中考挑战压轴题第4部分图形的平移翻折与旋转专题练习.docx
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中考挑战压轴题第4部分图形的平移翻折与旋转专题练习.docx
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中考挑战压轴题第4部分图形的平移翻折与旋转专题练习
第四部分图形的平移、翻折与旋转
§4.1图形的平移
例12015年泰安市中考第15题
如图1,在平面直角坐标系中,正三角形OAB的顶点B的坐标为(2,0),点A在第一象限内,将△OAB沿直线OA的方向平移至△O′B′A′的位置,此时点A′的横坐标为3,则点B′的坐标为().
A.(4,)B.(3,)C.(4,)D.(3,)
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“15泰安15”,拖动点A'运动的过程中,可以体验到,△A′OC保持等边三角形的形状.
答案A.思路如下:
如图2,当点B的坐标为(2,0),点A的横坐标为1.
当点A'的横坐标为3时,等边三角形A′OC的边长为6.
在Rt△B′CD中,B′C=4,所以DC=2,B′D=.此时B′.
图2
例22015年咸宁市中考第14题
如图1,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(0,6),将△OAB沿x轴向左平移得到
△O′A′B′,点A的对应点A′落在直线上,则点B与其对应点B′间的距离为______.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“15咸宁14”,拖动点A′左右运动,可以体验到,AA′与BB′保持平行且相等的关系.
答案8.思路如下:
当y=6时,解方程,得x=-8.所以AA′=8.
图形在平移的过程中,对应点的连线平行且相等,所以BB′=AA′=8.
图2
例32015年株洲市中考第14题
已知直线y=2x+(3-a)与x轴的交点在A(2,0),B(3,0)之间(包括A、B两点)则a的取值范围是_____________.
动感体验
请打开几何画板文件名“15株洲14”,拖动点D在A、B之间运动,可以体验到,直线与y轴的交点C在(0,-4)和(0,-6)两点之间运动(如图1,图2).
答案7≤a≤9.思路如下:
如图1,将点A(2,0)代入y=2x+(3-a),得4+(3-a)=0.解得a=7.
如图2,将点B(3,0)代入y=2x+(3-a),得6+(3-a)=0.解得a=9.
图1图2
例42016年上海市虹口区中考模拟第18题
如图1,已知△ABC中,AB=AC=5,BC=6,将△ABC沿射线BC方向平移m个单位得到△DEF,顶点A、B、C分别与D、E、F对应,若以点A、D、E为顶点的三角形是等腰三角形,且AE为腰,则m的值是__________.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“16虹口18”,拖动点E在射线BC上运动,可以体验到,以AE为腰的等腰三角形ADE有两个.
答案6或.思路如下:
如图2,四边形ABED保持平行四边形,AM=EN=4,BM=DN=3,AD=BE=m.
①如图3,当EA=ED时,点E在AD的垂直平分线上,此时AD=2ND=6.
②如图4,当AE=AD时,根据AE2=AD2,得m2=42+(m-3)2.解得.
图2图3图4
§4.2图形的翻折
例52016年上海市奉贤区中考模拟第18题
如图1,在△ABC中,∠B=45°,∠C=30°,AC=2,点D在BC上,将△ACD沿直线AD翻折后,点C落在点E处,边AE交边BC于点F,如果DE//AB,那么的值是______.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“16奉贤18”,拖动点D在BC上运动,可以体验到,当DE//AB时,△ACF是顶角为30°的等腰三角形.
答案.思路如下:
如图2,作AH⊥BC于H.
在Rt△ACH中,∠C=30°,AC=2,所以AH=1,CH=.
在Rt△ABH中,∠B=45°,所以BH=AH=1.所以BC=.
如图3,当DE//AB时,∠BAE=∠AED=∠C=30°.
此时∠AFC=∠B+∠BAE=75°.
在△ACF中,∠C=30°,∠AFC=75°,所以∠FAC=75°.所以CF=CA=2.
所以BF=BC-CF==.
所以.
另解:
也可以根据△BAF∽△BCA先求得BF的长.
由BA2=BF·BA,得.所以.
图2图3
例62016年上海市静安区青浦区中考模拟第18题
如图1,在△ABC中,AB=AC=4,cosC=,BD是中线,将△CBD沿直线BD翻折,点C落在点E,那么AE的长为_______.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“16静安青浦18”,可以体验到,四边形BCDE是菱形,四边形AEBD是平行四边形,AE=BD.
答案.思路如下:
如图2,作AM作BC于M,DN⊥BC于N.
在Rt△ACM中,AC=4,cosC=,所以CM=1.所以BC=2CM=2.
已知D是AC的中点,所以BC=DC=2.
如图3,由BE=BC,BC=DC,DC=DA,得BE=DA.
由∠1=∠2,∠1=∠3,得∠2=∠3.所以EB//AC.
所以四边形AEBD是平行四边形.所以AE=BD.
如图2,在Rt△DCN中,DC=2,CN=,所以DN=.
在Rt△DBN中,BN=,所以BD=.所以AE=.
图2图3
例72016年上海市闵行区中考模拟第18题
如图1,已知在△ABC中,AB=AC,tan∠B=,将△ABC翻折,使点C与点A重合,折痕DE交边BC于点D,交边AC于点E,那么的值为_________.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“16闵行18”,拖动点C绕着对称轴DE旋转到点A,可以体验到,DE垂直平分AC,DC=DA.
答案.思路如下:
如图2,作AH⊥BC于H,那么BH=CH.
已知tan∠B==,设AH=1,BH=3.
