等腰对补角模型word版Word下载.docx
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模块三
等腰对补角
例7
★★★★
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常用导角模型
如图1,若/AOB=/COD,则/1=/2;
反之,若/1=/2,则/AOB=/COD。
如图2,“8字导角得/1+/A=/2+/D,若已知/A=/D,则/1=/2;
反之也成立。
如图3,/A+ZB+/ACD+/D=360°
若已知/A+/D=180°
(即对角互补),则/B+/ACD=180°
进而得到/1=Z2.
这几个导角结论在本讲等腰对补角”和第四讲等腰旁等角”模型中经常使用
模块一等腰直角对直角
例1、如图,△ABC为等腰直角三角形,ZBAC=90°
ZBDC=90°
求证:
ZADB=ZADC=45°
练习
如图,已知△ABC为等腰直角三角形,/BAC=90°
/ADB=45°
/ADC=45
例2、如图,已知△ABC为等腰三角形,AB=AC,ZADB=/ADC=45°
/BAC=90°
如图,已知△ABC为直角三角形,/BAC=90°
/ADB=/ADC=45°
AB=AC
总结归纳
(1)若已知条件是等腰Rt△”,求证:
角平分线”,辅助线作法:
过等腰Rt△的直角顶点作(两直角顶点连线的)垂线,构造等腰Rt△的手拉手”模型,
所作垂线的方向是朝着已知45。
角的方向(若题目中两个45。
均未知,则两个方向均可)。
(2)若已知条件是角平分线”,求证三角形为等腰Rt△”,辅助线作法为:
作双垂”。
例3、如图,在平面直角坐标系中,△AOB为等腰直角三角形,/BAO=90°
AHy轴于H,
C为OB的中点,求证:
CH平分/AHO。
(2015-2016江汉区八上期末)已知四边形ABCD为正方形,△CDE为等腰三角形,CD=CE,F为DE的中点,BE、CF交于G,求/AGB。
挑战压轴
(2016-2017黄陂区八上期中第24题)如图,在平面在直角坐标系中,已知A(7a,0),B(0,-7a),点
C为x轴负半轴上一点,ADAB,/仁/2.
(1)求/ABC+/D的度数;
(2)如图1,若点C的坐标为(-3a,0),求点D的坐标(结果用含a的式子表示)。
模块二等边对120°
例4、△ABC为等边三角形,DABC外一点且/BDC=120,求证:
①/ADB=/ADC=60
②BD+CD=AD
如图,△ABC为等边三角形,DABC外一点且/BDA=60°
求证:
①/ADC=60°
;
②BD+CD=AD
例5、如图,△ABC中,AB=AC,D为厶ABC外一点且/ADB=/ADC=60°
①厶ABC为等边三角形;
如图,在△ABC中,/BAC=60°
DABC外一点且/ADB=ZADC=60°
(1)若已知条件是等边△”求证角平分线”辅助线作法为:
对已知的60°
构造等边△,得两个等边△共顶点的手拉手”模型•(若题目中两个60°
均未知,则两个方向均可)•
(2)若已知条件是角平分线”,求证三角形为等边△”辅助线作法为:
作双垂”.
例6、△ABC为等腰三角形,AB=AC,AD是厶ABC的角平分线,以AC为边向外作等边△ACE,
BE分别与AD、AC交于点F、G,连CF
(1)求证:
/FBD=ZFCD
(2)若AF=3,DF=1,求EF的值
例7、如图,△ABC和厶ADE中,AB=AC,AD=DE,/BAC=ZADE=,D在BC上,连
接CE,求证:
AB//CE
如图,点D是厶ABC的边BC上一点,且AB=AC,DA=DE,/BAC=/ADE=120°
求/BCE的度数。
第3讲:
A基础巩固
1如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点A、B、C的坐标分别为A(a,0),
B(b,0),C(0,b),且a,b满足|ab(b3)2
(1)求点A、B、C的坐标.
(2)若点P为x轴上一点,且点P在点B的右侧,点E在第四象限,且PE=PC,PEPC,连接AE,
CE,求/PAE的度数.
2、如图,在直角坐标系中,
P为第一象限一点,且求/ODB的度数.
A的坐标为(a,0),且a、b满足Jab8a2b4=0,点
FA=OA,ACx轴交OP于点C,AD平分/FAC交OP于点D,
B综合训练
3、如图,△ABD为等边三角形,以BD为边向外作等边△DBC,点E、F分别在AB、AD上且AE=DF,连接BF与DE相交于点G,连接CG,证明下列结论:
(1)△AED△DFB;
(2)CG=DG+BG
AEB
4、(2015二中八上月考)等腰△ABC和等腰△ADE中,AB=AC,AD=DE,/BAC=/ADE=,点D在BC上,连CE.
(1)如图1,=90°
时,求/DCE的度数.
(2)选择图2或图3其中的一个,求证:
AB//CE.
图1
图2
图3
5、(学而思2017元旦综测第23题)如果四边形有一组邻边相等,且对角互补,那么这样的四边形称为等腰互补四边形”如图1,图2,图3中的四边形ABDC,AB=AC,/BAC+/BDC=180°
则称四边形ABDC为等腰互补四边形”.
小吴同学酷爱钻研,他发现当/BAC=60°
时(如图1).ZADB=ZADC=60°
小吴继续研究发现.当/BAC=90°
时(如图2).ZADB=ZADC=45°
他猜想:
当ZBAC=°
1
时(如图3),ZADB=ZADC=90°
-丄
2
(1)小吴同学的猜想正确吗?
如果是,请帮他证明;
如果不是,请说明理由
(2)如图4,已知△ABC,以AB为边作等边△ABE,以AC为边作顶角为120°
的等腰厶ACF,即ZACF=120°
FA=FC.P是BC边上一动点,连接PE、PF,当ZBPE=60°
时,求证:
PEPF
图1图2图3
E
图4
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