最新圆锥曲线轨迹问题.docx
- 文档编号:1710446
- 上传时间:2022-10-23
- 格式:DOCX
- 页数:12
- 大小:288.26KB
最新圆锥曲线轨迹问题.docx
《最新圆锥曲线轨迹问题.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《最新圆锥曲线轨迹问题.docx(12页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
最新圆锥曲线轨迹问题
圆锥曲线轨迹问题
建设现代化(检验)
——有关圆锥曲线轨迹问题
根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程,这是解析几何的一大课题:
一方面求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”,将“曲线”转化为“方程”,通过对方程的研究来认识曲线的性质;另一方面求轨迹方程是培养学生数形转化的思想、方法以及技巧的极好教材。
该内容不仅贯穿于“圆锥曲线”的教学的全过程,而且在建构思想、函数方程思想、化归转化思想等方面均有体现和渗透。
轨迹问题是高考中的一个热点和重点,在历年高考中出现的频率较高,特别是当今高考的改革以考查学生创新意识为突破口,注重考查学生的逻辑思维能力,运算能力,分析问题和解决问题的能力,而轨迹方程这一热点,常涉及函数、三角、向量、几何等知识,能很好地反映学生在这些能力方面的掌握程度。
求轨迹方程的的基本步骤:
建设现代化(检验)
建(坐标系)设(动点坐标)现(限制条件,动点、已知点满足的条件)代(动点、已知点坐标代入)化(化简整理)检验(要注意定义域“挖”与“补”)
求轨迹方程的的基本方法:
直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等。
1.直接法:
如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系,这些条件简单明确,不需要特殊的技巧,易于表述成含x,y的等式,就得到轨迹方程,这种方法称之为直接法;
例1、已知直角坐标系中,点Q(2,0),圆C的方程为,动点M到圆C的切线长与的比等于常数,求动点M的轨迹。
【解析】设MN切圆C于N,则。
设,则
化简得
(1)当时,方程为,表示一条直线。
(2)当时,方程化为表示一个圆。
◎◎如图,圆与圆的半径都是1,.过动点分别作圆、圆的切线(分别为切点),使得.试建立适当的坐标系,并求动点的轨迹方程.
【解析】以的中点为原点,所在直线为轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则
,.
由已知,得.
因为两圆半径均为1,所以
.
设,则
,
即.(或)
评析:
1、用直接法求动点轨迹一般有建系,设点,列式,化简,证明五个步骤,最后的证明可以省略,但要注意“挖”与“补”。
2、求轨迹方程一般只要求出方程即可,求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。
2.定义法:
运用解析几何中一些常用定义(例如圆锥曲线的定义),可从曲线定义出发直接写出轨迹方程,或从曲线定义出发建立关系式,从而求出轨迹方程。
例2、已知动圆过定点,且与直线相切,其中.
求动圆圆心的轨迹的方程;
【解析】如图,设为动圆圆心,为记为,过点作直线的垂线,垂足为,由题意知:
即动点到定点与定直线的距离相等,由抛物线的定义知,点的轨迹为抛物线,其中为焦点,为准线,所以轨迹方程为;
◎◎已知圆O的方程为x2+y2=100,点A的坐标为(-6,0),M为圆O上任一点,AM的垂直平分线交OM于点P,求点P的方程。
【解析】由中垂线知,故,即P点的轨迹为以A、O为焦点的椭圆,中心为(-3,0),
故P点的方程为
◎◎已知A、B、C是直线l上的三点,且|AB|=|BC|=6,⊙O′切直线l于点A,又过B、C作⊙O′异于l的两切线,设这两切线交于点P,求点P的轨迹方程.