设DC=DA=m.在Rt△ADH中,由勾股定理,得m2=12+(3-m)2.
解得.所以BD=BC-DC==.所以.
图2
例82016年上海市浦东新区中考模拟第18题
Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=15,AC=20,点D在边AC上,DE⊥AB,垂足为E,将△ADE沿直线DE翻折,翻折后点A的对应点为点P,当∠CPD为直角时,AD的长是___________.
动感体验
请打开几何画板文件名“16浦东18”,拖动点D在AC上运动,可以体验到,当∠CPD为直角时,△CHP∽△PED≌△AED,这三个直角三角形的三边比都是3∶4∶5.
答案.思路如下:
如图1,作CH⊥AB于H.
在Rt△ABC中,BC=15,AC=20,所以AB=25,cosB=,cosA=.
在Rt△BCH中,BH=BC·cosB==9.
当∠CPD=90°时,∠CPH与∠DPE互余.
又因为∠B与∠A互余,∠DPE=∠A,所以∠CPH=∠B.
于是可得PH=BH=9.所以AP=25-18=7.
所以AE=.所以AD=AE=.
图1
例92016年上海市普陀区中考模拟第18题
如图1,在矩形ABCD中,将矩形折叠,使点B落在边AD上,这时折痕与边AD和边BC分别交于点E、F.然后再展开铺平,以B、E、F为顶点的△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”.如图2,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,当“折痕△BEF”的面积最大时,点E的坐标是___________.
图1图2
动感体验
请打开几何画板文件名“16普陀18”,拖动点G在AD上运动,可以体验到,△BEF的高AB保持不变,当点G与点D重合时,BF最大,△BEF的面积也最大(如图3,图4所示).
答案.思路如下:
设菱形BFGE的边长为m.
如图4,当G、D重合时,在Rt△ABE中,AB=2,BE=m,AE=4-m.
由勾股定理,得m2=22+(4-m)2.解得m=.
此时AE=4-m=,点E的坐标为.
图3图4
例102016年张家界市中考第14题
如图1,将矩形ABCD沿GH对折,点C落在Q处,点D落在AB边上的点E处,EQ与BC相交于F,若AD=8cm,AB=6cm,AE=4cm.则△EBF的周长是cm.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“16张家界14”,拖动点E绕GH翻折,可以体验到,当点E落在AB边上时,HE=HD,△AHE∽△BEF.
答案8.思路如下:
设HE=HD=m,那么AH=8-m.
在Rt△AHE中,由HE2=AE2+AH2,得m2=42+(8-m)2.解得m=5.
所以△AHE的周长为3+4+5=12.
因为△AHE∽△BEF,AH∶BE=3∶2,根据相似三角形的周长比等于对应边的比,可得△BEF的周长为8.
图2
例112016年常德市中考第15题
如图1,把平行四边形ABCD折叠,使点C与点A重合,这时点D落在D1,折痕为EF,若∠BAE=55°,则∠D1AD=_________.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“16常德15”,拖动点A改变平行四边形ABCD的形状,可以体验到,四边形AECF保持菱形的形状,四边形ACDD1保持等腰梯形的形状,∠D1AD与∠DCA、∠BAE保持相等.
答案55°.思路如下:
如图2,连结FC、DD1.
因为四边形AECF是菱形,根据中心对称性,∠DCA=∠BAE.
如图3,因为A与C、D与D1关于直线EF对称,所以四边形ACDD1是等腰梯形,所以对角线AD与CD1交于对称轴上的点F,根据对称性,∠D1AD=∠DCA.
图2图3
例122016年淮安市中考第18题
如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点F在边AC上,并且CF=3,点E为边BC上的动点,将△CEF沿直线EF折叠,点C落在点P处,则点P到边AB的距离的最小值是________.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“16淮安18”,拖动点E在BC上运动,可以体验到,点P的轨迹是以F为圆心,以FC为半径的圆(如图2).当点F、P、G三点共线时,PG最小(如图3).
答案.思路如下:
如图2,作PG⊥AB于G,作FH⊥AB于H.
在Rt△AFH中,FH=AF·sin∠A==.
在△PFG中,PF=2为定值,PF+PG>FG.
而FG的最小值是FH,所以PG的最小值是FH-PF==(如图3).
§4.3图形的旋转
例152016年上海昂立教育中学生三模联考第18题
如图1,已知AD是等腰三角形ABC底边BC上的高,AD∶DC=1∶3,将△ADC绕着点D旋转,得△DEF,点A、C分别与点E、F对应,且EF与直线AB重合,设AC与DF相交于点O,那么S△AOF∶S△DOC=__________.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“16昂立18”,拖动点F绕点D旋转,可以体验到,当点F落在射线BA上时,△AOF∽△DOC.
答案32∶45.思路如下:
如图2,设AD=m,DB=DC=3m,那么AC=EF=m,cos∠BAD=.
作DH⊥AB于H,那么AH=AD·cos∠BAD=m.所以AE=m.
于是AF=EF-AE=m.
由△AOF∽△DOC,得S△AOF∶S△DOC=AF2∶DC2==32∶45.
图2
例162016年上海市崇明县中考模拟第18题
如图1,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=2,将△ABC绕点C逆时针旋转60°,得到△MNC,联结BM,那么BM的长是___________.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“16崇明18”,拖动点M绕点C逆时针旋转,可以体验到,当旋转60°时,AC就是等腰直角三角形ABC和等边三角形ACM的公共边,BM是两个三角形AC边上的高的和.
答案.思路如下:
如图2,在等腰Rt△ABC中,AB=BC=2,高BH=.
在等边三
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