高中数学圆锥曲线重要结论Word文件下载.docx
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1(
>>)的焦半径公式:
b
P1P2的直线方程是x0x
1.
,则椭圆的焦点角形的面积为
SFPF
b2tan.
1
|MF1|aex0,|MF2|aex0(F1(c,0),F2(c,0)M(x0,y0)).
9.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点,A为椭圆长轴上一个顶点,连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点,则MF
⊥NF.
10.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点,A1P和A2Q交于点M,A2P和A1Q交于点N,则MF⊥NF.
M(x0,y0)为AB的中点,则kOMkAB
11.AB是椭圆
21的不平行于对称轴的弦,
2,
即KAB
b2x0。
a2y0
双曲线
1.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.
2.PT平分△PF1F2在点P处的内角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.
3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.
4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:
P在右支;
外切:
P在左支)
若P0(x0,y0)在双曲线a2
b21(a>0,b>0)上,则过P0的双曲线的切线方程是
1(a>0,b>0)外,则过Po作双曲线的两条切线切点为
P1、P2,则切点弦
若P0(x0,y0)在双曲线
1(a>0,b>o)的左右焦点分别为
F1,F2,点P为双曲线上任意一点
FPF
b2cot.
1(a>0,b>o)的焦半径公式:
(F1(
c,0)
F2(c,0)
当M(x
y)在右支上时,|MF1|
ex0
a,|MF2|ex0
a.
y)在左支上时,|MF1|
a,|MF2|
P1P2的直线方程是x0x
,则双曲线的焦点角形的面积为
9.设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点,A为双曲线长轴上一个顶点,连结AP和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N
两点,则MF⊥NF.
10.过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q,A1、A2为双曲线实轴上的顶点,A1P和A2Q交于点M,A2P和A1Q交于点N,则MF⊥NF.
11.
AB是双曲线x2
(a>0,b>0)的不平行于对称轴的弦,M(x0,y0)为AB的中点,则
KOM
KAB
b2x0,即KAB
b2x0。
a2y0
12.
若P0
(x0
y0)在双曲线x2
(a>0,b>0)内,则被Po所平分的中点弦的方程是
x02
y0
2.
13.
y0)在双曲线
(a>0,b>0)内,则过Po的弦中点的轨迹方程是
x0xy0y
椭圆与双曲线的对偶性质--
椭
圆
y
1(a>b>o)的两个顶点为
A1(
a,0)
A2(a,0)
,与y轴平行的直线交椭圆于
P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是
.
2.
过椭圆x2
1(a>0,b>0)上任一点
A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于
B,C两点,则直线BC有定向且kBC
b2x0(常数).
3.
若P为椭圆
1(a>b>0)上异于长轴端点的任一点
F1,F2是焦点,PF1F2
PF2F1
c
cot.
,则
tan
4.
1(a>b>0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点,在△PF1F2中,记
F1PF2
设椭圆
PF1F2
F1F2P
sin
e.
,则有
1(a>b>0)的左、右焦点分别为
F1、F2,左准线为L,则当0<e≤
1时,可在椭圆上求一点
P,使得PF1是P到对应准
若椭圆
线距离d与PF2的比例中项.
P为椭圆
1(a>b>0)上任一点,F1,F2为二焦点,A为椭圆内一定点,则
2a
|AF2||PA|
|PF1|2a
|AF1|,当且仅当A,F2,P三
点共线时,等号成立.
(xx0)2
(yy0)2
1与直线Ax
By
C0有公共点的充要条件是
(Ax0
By0
Aa
B
C).
已知椭圆
OP
OQ
22
的
21(a>b>0),O为坐标原点,P、Q为椭圆上两动点,且
.
(1)
2;
(2)|OP|+|OQ|
|OP|
|OQ|
4a2b2
a2b2
最大值为
(3)SOPQ的最小值是
9.
过椭圆
1(a>b>0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于
M,N
10.
1(a>b>0),A、B、是椭圆上的两点,线段
AB
已知椭圆a2
设P
点是椭圆
1(a>b>0)上异于长轴端点的任一点
|PF|
e
两点,弦MN的垂直平分线交x轴于P,则
|MN|
x0
的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0),则
F1、F2为其焦点记F1PF2
,则
(1)|PF1||PF2
|
2b2
.
(2)
cos
SPFF
b2tan
设
A
、
是椭圆
ab
)的长轴两端点,
P
是椭圆上的一点,
PAB
PBA,BPA
ce
分别是椭圆的半焦距
(>
>
,、
2ab2|cos
2a2b2
离心率,则有
(1)|PA|
.
(2)tantan
e2
.(3)SPAB
cot.
c2cos2
已知椭圆x2
(
>>
)的右准线l与
x
轴相交于点E,过椭圆右焦点
F的直线与椭圆相交于
两点点C在右准线l上,且BCx
ab0
轴,则直线AC经过线段EF的中点.
14.
过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直
15.
过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直
16.
椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数
e(离心率).
(注:
在椭圆焦三角形中
非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点
.)
17.椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.
18.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.
1(a>0,b>0)的两个顶点为
A1(a,0),A2(a,0),与y轴平行的直线交双曲线于
P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是
1.双曲线
过双曲线
1(a>0,b>o)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于
B,C两点,则直线BC有定向且kBC
b2x0
2y0
(常数).
若P为双曲线
PF1F2
anttco
(a>0,b>0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1,F2是焦点,
(或c
cot
).
设双曲线
1(a>0,b>0)的两个焦点为
F1、F2,P(异于长轴端点)为双曲线上任意一点,在△
PF1F2中,记
F1F2P
(sinsin)
若双曲线
1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为
F1、F2,左准线为L,则当1<e≤2
1时,可在双曲线上求一点
P,使得PF1是
P到对应准线距离
d与PF2的比例中项.
1(a>0,b>0)上任一点,F1,F2为二焦点,A为双曲线内一定点,则|AF2
|2a|PA|
|PF1|,当且仅当A,F2,P三点
P为双曲线
共线且P和A,F2
在y轴同侧时,等号成立.
双曲线x2
0,b
)与直线
AxBy
C
有公共点的充要条件是
2a2
B2b2
C2
已知双曲线
1(b>a>0),O为坐标原点,P、Q为双曲线上两动点,且
OQ.
4a2b2;
(1)
;
(2)|OP|2+|OQ|2的最小值为
|OP|2
|OQ|2
1(a>0,b>0)的右焦点F作直线交该双曲线的右支于
M,N两点,弦MN的垂直平分线交
x轴于P,则
1(a>0,b>0),A、B是双曲线上的两点,线段
AB的垂直平分线与
轴相交于点
P(x0,0)
则x0
或
1(a>0,b>0)上异于实轴端点的任一点
F1、F2
为其焦点记
,则
(1)
|PF1||PF2|
点是双曲线
1cos
b2cot.
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