【解析】设过B、C异于l的两切线分别切⊙O′于D、E两点,两切线交于点P.由切线的性质知:
|BA|=|BD|,|PD|=|PE|,|CA|=|CE|,故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|
=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18>6=|BC|,故由椭圆定义知,
点P的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆,
以l所在的直线为x轴,以BC的中点为原点,建立坐标系,
可求得动点P的轨迹方程为:
评析:
定义法的关键是条件的转化——转化成某一基本轨迹的定义条件。
三、相关点法:
动点所满足的条件不易表述或求出,但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x’,y’)的运动而有规律的运动,且动点Q的轨迹为给定或容易求得,则可先将x’,y’表示为x,y的式子,再代入Q的轨迹方程,然而整理得P的轨迹方程,代入法也称相关点法。
几何法:
利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质,发现动点运动规律和动点满足的条件,然而得出动点的轨迹方程。
例3、如图,从双曲线x2-y2=1上一点Q引直线x+y=2的垂线,垂足为N。
求线段QN的中点P的轨迹方程。
【解析】设动点P的坐标为(x,y),点Q的坐标为(x1,y1)
则N(2x-x1,2y-y1)代入x+y=2,得2x-x1+2y-y1=2①
又PQ垂直于直线x+y=2,故,即x-y+y1-x1=0②
由①②解方程组得,代入双曲线方程即可得P点的轨迹方程是2x2-2y2-2x+2y-1=0
◎◎已知椭圆的左、右焦点分别是F1(-c,0)、F2(c,0),Q是椭圆外的动点,满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点,点T在线段F2Q上,并且满足
求点T的轨迹C的方程;
【解析】
解法一:
(相关点法)
设点T的坐标为当时,点(,0)和点(-,0)在轨迹上.
当|时,由,得.
又,所以T为线段F2Q的中点.
设点Q的坐标为(),则
因此①
由得②
将①代入②,可得
综上所述,点T的轨迹C的方程是
解法二:
(几何法)
设点T的坐标为
当时,点(,0)和点(-,0)在轨迹上.
当|时,由,得.
又,所以T为线段F2Q的中点.
在△QF1F2中,,所以有
综上所述,点T的轨迹C的方程是
评析:
一般地:
定比分点问题,对称问题或能转化为这两类的轨迹问题,都可用相关点法。
四、参数法:
求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系,则可借助中间变量(参数),使x,y之间建立起联系,然而再从所求式子中消去参数,得出动点的轨迹方程。
例4、在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO(如图4所示).求△AOB的重心G(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程;
【解析】
解法一:
以OA的斜率k为参数由解得A(k,k2)
∵OA⊥OB,∴OB:
由解得B
设△AOB的重心G(x,y),则
消去参数k得重心G的轨迹方程为
解法二:
设△AOB的重心为G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则…
(1)
∵OA⊥OB∴,即,……
(2)
又点A,B在抛物线上,有,代入
(2)化简得
∴
所以重心为G的轨迹方程为。
◎◎如图,设抛物线的焦点为F,动点P在直线上运动,过P作抛物线C的两条切线PA、PB,且与抛物线C分别相切于A、B两点.求△APB的重心G的轨迹方程.
【解析】设切点A、B坐标分别为,
∴切线AP的方程为:
切线BP的方程为:
解得P点的坐标为:
所以△APB的重心G的坐标为,
所以,由点P在直线l上运动,从而得到重心G的轨迹方程为:
评析:
1.用参数法求轨迹是高考中常考的重要题型,由于选参灵活,技巧性强,也是学生较难掌握的一类问题。
2.选用什么变量为参数,要看动点随什么量的变化而变化,常见的参数有:
斜率、截距、定比、角、点的坐标等。
