圆精典培优竞赛题含详细答案Word文件下载.docx
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,AB二5,AC二3,
.••BC二aW-AC,=4,而AD为中线,
・・・DC二2,
•••以E为圆心的OE分别与AB、BC相切,
・・・EG二EF二R,
・・.HC二R,AH=3-R,
VEH//BC,
••.△AEHsAADC,・・・EH:
CD二AH:
AC,
-x5xR+-x4xR+-x3x二丄x3x4,
故选B・
切线的性质.
4.如图,过D、A、C三点的圆的圆心为E,过B、EsF三点的圆的圆心为D,如果
ZA二63°
那么上B二・
【答案】18°
【解析】连接EDC巳由图可知ZB二上DEB,ZECD=ZEDC=2/B
・・•"
二63°
・・・ZECA二630
/.ZA+ZECA+ZECD+ZB=180°
•••ZB二18°
5.如图,在以O为圆心的两个同心圆图2中,MN为大圆的直径,交小圆于点P、Q,大圆的弦MC交小圆于点A、B.若OM二2,OP=1,MA二AB二BC,则△MBQ的面积为•
【答案】3<
T5/8
小圆方程X?
+y2=1
MC方程y二k(x+2),x二一
k_2
解人=
卫二2+J1-3疋儿2-J1-3疋2+J1-3疋二4・2胡一3疋3J1-3疋=2
l-3k2=-
9
k=
此时AM=,MB=>
/6
心学
B点坐标为G,茜冷)
MBQ面积二|・^\扌3/2二辛.爲"
乎
6.如图,已知OO的半径为9cm,射线PM经过点O,OP=15cm,射线PN与G)O相切于点0.动点A自P点以|cm/s的速度沿射线PM方向运动,同时动点3也自P点以2cm/s的速度沿射线RV方向运动,则它们从点P出发s后A3所在直
线与OO相切.
【答案】0.5s或10.5s.
PN与(DO相切于点Q,OQ丄PN,即ZOQP二90°
在直角△OPQ中根据勾股定理就可以求出PQ的值,过点O作OC丄AB,垂足为C.直线AB与OO相切,则厶PABs^POQ,根据相似三角形的对应边的比相等,就可以求出t的值.
试题解析:
连接OQ,
•.•PN与OO相切于点Q,
・・・OQ丄PN,即ZOQP=90°
TOP二15,OQ二9,
aPQ=V102-62=12(cm).
过点。
作OC丄AB,垂足为C,
•••点A的运动速度为|cm/s,点B的运动速度为2cm/s,运动时间为ts,
/.PA=-t,PB二2t,
2
・.・PO二15,PQ二12,
.PA_PB
~PO~~PQ'
VZP=ZP,
•••△PABs^POQ,
/.ZPBA=ZPQO=90°
•••zBQO=ZCBQ=ZOCB=90°
•••四边形OCBQ为矩形.
・・・BQ=OC・
・・・G)O的半径为,
.•.BQ二OC二9时,直线AB与€)0相切.
1当AB运动到如图】所示的位萱,BQ=PQ-PB=12-2t,
tBQ二9,
・・・8-4t二9,
・・・t二0.25(s)・
2当AB运动到如图2所示的位萱、
BQ=PB-PQ=2t-12,
TBQ二9,
.-.2t-12=9,
・・・t二10.5(s).
.•.当t为0.5S或10.5S时直线AB与OO相切.
老点:
1•切线的判定;
2•勾股定理;
3•矩形的性质;
4•相似三角形的判定与性质.
7.(本题满分13分)在平面直角坐标系双"
中,点M(迈,血),以点M为圆心,
OM长为半径作OM,使OM与直线OM的另一交点为点B,与x轴、y轴的另一交点分别为点D,A(如图),连接AM点P是弧AB上的动点.
(1)写出ZAMB的度数;
⑵点Q在射线OP上,且OP・OQ二20,过点Q作QC垂直于直线OM,垂足为C,直线QC交x轴于点巳
1当动点P与点B重合时,求点E的坐标;
2连接QD,设点Q的纵坐标为t,△QOD的面积为S,求S与t的函数关系式及S的取值围.
