湖南师大附中高三数学入学摸底考试试题理.docx
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湖南师大附中高三数学入学摸底考试试题理
湖南师大附中2017届高三摸底考试
数 学(理科)
时量:
120分钟 满分:
150分
得分:
______________
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设i为虚数单位,则复数的虚部是
A.3iB.-3iC.3D.-3
2.记集合A=,B=,若0∈A∩B,则a的取值范围是
A.(-∞,0)B.(-∞,0]C.[0,+∞)D.(0,+∞)
3.某空间几何体的三视图中,有一个是正方形,则该空间几何体不可能是
A.圆柱B.圆锥C.棱锥D.棱柱
4.二项式(x-2)5展开式中x的系数为
A.5B.16C.80D.-80
5.在数列中,a1=2,an+1=an+ln,则an=
A.2+lnnB.2+lnn
C.2+nlnnD.1+n+lnn
6.考生甲填报某高校专业意向,打算从5个专业中挑选3个,分别作为第一、第二、第三志愿,则不同的填法有
A.10种B.60种C.125种D.243种
7.某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响.部分统计数据如下表:
使用智能手机
不使用智能手机
合计
学习成绩优秀
4
8
12
学习成绩不优秀
16
2
18
合计
20
10
30
附表:
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
经计算K2=10,则下列选项正确的是
A.有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响
B.有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响
C.有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响
D.有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响
8.函数y=sin,x∈的单调递增区间是
A.B.
C.D.和
9.非负实数x、y满足ln(x+y-1)≤0,则关于x-y的最大值和最小值分别为
A.2和1B.2和-1
C.1和-1D.2和-2
10.如果执行如图所示的程序框图,则输出的数S不可能是
A.0.7
B.0.75
C.0.8
D.0.9
11.已知函数f(x)=ex,g(x)=x+1.则下列命题中的假命题是
A.x∈R,f(x)>g(x)
B.x1,x2∈R,f(x1) C.x0∈R,f(x0)=g(x0) D.x0∈R,使得x∈R,f(x0)-g(x0)≤f(x)-g(x) 12.将函数y=ln(x+1)(x≥0)的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角θ(θ∈(0,α]),得到曲线C,若对于每一个旋转角θ,曲线C都仍然是一个函数的图象,则α的最大值为 A.πB.C.D. 二、填空题: 本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 13.exdx=________. 14.已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10=________. 15.M、N分别为双曲线-=1左、右支上的点,设v是平行于x轴的单位向量,则的最小值为________. 16.已知f(x)是定义在R上的偶函数,令F(x)=(x-b)f(x-b)+2016,若b是a、c的等差中项,则F(a)+F(c)=________. 三、解答题: 本大题共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分) 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知=. (1)求的值; (2)若cosB=,b=2,求△ABC的面积S. 18.(本小题满分12分) 空气质量指数(AirQualityIndex,简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数,空气质量按照AQI大小分为六级: 0~50为优;51~100为良;101~150为轻度污染;151~200为中度污染;201~300为重度污染;>300为严重污染. 一环保人士记录去年某地某月10天的AQI的茎叶图如下. (1)利用该样本估计该地本月空气质量优良(AQI≤100)的天数;(按这个月总共30天计算) (2)将频率视为概率,从本月中随机抽取3天,记空气质量优良的天数为ξ,求ξ的概率分布列和数学期望. 19.(本小题满分12分) 如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1,M是线段EF的中点. (1)求证: AM∥平面BDE; (2)求二面角A-DF-B的大小; (3)试在线段AC上确定一点P,使得PF与BC所成的角是60°. 20.(本小题满分12分) 已知椭圆C1: +=1(a>b>0)的离心率为,P(-2,1)是C1上一点. (1)求椭圆C1的方程; (2)设A、B、Q是点P分别关于x轴、y轴及坐标原点的对称点,平行于AB的直线l与C1相交于不同于P、Q的两点C、D.点C关于原点的对称点为E.证明: 直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形. 21.(本小题满分12分) 已知函数f(x)=alnx+x2-ax(a为常数)有两个极值点. (1)求实数a的取值范围; (2)设f(x)的两个极值点分别为x1,x2.