3.要特别注意消参前后保持范围的等价性。
4.多参问题中,根据方程的观点,引入n个参数,需建立n+1个方程,才能消参(特殊情况下,能整体处理时,方程个数可减少)。
五、交轨法:
求两动曲线交点轨迹时,可由方程直接消去参数,例如求两动直线的交点时常用此法,也可以引入参数来建立这些动曲线的联系,然而消去参数得到轨迹方程。
可以说是参数法的一种变种。
例5、抛物线的顶点作互相垂直的两弦OA、OB,求抛物线的顶点O在直线AB上的射影M的轨迹。
解1(交轨法):
点A、B在抛物线上,设A(,B(所以kOA=kOB=,由OA垂直OB得kOAkOB=-1,得yAyB=-16p2,又AB方程可求得,即(yA+yB)y--4px--yAyB=0,把yAyB=-16p2代入得AB方程(yA+yB)y--4px+16p2=0①又OM的方程为②
由①②消去得yA+yB即得,即得。
所以点M的轨迹方程为,其轨迹是以为圆心,半径为的圆,除去点(0,0)。
评析:
用交轨法求交点的轨迹方程时,不一定非要求出交点坐标,只要能消去参数,得到交点的两个坐标间的关系即可。
交轨法实际上是参数法中的一种特殊情况。
解2(几何法):
由解1中AB方程(yA+yB)y--4px+16p2=0可得AB过定点(4p,0)而OM垂直AB,所以由圆的几法性质可知:
M点的轨迹是以为圆心,半径为的圆。
所以方程为,除去点(0,0)。
五、向量法:
例6、(1995全国理)已知椭圆如图6,=1,直线L:
=1,P是L上一点,射线OP交椭圆于点R,又点Q在OP上且满足|OQ|·|OP|=|OR|2.当点P在L上移动时,求点Q的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线
总结:
以上给出了处理轨迹问题的几种常用方法,对于下面几点,在复习轨迹问题时是值得我们引起高度重视的:
1.高考方向要把握
高考考查轨迹问题通常是以下两类:
一类是容易题,以定义法、相关点法、待定系数法等为主,另一类是高难度的纯轨迹问题,综合考查各种方法。
2.“轨迹”、“方程”要区分
求轨迹方程,求得方程就可以了;若是求轨迹,求得方程还不够,还应指出方程所表示的曲线类型(定形、定位、定量)。
3.抓住特点选方法
处理轨迹问题成败在于:
对各种方法的领悟与解题经验的积累。
所以在处理轨迹问题时一定要善于根据题目的特点选择恰当的方法(什么情况下用什么方法上面已有介绍,这里不再重复)。
4.认真细致定范围
确定轨迹的范围是处理轨迹问题的难点,也是学生容易出现错误的地方,在确定轨迹范围时,应注意以下几个方面:
①准确理解题意,挖掘隐含条件;
②列式不改变题意,并且要全面考虑各种情形;
③推理要严密,方程化简要等价;
④消参时要保持范围的等价性;
⑤数形结合,查“漏”补“缺”。
5.平几知识“用当先”
在处理轨迹问题时,要特别注意运用平面几何知识,其作用主要有:
①题中没有给出明显的条件式时,可帮助列式;
②简化条件式;
③转化化归。
6.向量工具“用自如”
向量是新课改后增加的内容,它是数形转化的纽带,它在初等数学的各个分支中起着十分重要的工具作用,在复习时应加强训练,使学生熟练掌握,并能运用自如。
巩固练习:
1.点M(x,y)与定点F(1,0)的距离和它到直线x=4的距离的比为2,则动点M的轨迹方程为().
A.B.C.3x2-y2-34x+65=0D.3x2-y2-30x+63=0
(目的:
掌握直接法求轨迹方程的基本思路及步骤,同时掌握双曲线第二定义,避免错误使用)
答案:
D
解析:
两边平方即得3x2-y2-30x+63=0
2.P是椭圆上的动点,作PD⊥y轴,D为垂足,则PD中点的轨迹方程为().
A.B.C.D.
(目的:
掌握代入法求轨迹方程的基本思路及步骤,理解其适用的题型)
答案:
D
解析:
设PD中点为M(x,y),则P点坐标为(2x,y),代入方程,即得.
3.已知双曲线,(a>0,b>0),A1、A2是双曲线实轴的两个端点,MN是垂直于实轴所在直线的弦的两个端点,则A1M与A2N交点的轨迹方程是().
A.B.C.D.
(目的:
熟悉参数法求轨迹方程的基本思路,理解相交点轨迹方程的解题技巧)
答案:
A
解析:
设M(x1,y1),N(x1,-y1),A1M与A2N交点为P(x,y),A1(-a,0),A
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 最新 圆锥曲线 轨迹 问题