必修四142正弦函数余弦函数的性质.docx
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必修四142正弦函数余弦函数的性质
必修四1.4.2正弦函数、余弦函数的性质
1、教学内容与内容解析:
三角函数是把已经学习过的三角比的知识和函数知识结合起来,是刻画生活中周期现象问题的典型的函数模型,在高中数学知识体系中占有十分重要的地位。
本节课作为《三角函数》开篇的第一课时,主要解决了正弦、余弦函数的定义和其图像的画法问题,为后面更好地学习三角函数的性质打下牢固的基础。
对于函数性质的研究,在高一必修中已经研究了幂函数、指数函数、对数函数的图象与性质.因此作为高中最后一个基本初等函数的性质的研究,学生已经有些经验了.其中,通过观察函数的图象,从图象的特征获得函数的性质是一个基本方法,这也是数形结合思想方法的应用.
由于三角函数是刻画周期变化现象的重要数学模型,这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方,而且对于周期函数,我们只要认识清楚它在一个周期区间上的性质,那么就完全清楚它在整个定义域内的性质.
正弦、余弦函数性质的难点,在于对函数周期性的正确理解与运用,以下的奇偶性,无论是由图象观察,还是由诱导公式进行证明,都很容易.单调性只要求由图象观察,不要求证明,而正弦、余弦函数的最大值和最小值可以作为单调性的一个推论,只要注意引导学生利用周期进行正确归纳即可.
二、教学目标与目标解析:
1.掌握正弦函数和余弦函数的概念。
2.学会利用单位圆中的正弦线作出正弦函数在上的图像的方法;并正确运用五点法作出正弦函数在上的大致图像。
3.利用诱导公式,通过图像平移作出余弦函数的图像。
4.进一步形成数形结合的思想方法,以及分析问题、解决问题的能力。
5.通过创设情境,如单摆运动、波浪、四季变化等,让学生感知周期现象;理解周期函数的概念;能熟练地求出简单三角函数的周期,并能根据周期函数的定义进行简单的拓展运用.
6.通过本节的学习,使同学们对周期现象有一个初步的认识,感受生活中处处有数学,从而激发学生的学习积极性,培养学生学好数学的信心,学会运用联系的观点认识事物.
7.正弦函数和余弦函数的性质:
定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性.
8.经过观察和推证揭示正弦函数和余弦函数的性质.
9.应用正弦函数和余弦函数的性质解决一些简单的问题.
10.在揭示正弦函数和余弦函数的性质的过程中,注意培养学生多观察、勤思考、善应用的品格.
三、教学问题诊断分析:
高一学生对函数概念的理解本身就是难点,再加上三角比知识,就要求学生有较高的理解和综合的能力。
关于作图方面,在前面函数的章节中,学生已经学习了画函数图像的一些方法,如幂函数、指数函数、对数函数等可以用列表描点法、图像平移翻折等方法作出其图像。
基于上述情况,预测学生对于本节课的内容,会有以下的一些困难:
1.概念的引出,把三角与函数两个概念结合起来,正确理解正弦函数和余弦函数。
2.利用单位圆的正弦线作出正弦函数在上的图像。
3.正确掌握五点法的作图步骤与要求。
4.按照正弦函数的作图方法,学生自己解决画余弦函数图像的一些方法。
四、教学支持条件分析:
根据上述教材分析和目标分析,贯彻启发性教学原则,体现以教师为主导,学生为主体的教学思想,深化课堂教学改革,确定本课主要的教学策略为:
1、计算机辅助教学
借助多媒体教学手段引导学生理解利用单位圆中的正弦线画出正弦函数的图象,使问题变得直观,易于突破难点;利用多媒体向学生展示优美的函数图象,给人以美的享受。
2、讨论式教学
通过观察“正弦函数的几何作图法”课件的演示,让学生分组(四人一组)讨论、交流、总结,由小组成员代表小组发表意见(不同层次的组员回答,教师给予评价不同),说出正弦函数的主要性质和函数,的图象中起着关键作用的点。
3、讲议结合教学
教师耐心引导、分析、讲解和提问,并及时对学生的意见进行肯定与评议。
4、分层教学
提问分层、评价分层、作业分层,注意面向全体学生,充分调动不同层次学生的积极性。
五、教学过程设计:
教学过程
设 计 意 图
(一)新课引入
实物演示:
“装满细沙的漏斗在做单摆运动时,沙子落在与单摆运动方向垂直运动的木板上的轨迹”
思考:
1、该曲线是何曲线?
2、你有办法画出该曲线的图象吗?
(二)新课
1、课件演示:
“正弦函数图象的几何作图法”
2、教师引导:
在直角坐标系的x轴上任意取一点O1,以O1为圆心作单位圆,从圆O1与x轴的交点A起把圆O1分成12等份(份数宜取6的倍数,份数越多,画出的图象越精确),过圆O1上的各分点作x轴的垂线,可以得到对应于0、、、、……、等角的正弦线,相应地,再把x轴上从0到这一段(≈6.28)分成12等份,把角x的正弦线向右平移,使它的起点与x轴上的点x重合,再用光滑的曲线把这些正弦线的终点连结起来,就得到了函数,的图象,因为终边相同的角有相同的三角函数值,所以函数在的图象与函数,的图象的形状完全一样,只是位置不同,于是只要将它向左、右平行移动(每
次个单位长度),就可以得到正弦函数,的图象,即正弦曲线。
3、提出问题:
问题一:
正弦函数有哪些主要性质?