【答案】
(1)90。
;
(2)①(5^2,0);
②S二Q,5<
S<
10.
⑴首先过点M作MH丄OD于点H,由点M(血,血),可得ZMOH=45°
OH二MH二迈,继而求得上AOM二45°
又由OM二AM,可得AAOM是等腰直角三角形,继而可求得ZAMB的度数;
(2)①由OH二MH二血,MH丄OD,即可求得OD与OM的值,继而可得OB的长,又由动点P与点B重合时,OP・OQ二20,可求得OQ的长,继而求得答案;
②由OD二2迈,Q的纵坐标为t,即可得S二、2五二臥然后分别从当动点P与B点重合时,过点Q作QF丄x轴,垂足为F点,与当动点P与A点重合时,Q点在y轴上,去分析求解即可求得答案.
⑴过点M作MH丄OD于点H,•.•点M(运,血),.•.OH二MH二血,/.ZMOD=45°
•••/AOD二90°
/./AOM=45a,•/OM=AM,/./OAM=Z
AOM二45°
.•./AMO二90°
.•./AMB二90°
;
(2)①tOH二MH二MH丄OD,/.OM=>
ImH2+OH2=2,OD二2OH二2迈,
.•.OB二4,•.•动点P与点B重合时,OP・OQ二20,.•.OQ二5,VZOQE=90°
Z
POE二45°
.-.OE=5>
/2,/.E点坐标为(5^2,0);
②•••OD二2近,Q的纵坐标为t,.-.S=lx2V2/=V2r,如图2,当动点P与B点重合2
时,过点Q作QF丄x轴,垂足为F点,•.6=4,OP・OQ二20,.*.OQ=5,TZOFC二90°
ZQOD二45。
,.十二QF二详,此时S=V5x详二5;
22
如图3,当动点P与A点重合时,Q点在y轴上,・・・OP二2迈、vOP>
OQ=20,
t=OQ=5>
/2,此时S=V2x5\/2=10;
・・・S的取值围为5<
10・
8・(本题满分10分)如图,AB是OO的直径,弦DE垂直平分半径OA,C为垂足,
弦DF与半径OB相交于点P,连结EF、EO,若DE二2馆,/DPA二45°
・
(1)求OO的半径;
(2)求图中阴影部分的面积.
(1)2;
⑵—2.
(1)根据垂径定理得cE的长,再根据已知DE平分AO得CO二1AO二;
OE,
22解直角三角形求解.
(2)先求出扇形的圆心角,再根据扇形面积和三角形的面积公式计算即可.
(门・・•直径AB丄DE,/.CE=-DE=>
/3・•/DE平分AO,/.2
CO=1aO=1oe・XVZOCE=90°
/.sin/CEO二冬二丄,二上CEO二30°
・在
22EO2
RtACOE中,OE二一^一二g二2,•••OO的半径为2;
cos30°
y/3
T
(2)连接OF•在RtADCP中,・.・ZDPC二45°
,/.ZD=90°
一45°
=45°
/.ZEOF=2ZD二90°
90「
・•・5...疋cpg=——X兀x2■二TT・
MKOEF360
•••zEOF二2zD二90°
OE二OF二2,/.SRlSOEF=|XOEXOF二2,/.
S阴形_S血形OM_SR3EF_打_2■
D
E
1・扇形面积的计算;
2.线段垂直平分线的性质;
3.解直角三角形.
9.如图,在矩形ABCD中,AB二20cm,BC二4cm,点p从A开始折线A——B一C——D以4cm/秒的速度移动,点Q从C开始沿CD边以】cm/秒的速度移动,如果点P、Q分别从A、C同时出发,当其中一点到达D时,另一点也随之停止运动,设运动的时间t(秒)
(1)t为何值时,四边形APQD为矩形.
(2)如图
(2),如果OP和OQ的半径都是2cm,那么t为何值时,OP和OQ外切?
2028
(1)4;
(2)t为4s,—S,丄s时,OP与OQ外切.
