中考数学复习第3单元函数及其图象第15课时二次函数的图象和性质二检测湘教版21.docx
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中考数学复习第3单元函数及其图象第15课时二次函数的图象和性质二检测湘教版21
课时训练(十五)二次函数的图象和性质
(二)
|夯实基础|
一、选择题
1.如果将抛物线y=x2+2向下平移1个单位,那么所得新抛物线的解析式是( )
A.y=(x-1)2+2B.y=(x+1)2+2
C.y=x2+1D.y=x2+3
2.[2017·衡阳模拟]已知抛物线y=x2-x-1与x轴的一个交点为(m,0),则代数式m2-m+2017的值为( )
A.2014B.2015
C.2016D.2018
3.[2017·枣庄]已知函数y=ax2-2ax-1(a是常数,a≠0),下列结论正确的是( )
A.当a=1时,函数图象经过点(-1,1)
B.当a=-2时,函数图象与x轴没有交点
C.若a<0,函数图象的顶点始终在x轴的下方
D.若a>0,则当x≥1时,y随x的增大而增大
4.[2017·长郡模拟]抛物线y=x2+2x+m-1与x轴有交点,则m的取值范围是( )
A.m≤2B.m<-2
C.m>2D.0<m≤2
5.二次函数y=ax2+bx的图象如图K15-1,若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根,则m的最大值为( )
A.-3B.3
C.-6D.9
图K15-1
图K15-26.若二次函数y=x2+mx图象的对称轴是直线x=2,则关于x的方程x2+mx=5的解为( )
A.x1=1,x2=5B.x1=1,x2=3
C.x1=1,x2=-5D.x1=-1,x2=5
7.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图K15-2所示,则|a-b+c|+|2a+b|=( )
A.a+bB.a-2b
C.a-bD.3a
图K15-3
8.[2016·枣庄]已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图K15-3所示,给出以下四个结论:
①abc=0;②a+b+c>0;③a>b;④4ac-b2<0.其中正确的结论有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个二、填空题
9.若二次函数y=x2+2x+m的图象与x轴没有公共点,则m的取值范围是________.
10.[2016·泰安]将抛物线y=2(x-1)2+2向左平移3个单位,再向下平移4个单位,那么得到的抛物线的解析式为____________.
图K15-4
11.[2017·株洲]如图K15-4,二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴在y轴的右侧,其图象与x轴交于点A(-1,0),点C(x2,0),且与y轴交于点B(0,-2),小强得到以下结论:
①0<a<2;②-1<b<0;③c=-1;④当|a|=|b|时,x2>-1.以上结论中,正确的结论序号是________.三、解答题
12.已知抛物线y=(x-m)2-(x-m),其中m是常数.
(1)求证:
不论m为何值,该抛物线与x轴一定有两个公共点.
(2)若该抛物线的对称轴为直线x=.
①求该抛物线所对应的函数表达式;
②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位后,得到的抛物线与x轴只有一个公共点.|拓展提升|13.[2017·邵阳]如图K15-5,顶点为(,-)的抛物线y=ax2+bx+c过点M(2,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)点A是抛物线与x轴的交点(不与点M重合),点B是抛物线与y轴的交点,点C是直线y=x+1上一点(处于x轴下方),点D是反比例函数y=(k>0)图象上一点.若以点A、B、C、D为顶点的四边形是菱形,求k的值.
图K15-514.[2017·益阳]如图K15-6①,直线y=x+1与抛物线y=2x2相交于A,B两点,与y轴交于点M,M,N关于x轴对称,连接AN,BN.
(1)①求A,B的坐标;
②求证:
∠ANM=∠BNM;
(2)如图②,将题中直线y=x+1变为y=kx+b(b>0),抛物线y=2x2变为y=ax2(a>0),其他条件不变,那么∠ANM=∠BNM是否仍然成立?
请说明理由.
图K15-6
参考答案
1.C [解析]将抛物线y=x2+2向下平移1个单位,得到抛物线y=x2+2-1=x2+1.
2.D [解析]∵抛物线y=x2-x-1与x轴的一个交点为(m,0),∴m2-m-1=0,
∴m2-m=1,∴m2-m+2017=1+2017=2018
3.D [解析]将a=1代入原函数解析式,令x=-1求出y值,由此得出A选项不符合题意;B.将a=-2代入原函数解析式,令y=0,根据根的判别式Δ=8>0,可得出当a=-2时,函数图象与x轴有两个不同的交点,即B选项不符合题意;C.利用配方法找出二次函数图象的顶点坐标,令其纵坐标小于零,可得出a的取值范围,由此可得出C选项不符合题意;D.利用配方法找出二次函数图象的对称轴,结合二次函数的性质,即可得出D选项符合题意.
4.A [解析]由题意可知:
Δ=4-4(m-1)≥0,∴m≤2,故选A.
5.B [解析]∵抛物线的开口向上,顶点的纵坐标为-3,
∴a>0,=-3,即b2=12a.
∵关于x的一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根,
∴Δ=b2-4am≥0,即12a-4am≥0,
即12-4m≥0,解得m≤3,
∴m的最大值为3.
6.D [解析]∵二次函数y=x2+mx图象的对称轴是直线x=2,∴-=2,解得m=-4,∴关于x的方程x2+mx=5可化为x2-4x-5=0,即(x+1)(x-5)=0,解得x1=-1,x2=5.
