第三章例题.doc
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第三章例题
1、NaCl和KCl具有相同的晶体结构,其德拜温度分别为320K和230K。
KCl在5K时的比热值为J·mol·K-1,试计算NaCl在5K和KCl在2K时的比热。
2、设晶格常数a=1´10-10m,一维单原子链在长波极限下的传播速度v0=3´105cm/s,求晶格中格波截止频率。
3、设有一维双原子链,两种原子的质量相等,每个原子和它的左右近邻间距不等,弹性系数也不等,求格波的色散关系。
4、在一维无限长的简单晶格中,若考虑原子间的长程作用力,第n个与第n+m或n-m个原子间的恢复力系数为,试求格波的色散关系。
5、若将一维单元子链中原子的振动位移写成,求格波的色散关系。
6、设有一维晶体,其原子质量均为m,而最邻近原子间的力常数交替地等于和,且最邻近的距离为,试画出色散关系曲线,并给出和处的。
1、NaCl和KCl具有相同的晶体结构,其德拜温度分别为320K和230K。
KCl在5K时的比热值为J·mol·K-1,试计算NaCl在5K和KCl在2K时的比热。
解:
对同种结构的晶体,比热与成正比,所以
NaCl在5K时的比热为
J·mol·K-1,
KCl在2K时的比热为
J·mol·K-1,
2、设晶格常数a=1´10-10m,一维单原子链在长波极限下的传播速度v0=3´105cm/s,求晶格中格波截止频率。
解:
一维单原子链的色散关系为:
在长波极限下,,,因而
\
截止频率
3、设有一维双原子链,两种原子的质量相等,每个原子和它的左右近邻间距不等,弹性系数也不等,求格波的色散关系。
解:
(1)一维双原子链如下图所示:
设x1(na)、x2(na)表示平衡位置为na的A原子和平衡位置为(na+d)的B原子的位移,A原子与左右原子的弹性系数分别为β1和β2,m代表每个原子的质量。
(2)在简谐近似和近邻作用近似下运动方程为
(3)此方程组有2N个方程,应有2N个解。
将试探解代入方程组,并整理得:
(4)
(5)A1、A2有非零解的条件是其系数行列式为零:
(6)解得
4、在一维无限长的简单晶格中,若考虑原子间的长程作用力,第n个与第n+m或n-m个原子间的恢复力系数为,试求格波的色散关系。
解:
设原子的质量为M,第n个原子对平衡位置的位移为,第n+m和n-m个原子对平衡位置的位移分别为和(m=1,2,3···),则第n+m和n-m个原子对第n个原子的作用力为:
第n个原子受力的总和为
因此第n个原子的运动方程为
将格波的试探解
代入运动方程,得
由此得格波的色散关系为
5、若将一维单元子链中原子的振动位移写成,求格波的色散关系。
解:
在一维单原子晶格中,由近邻作用近似和简谐近似,第n个原子的运动方程为
其中(n=1,2,3,…)为第n个原子的位移,为弹性系数。
根据题意,原子的位移可表示为
代入上面方程,得
格波的色散关系为
6、设有一维晶体,其原子质量均为m,而最邻近原子间的力常数交替地等于和,且最邻近的距离为,试画出色散关系曲线,并给出和处的。
解:
一维双原子链如下图所示:
令x1(na)表示平衡位置为na的A原子的位移,x2(na)表示平衡位置为(na+)的B原子的位移,A原子与左右原子的弹性系数分别为10β和β,m代表每个原子的质量。
在简谐近似和近邻作用近似下运动方程为
将试探解,代入上面方程组,消去公因子,得:
、有非零解的条件是其系数行列式为零:
解得
当上式中取“+”和“-”时,分别对应光学支和声学支。
当时,有,;
当时,有,。
其色散关系如下图:
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