∴,解得
(24)(黑龙江省哈六中2013届高三第二次模拟文)(本小题满分10分)选修4—5:
不等式选讲
已知均为正数
(Ⅰ)证明:
,并确定如何取值时等号成立;
(Ⅱ)若,求的最大值.
24.
(1)证明:
取等条件
(2)=18
所以的最大值为,取等条件
(22)(黑龙江省大庆市2013届高三第二次模拟文)(本小题满分10分)选修4-1:
几何证明选讲
如图,圆的直径,是延长线上一点,,割线交圆于点、,过点作的垂线,交直线于点,交直线于点.
()求证:
;
()求的值.
(22)(本小题满分10分)选修4-1:
几何证明选讲
解法1:
()连接,则,
即、、、四点共圆.
∴.…………………………3分
又、、、四点共圆,
∴
∴.………………………5分
()∵,
∴、、、四点共圆,………………7分
∴,又,………9分
.………………………………………10分
解法2:
()连接,则,又
∴,
∵,∴.………5分
()∵,,
∴∽,∴,
即,………………………………7分
又∵,………………………………………9分
∴.………………………………………10分
(23)(黑龙江省大庆市2013届高三第二次模拟文)(本小题满分10分)选修4-4:
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,已知曲线:
,在极坐标系(与平面直角坐标系取相同的长度单位,且以原点为极点,以轴正半轴为极轴)中,直线的极坐标方程为.
()将曲线上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的倍、倍后得到曲线,试写出直线的直角坐标方程和曲线的参数方程;
()在曲线上求一点,使点到直线的距离最大,并求出此最大值.
(23)(本小题满分10分)选修4-4:
坐标系与参数方程
解:
()由题意知,直线的直角坐标方程为,…………………2分
由题意知曲线的直角坐标方程为,…………………………………4分
∴曲线的参数方程为(为参数).…………………………6分
()设,则点到直线的距离
,…………………………8分
当时,即点的坐标为时,点到直线的距离最大,
此时.…………………………10分
(24)(黑龙江省大庆市2013届高三第二次模拟文)(本小题满分10分)选修4-5:
不等式选讲
已知函数.
()当时,求的解集;
()当时,恒成立,求实数的集合.
(24)(本小题满分10分)选修4-5:
不等式选讲
解:
()解:
原不等式可化为,
当时,,则,无解;…………………………1分
当时,,则,∴;………………………3分
当时,,则,∴,………………………5分
综上所述:
原不等式的解集为.…………………………6分
()原不等式可化为,
∵,∴,……………………………7分
即,
故对恒成立,
当时,的最大值为,的最小值为,
∴实数的集合为.……………………………10分
22.(黑龙江省哈师大附中2013届第三次高考模拟理)(本小题满分10分)
A
B
C
D
E
M
N
O
选修4-1:
集合证明选讲
已知AB是圆O的直径,C为圆O上一点,CD⊥AB于点D,弦BE与CD、AC分别交于点M、N,且MN=MC
(1)求证:
MN=MB;
(2)求证:
OC⊥MN。
22.证明:
(Ⅰ)连结AE,BC,∵AB是圆O的直径,∴∠AEB=90°,∠ACB=90°
∵MN=MC,∴∠MCN=∠MNC
又∵∠ENA=∠MNC,∴∠ENA=∠MCN
∴∠EAC=∠DCB,∵∠EAC=∠EBC,∴∠MBC=∠MCB,∴MB=MC∴MN=MB.
(Ⅱ)设OC∩BE=F,
∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB
由(Ⅰ)知,∠MBC=∠MCB,∴∠DBM=∠FCM.又∵∠DMB=∠FMC
∴∠MDB=∠MFC,即∠MFC=90°∴OC⊥MN.
23.(黑龙江省哈师大附中2013届第三次高考模拟理)(本小题满分10分)
选修4-4:
坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数,0≤α<π)。
以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
已知曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=4sinθ。
(1)求直线l与曲线C的平面直角坐标方程;
(2)设直线l与曲线C交于不同的两点A、B,若,求α的值。
23.解:
(Ⅰ)直线普通方程为
曲线的极坐标方程为,则
(Ⅱ),将代入曲线
或
24.(黑龙江省哈师大附中2013届第三次高考模拟理)(本小题满分10分)
选修4-5:
不等式选讲
已知函数。
(1)当a=3时,求不等式的解集;
(2)若对恒成立,求实数a的取值范围。
24.解:
(Ⅰ)时,即求解
①当时,
②当时,
③当时,
综上,解集为
(Ⅱ)即恒成立
令则函数图象为
,
22.(东北三校2013届高三第二次联合模拟文)(本小题满分10分)
选修4-1:
集合证明选讲
如图,AB为⊙O的直径,过点B作⊙O的切线BC,OC交⊙O于点E,AE的延长线交BC于点D。
(1)求证:
CE2=CD·CB;
(2)若AB=BC=2,求CE和CD的长。
22.(本小题满分10分)选修4-1:
几何证明选讲
(Ⅰ)证明:
连接BE.
∵BC为⊙O的切线∴∠ABC=90°
∵AB为⊙O的直径∴∠AEB=90°……2分
∴∠DBE+∠OBE=90°,∠AEO+∠OEB=90°
∵OB=OE,∴∠OBE=∠OEB ∴∠DBE=∠AEO……4分
∵∠AEO=∠CED∴∠CED=∠CBE,
∵∠C=∠C∴△CED∽△CBE,
∴∴CE=CD·CB……6分
(Ⅱ)∵OB=1,BC=2,∴OC=,∴CE=OC-OE=-1……8分
由(Ⅰ)CE=CD•CB得(-1)=2CD,∴CD=3-……10分
23.(东北三校2013届高三第二次联合模拟文)(本小题满分10分)
选修4-4:
坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,已知点P,曲线C的参数方程为(φ为参数)。
以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为。
(1)判断点P与直线l的位置关系,说明理由;
(2)设直线l与直线C的两个交点为A、B,求的值。
23.(本小题满分10分)选修4-4:
坐标系与参数方程
解:
(Ⅰ)直线,即,
直线的直角坐标方程为,
点在直线上.……5分
(Ⅱ)直线的参数方程为(为参数),曲线C的直角坐标方程为
将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程,
有,,设方程的两根为,
……10分
24.(东北三校2013届高三第二次联合模拟文)(本小题满分10分)
选修4-5:
不等式选讲
设函数。
(1)求不等式的解集;
(2)若存在x使不等式成立,求实数a的取值范围。
24.(本小题满分10分)选修4-5:
不等式选讲
解:
(Ⅰ)原不等式等价于
当时,,解得不存在;
当时,,解得;
当时,,解得.
综上,不等式的解集为……5分
(Ⅱ)方法一:
由函数与函数的图象可知,
当且仅当时,函数与函数的图象有交点,
故存在使不等式成立时,的取值范围是……10分
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