若不等式f(x1)+f(x2)<λ(x1+x2)恒成立,求λ的最小值. 选做题: 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分10分)选修4-1: 几何证明选讲 如图,C、D是以AB为直径的半圆上两点,且=. (1)若CD∥AB.证明: 直线AC平分∠DAB; (2)作DE⊥AB交AC于E.证明: CD2=AE·AC. 23.(本小题满分10分)选修4-4: 坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρ2-4ρcosθ+3=0,θ∈. (1)求C1的直角坐标方程; (2)曲线C2的参数方程为(t为参数).求C1与C2的公共点的极坐标. 24.(本小题满分10分)选修4-5: 不等式选讲 设α,β,γ均为实数. (1)证明: ≤+; ≤+. (2)若α+β+γ=0.证明++≥1. 湖南师大附中2017届高三摸底考试理科数学参考答案 一、选择题 1.D 【解析】==2-3i,故的虚部是-3.选D. 2.A 【解析】A=(a,+∞),B=[-1,1],由0∈A∩B知a<0,故a的取值范围是(-∞,0).选A. 3.B 【解析】易知仅圆锥的三视图中一定不会出现正方形.选B. 4.C 【解析】由二项式定理知,其展开式中含x的项为Cx(-2)4,故其系数为C(-2)4=80.选C. 5.A 【解析】由已知得an+1-an=ln=ln(n+1)-lnn,所以an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=2+(ln2-ln1)+(ln3-ln2)+…+(lnn-ln(n-1))=2+lnn,故选A. 6.B 【解析】易知不同的填法种数为A=60.选B. 7.A 【解析】因为7.879 8.D 【解析】令z=-x,函数y=sinz的单调递减区间为, 由2kπ+≤-x≤2kπ+得4kπ-≤x≤4kπ-, 而z=-x在R上单调递减, 于是y=sin的单调递增区间为, 而x∈[-2π,2π],故其单调递增区间是和. 故选D. 9.D 【解析】依题意有,作出可行域,易求得x-y的最大值和最小值分别为2和-2,选D. 10.A 【解析】此程序框图执行的是输入一个正整数n, 求++…+的值S,并输出S. S=++…+ =1-+-+…+- =. 令S等于0.7,解得n=不是正整数,而n分别输入3,4,9时,可分别输出0.75,0.8,0.9.故选A. 11.A 【解析】设F(x)=f(x)-g(x),则F′(x)=ex-1,于是当x<0时F′(x)<0,F(x)单调递减;x>0时F′(x)>0,F(x)单调递增.从而F(x)有最小值F(0)=0,于是可以判断A为假,其余为真.故选A. 12.D 【解析】因为x≥0时,y′=是x的减函数且0 二、填空题 13.e-1 【解析】exdx=ex|=e-1. 14.-7 【解析】因为a4a7=a5a6=-8,又a4+a7=2,由此解得,或,所以或, 从而a1+a10=a1(1+q9)=-7. 15.4 【解析】由向量数量积的定义,·v即向量在向量v上的投影与v模长的乘积,故求的最小值,即求在x轴上的投影的绝对值的最小值,由双曲线的图像可知的最小值为4. 16.4032 【解析】因为b是a、c的等差中项,故(c-b)=-(a-b), 又f(x)是定义在R上的偶函数,所以 f(c-b)=f(-(a-b))=f(a-b),于是 F(a)+F(c)=(a-b)f(a-b)+2016+(c-b)f(c-b)+2016 =(a-b)f(a-b)-(a-b)f(a-b)+4032 =4032. 三、解答题 17.【解析】 (1)由正弦定理,得=, 所以=. 即(cosA-2cosC)sinB=(2sinC-sinA)cosB, 化简可得sin(A+B)=2sin(B+C).又A+B+C=π, 所以sinC=2sinA, 因此=2. (2)由=2得c=2a. 由余弦定理b2=a2+c2-2accosB及cosB=,b=2, 得4=a2+4a2-4a2×.解得a=1,从而c=2. 又因为cosB=,且0 因此S=acsinB=×1×2×=. 18.【解析】 (1)从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为2,空气质量良的天数为4,故该样本中空气质量优良的频率为=,估计该月空气质量优良的频率为,从而估计该月空气质量优良的天数为30×=18. (2)由 (1)估计某天空气质量优良的概率为, ξ的所有可能取值为0,1,2,3. P(ξ=0)==,P(ξ=1)=C=, P(ξ=2)=C=, P(ξ=3)==, 故ξ的分布列为: ξ 0 1 2 3 P 显然ξ~B,Eξ=3×=1.8. 19.【解析】 (1)设AC∩BD=N,连接NE, ∵M、N分别是EF、AC的中点,ACEF是矩形, ∴四边形ANEM是平行四边形, ∴AM∥NE. ∵NE平面BDE,AM平面BDE, ∴AM∥平面BDE. (2)由题设,平面ABCD⊥平面ACEF, 平面ABCD∩平面ACEF=AC, CE平面ACEF,CE⊥AC, 所以CE⊥平面ABCD,又CB⊥CD,故可以CD、CB、CE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图, 则相关各点的坐标为A(,,0),B(0,,0),D(,0,0) F(,,1),从而=(0,,1),=(,-,0), =(-,0,0). 注意到AF⊥AB,AB⊥AD,AF∩AD=A,∴AB⊥平面ADF. 所以=(-,0,0)为平面ADF的一个法
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