33
⑴四边形APQD为矩形,也就是AP二DQ,分别用含t的代数式表示,解即可;
(2)主要老虑有四种情况,一种是P在AB上,一种是P在BC上时.一种是P在CD上时,又分为两种情况,一种是P在Q右侧,一种是P在Q左侧.并根据每一种情况,找出相等关系,解即可.
⑴根据题意,当AP二DQ时,四边形APQD为矩形•此时,4t=20-t,解得t=4(s).
答:
t为4时,四边形APQD为矩形
(2)当PQ二4时,OP与OQ外切.
1如果点P在AB上运动.只有当四边形APQD为矩形时,PQ二4.由
(1),得t二4(S);
2如果点P在BC上运动.此时45,则CQ>
5,PQ>
CQ>
5>
4,/.OP与OQ外离;
3如果点P在CD上运动,且点P在点Q的右侧•可得CQ二t,CP二4仁24.当CQ-CP二4
20
时,OP与0Q外切.此时,卜(4t-24)=4,解得t二亍(S);
4如果点P在CD上运动,且点P在点Q的左侧.当CP-CQ二4时,OP与OQ外切.此时,41-244=4,
28
解得t二£
(s),
3
•••点P从A开始沿折线A-B-C-D移动到D需要11S,点Q从C开始沿CD边移动到
D需要20s,而y<
11,
・••当t为4s,—S,片s时,OP与OQ外切.
】•矩形的性质;
2•圆与圆的位重关系.
10・(10分)如图,以线段AB为直径的OO交线段AC于点巳点D是AE的中点,
连接OD并延长交。
于点"
,ZBOE.60»
‘COSC=-,5.
(1)求“的度数;
(2)求证:
BC是Oo的切线;
(3)求弧AM的长度.
(1)30°
(2)证明见试题解析;
(3)龙.
(】)根据三角函数的知识即可得出上A的度数.
(2)要证BC是OO的切线,只要证明AB丄BC即可.
(3)根据垂径定理求得ZAOM二60°
运用三角函数的知识求出OA的长度,即可求得弧AM的长度.
(1)vOA=OE,.\ZA=ZOEA,vZBOE=ZA+/OEA=2ZA,
ZBOE=-x60°
=30°
(2)在AABC中,・・・cosC二—・••上C二60°
又TZA二30°
/.ZABC=90°
/.
AB丄BC,TAB为直径,「.BC是OO的切线;
(3)•・•点D是AE的中点,・・・OM1AE,v/A=30o,/.ZAOM=60°
,在RTAABC
AR1
中,tcinC二一,・・応02>
/^,・・・人8二80£
门025/5*5/5二6,・・・0人二一人8二3,・・・BC2
★ra一l60zrx3
弧AM的长二二TT・
180
切线的判定.
11.已知在平面直角坐标系xOy中,O是坐标原点,以P(1,1)为圆心的OP与x轴,y轴分别相切于点M和点N,点F从点M出发,沿X轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动,连接PF,过点PE丄PF交y轴于点E,设点F运动的时间是t秒(t>
0)
(1)若点E在y轴的负半轴上(如图所示),求证:
PE=PF;
(2)在点F运动过程中,设OE二6OF=b,试用含Q的代数式表示b;
(3)作点F关于点M的对称点F,,经过M、E和F,三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q,连接QE.在点F运动过程中,是否存在某一时刻,使得以点Q、OsE为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似?
若存在,请直接写出t的值;
若不存在,请说明理由.
(1)证明见解析;
⑵sn;
⑶当山呼或血或2+血或
2-血时,以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似.
(1)连接PM,PN,运用△PMF^APNE证明.
(2)分两种情况①当t>
l时,点E在y轴的负半轴上,0<
t<
l时,点E在y轴的正半轴或原点上,再根据
(1)求解.
(3)分两种情况,当l<
2时,当t>
2时,三角形相似时还各有两种情况,根据比例式求出时间t:
如答图3,(I)当l<
2时,
•••F(1+t,0),F和F,关于点M对称,.F(1-t,0).
•••经过M、E和F,三点的拋物线的对称轴交x轴于点Q,.'
.Q(1-lt,0)•.••OQ二1
-It
由
(1)得厶PMF^APNE,/.NE=MF=t,.\OE=t-l.