4、学生分组讨论交流、相互评价,教师巡视并参与学生的讨论。
5、提问部分小组,教师进行归纳并板书。
性质:
(板书)
定义域:
R
值域:
当,时,函数取最大值1;
当,时,函数取最大值-1。
奇偶性:
奇函数
周期性:
()是周期,2π是最小正周期。
单调性:
在区间,上为增函数;在区间,上为减函数。
问题二:
1、函数,的图象中起着关键作用的点是哪些点?
2、几何作图法虽然比较精确,但是不太实用,如何快捷地画出正弦函数的图象呢?
五个关键点:
事实上,描出这五个点,函数,的图象的形状就基本确定了。
今后在精确度要求不太高时,常常先找出这五个关键点,用光滑曲线将它们连结起来即可得到函数的简图,我们把这种方法称为“五点作图法”。
课件演示:
“正弦函数图象的五点作图法”
课堂练习:
用“五点作图法”画出函数,的简图。
6、范例:
(1)求函数的定义域;
(2)求使得函数取得最大值的自变量x的集合,并说出最大值是什么?
7、小结:
(1)正弦函数图象的几何作图法
(2)正弦函数图象的五点作图法
(3)正弦函数图象的主要性质
8、布置作业:
(1)复习正弦函数的图象与主要性质
(2)思考正弦函数的其它性质,如对称性等。
(3)预习余弦函数的图象与性质
(4)书面作业:
P57习题4.8的第1题的第13、小题,第2题的第134小题,第9题的14小题。
(5)选做题:
1、求的x的取值范围;
2、求函数的单调递减区间。
让学生观察,了解日常生活中的实际问题转化为数学问题,提高学生对数学学习的兴趣。
通过课件演示突破利用单位圆画正弦函数图象这一难点。
培养学生观察能力、分析能力。
注意渗透由抽象到具体的思想,促进学生数学思想方法的形成,引导学生确实掌握“数形结合”的思想方法。
提出问题,培养学生认真观察和勇于探索、勤于思考的精神。
学生通过观察正弦函数图象的特点,分组完成了正弦函数的主要性质的建构。
培养学生学生合作学习和数学交流的能力。
只需指出函数的定义域、值域、奇偶性和单调性即可,关于函数的周期性安排下一个课时再讲,函数的单调区间学生可能说不完整。
根据不同层次的学生的回答,教师给予不同的评价。
根据终边相同的角有相同的三角函数值来说明x的取值。
关于奇函数,还可以通过sin(-x)=-sinx进行补充论证。
对于函数在它的定义域上都有:
,()成立,叫做周期。
由,()可知周期。
图象中起关键作用的五点,学生可能说不全,应进行耐心引导。
让学生感觉正弦函数的图象的形状。
“五点作图法”的一般步骤:
列表、描点、连线。
应注意在图中标出关键点的横、纵坐标。
请二个学生板演
答案:
(1)由得:
,.
(2)当
时,y取最大值1.
注意换元思想的教学渗透。
提问学生,由学生小结,然后教师重新演示课件,进行总结和补充。
作业布置注意分层,满足不同层次学生的需要。
六、目标检测设计:
1.y=sin(x-)的单调增区间是()
A.[kπ-,kπ+](k∈Z)B.[2kπ-,2kπ+](k∈Z)
C.[kπ-,kπ-](k∈Z)D.[2kπ-,2kπ-](k∈Z)
2.下列函数中是奇函数的是()
A.y=-|sinx|B.y=sin(-|x|)C.y=sin|x|D.y=xsin|x|
3.函数y=sinx(≤x≤)的值域是()
A.[-1,1]B.[,1]C.[,]D.[,1]
4.在(0,2π)内,使sinx>cosx成立的x取值范围是()
A.(,)∪(π,)B.(,π)
C.(,)D.(,π)∪(,)
5.如图所示,所对应的函数解析式是()
A.y=-sinxB.y=cosxC.y=sinxD.y=-cosx
二、填空题:
6.函数y=的定义域____________.
7.函数y=cos(2x+),当x=______时,ymin=_______;当x=_____时,ymax=_____________.
8.Cos1,cos2,cos3的大小关系是______________________.
9.y=sin(3x-)的周期是__________________.
10.满足条件cosx<-的区间是__________________.
三、解答题:
11.求下列函数的最值:
(1)y=cos2x-4cosx+3
(2)y=cos2x+3sinx
12.设函数f(x)=sin2x+acosx+a-,x∈[0,]的最大值是1,试确定a的值.
七、反思预期效果:
1.本节是三角函数的重点内容,设计的容量较大,指导思想是让学生在课堂上充分探究、大量活动.作为函数的性质,从初中就开始学习,到高中学习了幂函数、指数、对数函数后有了较深的认识,这是高中所学的最后一个基本初等函数.但由于以前所学的函数不是周期函数,所以理解较为容易,而正弦函数、余弦函数除具有以前所学函数的共性外,又有其特殊性,共性中包含特性,特性又离不开共性,这种普通性与特殊性的关系通过教学应让学生有所领悟.
2.在讲完正弦函数性质的基础上,应着重引导学生用类比的方法写出余弦函数的性质,以加深他们对两个函数的区别与联系的认识,并在解题中突出数形结合思想,在训练中降低变化技巧的难度,提高应用图象与性质解题的力度.较好地利用图象解决问题,这也是本节课主要强调的数学思想方法.
3.学习三角函数性质后,引导学生对过去所学的知识重新认识,例如sin(α+2π)=sinα这个公式,以前我们只简单地把它看成一个诱导公式,现在我们认识到了,它表明正弦函数的周期性,以提升学生的思维层次.
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- 必修 142 正弦 函数 余弦 性质