线性代数行列式经典例题87424word版本.docx
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线性代数行列式经典例题87424word版本
线性代数行列式经典例题
例1计算元素为aij=|i-j|的n阶行列式.
解方法1由题设知,=0,,,故
其中第一步用的是从最后一行起,逐行减前一行.第二步用的每列加第列.
方法2
=
例2.设a,b,c是互异的实数,证明:
的充要条件是a+b+c=0.
证明:
考察范德蒙行列式:
=
行列式即为y2前的系数.于是
=
所以的充要条件是a+b+c=0.
例3计算D=
解:
方法1递推法按第1列展开,有
D=xD+(-1)a=xD+a
由于D=x+a,,于是D=xD+a=x(xD+a)+a=xD+ax+a==xD+ax++ax+a=
方法2第2列的x倍,第3列的x倍,,第n列的x倍分别加到第1列上
===
方法3利用性质,将行列式化为上三角行列式.
D
xk=x(++++a+x)
=
方法4+
++
+
=(-1)(-1)a+(-1)(-1)ax
++(-1)(-1)ax+(-1)(a+x)x
=
例4.计算n阶行列式:
()
解采用升阶(或加边)法.该行列式的各行含有共同的元素,可在保持
原行列式值不变的情况下,增加一行一列,适当选择所增行(或列)的元素,使得下一步化简后出现大量的零元素.
=
这个题的特殊情形是
=
可作为公式记下来.
例5.计算n阶“三对角”行列式
D=
解方法1递推法.
DD—
D-D
即有递推关系式D=D-D(n3)
故=
递推得到==
==
而,==,代入得
(2.1)
由递推公式得
=
=αD+=
=+++=
方法2把D按第1列拆成2个n阶行列式
D=+
上式右端第一个行列式等于αD,而第二个行列式
=β
于是得递推公式,已与(2.1)式相同.
方法3在方法1中得递推公式
D=D-D
又因为当时D==
===
D==-2
==
于是猜想,下面用数学归纳法证明.
当n=1时,等式成立,假设当nk时成立.
当n=k+1是,由递推公式得
D=D-D
=—=
所以对于nN,等式都成立
例6.计算阶行列式:
其中.
解这道题有多种解法.
方法1化为上三角行列式
其中,于是.
方法2升阶(或加边)法
方法3递推法.将改写为
+
由于
因此=为递推公式,而,于是
==
==
==
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