£
当△OEQSAMPF时,罟岛即¥
=孚
1
I
即—=十-,解W,t,=V2,t2=-^2(舍去)・
・・・F(1+t,0),F和F关于点M对称,・・F(1-t,0)
・・•经过M、E和F三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q,0)/.OQ=lt
22
-1,
由⑴WAPMF^APNE.\NE=MF=t./.OE=t-l.
当厶oeqs^mfp时,・・.21=22,即!
—l=2——,解得,tl=2+V2.・=2_近.
MFMPt1
综上所述,当(=匕専或血或2+V2或2-血时,以点Q、O、E为顶点的三角形4
与以点P、M、F为顶点的三角形相似.
VOP与x轴,y轴分别相切于点M和点N,・・・PM丄MF,PN丄ON且PM二PN.•./PMF=ZPNE=90°
且ZNPM=90°
•VPE丄PF,ZNPE=ZMPF=90°
-/MPE.
ZNPE=ZMPF
在ZkPMF和ZkPNE中,]PN=PM,
ZPNE=ZPMF
(2)①当41时,点E在y轴的负半轴上,如答图1,由⑴得厶PMF^APNE,.\NE=MF=t,PM=PN=1.・・.b二OF二OM+MF二1+t,a=NE-ON=t-l,・・.b-gl+t-(t-1)二2,・・.b二2+0.
②0<
t=l时,如答图2,点E在y轴的正半轴或原点上,同理可证APMF也APNE,
・・.b二OF二OM+MF二1+t,gON-NE二l-t,
・・・b+Q二1+t+l—t二2,
答團2
(3)当t=或血或2+血或2-血时,以点Q、O、E为顶点的三角形与以点
4
P、M、F为顶点的三角形相似.
】•单动点和轴对称问题;
2•切线的性质;
3•全等三角形的判定和性质;
4•相似三
角形的判定和性质;
5.分类思想和方程思想的应用.
12.如图
(1),抛物线y=-lx+x+c与X轴交于A、B两点,与y轴交于点C,其4
中点A的坐标为(—2,0).
(1)求此抛物线的解析式;
(2)①若点D是第一象限抛物线上的一个动点,过点D作DE丄x轴于E,连接CD,
以OE为直径作OM,如图
(2),试求当CD与OM相切时D点的坐标;
②点F是x轴上的动点,在抛物线上是否存在一点G,使A、C、G、F四点为顶点的
四边形是平行四边形?
若存在,求出点G的坐标;
若不存在,请说明理由.
(1)y=-ix2+x+3;
⑵①(|(1+>
/5),|(3+V5));
②存在,(4,3)或(2+J7,-3)或(2-0-3).
(】)把A的坐标代入抛物线的解析式,即可得到关于c的方程,求的c的值,则抛物线的解析式即可求解.
(2)①连接MC、MD,证明△COMsAMED,根据相似三角形的对应边的比相等即可求解.
②分四种情况进行讨论,根据平行四边形的性质即可求解.
解:
(1)•••点A(-2,0)在抛物线y=-ix2+x+c±
/.0=-ix(-2)2-2+c,解得C二3.
・・・抛物线的解析式是:
y=」x2+x+3・
(2)①令D(x,y),(x>
0,y>
0),则E(x,0),M(A,0),
由
(1)知C(0,3),
如答图1,连接MC、MD
•.•DE、CD与€)0相切,ZCMD=90°
.
X
.••△comsamed.=即-=1・
MEEDy
又•.\=_卜++3,.•.卜,解得X二和土列
4---x2+x+3-
24
y.-x>
0,.-.x=|(l+>
/5),y=|(3+75).
•••D点的坐标是:
(扌(1+岳),扌(3+右))•
答图1
②假设存在满足条件的点G(a,b).
若构成的四边形是口ACGF,(答图2)则G与C关于直线x二2对称,
•••G点的坐标是:
(4,3).
若构成的四边形是口ACFG,(答图3,4)则由平行四边形的性质有b二-3,
又•/-3=-la2+a+3,解得。
二2士厲,此时G点的坐标是:
(2±
弟,-3).