7.D [解析]根据二次函数y=ax2+bx+c的图象可知,a>0,又抛物线过坐标原点,∴c=0.∵抛物线的对称轴为直线x=-,∴0<-<1,解得-2a<b<0,∴|a-b+c|=a-b,|2a+b|=2a+b,∴|a-b+c|+|2a+b|=a-b+2a+b=3a.
8.C [解析]由图可知,图象经过原点,则c=0,
∴abc=0,结论①正确;
当x=1时,对应的图象上的点在第四象限,∴a+b+c<0,结论②错误;
∵-=-,∴b=3a,∵a<0,∴b<0,∴a>b,结论③正确;
抛物线与x轴有两个交点,则b2-4ac>0,∴4ac-b2<0,结论④正确.故答案为C.
9.m>1 [解析]根据抛物线y=x2+2x+m与x轴没有公共点可知,方程x2+2x+m=0没有实数根,
∴判别式Δ=22-4×1×m<0,∴m>1.
10.y=2(x+2)2-2
11.①④ [解析]由图象可知抛物线开口向上,∴a>0,由抛物线经过A(-1,0),B(0,-2),对称轴在y轴的右侧可得:
由此可得:
a-b=2,b<0.故a=2+b<2,综合可知0<a<2;将a=b+2代入0<a<2中得:
0<b+2<2,可得-2<b<0;
当|a|=|b|时,因为a>0,b<0,故有a=-b.又a-b=2,可得a=1,b=-1.
故原函数为y=x2-x-2,当y=0时,即有x2-x-2=0,解得x1=-1,x2=2,
x2=2>-1.故答案为:
①④.
12.解:
(1)证明:
y=(x-m)2-(x-m)=x2-(2m+1)x+m2+m,
∵Δ=(2m+1)2-4(m2+m)=1>0,
∴不论m为何值,该抛物线与x轴一定有两个公共点.
(2)①∵x=-=,∴m=2,
∴抛物线所对应的函数表达式为y=x2-5x+6.
②设抛物线沿y轴向上平移k个单位后,得到的抛物线与x轴只有一个公共点,则平移后抛物线所对应的函数表达式为y=x2-5x+6+k.
∵抛物线y=x2-5x+6+k与x轴只有一个公共点,
∴Δ=52-4(6+k)=0,∴k=,
即把该抛物线沿y轴向上平移个单位后,得到的抛物线与x轴只有一个公共点.
13.解:
(1)依题意可设抛物线为y=a(x-)2-,将M(2,0)代入可得a=1,则抛物线的解析式为y=(x-)2-=x2-x-2.
(2)当y=0时,x2-x-2=0,
解得x1=-1,x2=2,所以A(-1,0),
当x=0时,y=-2,所以B(0,-2).
在Rt△OAB中,OA=1,OB=2,∴AB=.
设直线y=x+1与y轴的交点为点G,易求G(0,1),
∴Rt△AOG为等腰直角三角形,∴∠AGO=45°.
∵点C在直线y=x+1上且在x轴下方,而k>0,
∴y=的图象位于第一、三象限,故点D只能在第一、三象限,因此符合条件的菱形只能有如下两种情况:
①此菱形以AB为边且AC也为边,如图①所示,过点D作DN⊥y轴于点N,
在Rt△BDN中,∵∠DBN=∠AGO=45°,
∴DN=BN==,
∴D(-,--2),
∵点D在y=的图象上,
∴k=-·(--2)=+.
②此菱形以AB为对角线,如图②所示,作AB的垂直平分线CD交直线y=x+1于点C,交y=的图象于点D.再分别过点D,B作DE⊥x轴于点F,BE⊥y轴,DE与BE相交于点E.
在Rt△BDE中,同①可证∠AGO=∠DBO=∠BDE=45°,∴BE=DE.
可设点D的坐标为(x,x-2).
∵BE2+DE2=BD2,∴BD=BE=x.
∵四边形ACBD是菱形,∴AD=BD=x.
∴在Rt△ADF中,AD2=AF2+DF2,即(x)2=(x+1)2+(x-2)2,解得x=,
∴点D的坐标为(,),∵点D在y=(k>0)的图象上,∴k=.
综上所述,k的值为+或.
14.解:
(1)①联立化简得2x2=x+1,解得:
x=-或x=1.
当x=-时,y=;当x=1时,y=2.
∴A,B两点的坐标分别为(-,),(1,2).
②证明:
如图①,过A作AC⊥y轴于C,过B作BD⊥y轴于D.
由①及已知有A(-,),
B(1,2),OM=ON=1,
∴tan∠ANM===,
tan∠BNM===,
∴tan∠ANM=tan∠BNM,∴∠ANM=∠BNM.
(2)∠ANM=∠BNM成立.
①当k=0时,△ABN是关于y轴对称的轴对称图形,
∴∠ANM=∠BNM.
②当k≠0时,根据题意得:
OM=ON=b,
设A(x1,ax12),B(x2,ax22).
如图②,过A作AE⊥y轴于E,
过B作BF⊥y轴于F.
联立消y得ax2=kx+b,
即ax2-kx-b=0,
∴x1+x2=,x1x2=-.
∵-=-
=
=
==0.
∴=.
又∵∠AEN=∠BFN=90°,
∴Rt△AEN∽Rt△BFN,
∴∠ANM=∠BNM.
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