若构成的四边形是口AGCF,(答图5)则CG^FA,
•••G点的坐标是:
显而易见,AFCG不能构成平行四边形.
综上所述,在抛物线上存在点G,使A、C、G、F四点为顶点的四边形是平行四边形,点G的坐标为(4,3)或(2+0-3)或(2-0-3).
】•单动点问题;
2.二次函数综合题;
3.曲线上点的坐标与方程的关系;
4•直线与圆相切的性质;
5•相似三角形的判定和性质;
6.平行四边形的性质;
7.分类思想的应用.
13.如图,矩形ABCD的边AB=3cm,AD二4cm,点E从点A出发,沿射线AD移动,以CE为直径作圆O,点F为圆O与射线BD的公共点,连接EF、CF,过点E作EG丄EF,EG与圆O相交于点G,连接CG.
(1)试说明四边形EFCG是矩形;
(2)当圆O与射线BD相切时,点E停止移动,在点E移动的过程中,
1矩形EFCG的面积是否存在最大值或最小值?
若存在,求出这个最大值或最小值;
若不存在,说明理由;
2求点G移动路线的长.
(2)①存在,矩形EFCG的面积最大值为12,最小值为卡;
®
7-
(】)只要证到三个角等于90°
即可.
(2)①易证点D在OO±
根据圆周角定理可得ZFCE^ZFDE,从而证到ACFEsA
ir*p2
DAB,根据相似三角形的性质可得到S^ABCd=2S^cfe=—・然后只需求出CF的围
就可求出s
矩形ABCD的围.
②根据圆周角定理和矩形的性质可证到ZGDC=/FDE=定值,从而得到点G的移动的
路线是线段,只需找到点G的起点与终点,求出该线段的长度即可.
解:
(1)证明:
如图,
vCE为OO的直径,.../CFE二/CGE二90°
・
VEG丄EF,.•.ZFEG二90°
.ZCFE=ZCGE=ZFEG=90°
四边形EFCG是矩形.
(2)①存在.
如答图1.连接OD,
•••四边形ABCD是矩形,.•./*二/ADC二90°
•••点O是CE的中点,二。
二OC.点D在OO±
・・・AD二4,AB二3,
・・•四边形EFCG是矩形,・・・FC//EG.・・・ZFCE二ZCEG・v/GDC=ZCEG,ZFCE=/FDE1.\/GDC=ZFDE.
•••/FDE+ZCDB二90°
・••上GDC+/CDB二90°
・/.ZGDB=90°
I•当点E在点A(巳)处时,点F在点B(F'
)处,点G在点D(G‘处,如答图1所示.
此时,CF二CB二4.
II•当点F在点D(F"
)处时,直径F"
G"
丄BD,如答图2所示,此时OO与射线BD相切,CF二CD二3.
III.当CF丄BD时,CF最小,此时点F到达F"
'
如答图3所示.Sabcd二!
BC・CD二*BD・CF"
12
・・・4x3二5xCF°
'
•・・・CF"
/二上.
5
.\-<
CF<
4.
1AQ
・・・矩形EFCG的面积最大值为2最小值为*・
②YZGDC=ZFDE=定值,点G的起点为D,终点为G"
•••点G的移动路线是线段DG°
•••/GDC二上FDE,ZDCGff二/A二90°
.•.△DCG”c^ADAB.
・••点G移动路线的长为匕.
1•圆的综合题;
2•单动点问题;
3•垂线段最短的性质;
4•直角三角形斜边上的中线的性质;
5•矩形的判定和性质;
6•圆周角定理;
7•切线的性质;
8•相似三角形的判定和性质;
9•分类思想的应用.
14.如图,已知h丄匕OO与I】,♦都相切,OO的半径为2cm.矩形ABCD的边
AD,AB分别与0重合,AB=4j5cm,AD=4cm.若G)O与矩形ABCD沿I】
同时向右移动,OO的移动速度为3cm/s,矩形ABCD的移动速度为4cm/s,设移动
••时间为t(s).
(1)如图①,连接OA,AC,则ZOA
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