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图27
因此,共有3×
2×
1=6种方法。
随堂练习
将a,b,c,d排成一列有多少种方法?
并将所有方法写出来。
同理,将n个不同物品排成一列有
n×
(n-1)×
(n-2)×
…×
1
种方法。
规定符号n!
=n×
1,读作“n阶乘”。
例如4!
=4×
3×
1=24。
因此有
※n个不同物品的排列
将n个不同物品排成一列有
n!
此外,我们也规定0!
=1。
要注意到以下的说法是一样的:
“将a,b,c,d排成一列”,“将a,b,c,d放到四个不同的位置上”,
“将四个不同的东西按顺序挑出来”,都是4!
=24种。
例题1
盈盈的手机开机画面由九个点组成,如图28所示。
手机要解锁的话,必须连按九次荧幕,将每一个点都按过一次。
试问:
(1)有多少种按的顺序?
(2)如果位于正中间的点必须在第五次按到,那这样有多少种按的顺序?
图28
解
(1)“左上,上,右上,左,中,右,左下,下,右下”这九个位置的
任何一种排列就是一种按的顺序。
因此有9!
=362880种按的顺序。
(2)现在“中”必须在第五个位置出现,即
□□□□中□□□□,
剩下八个位置任意排,就是一种按的顺序。
因此有8!
=40320种按的顺序。
□
(1)例题1中,如果左上必须第一次按,有多少种按的顺序?
(2)例题1中,如果“左上”必须第一次按,且“中”必须最后一次按,有多少种按的顺序?
现在我们考虑只选一些物品来排列的方法数,以下思考都是使用乘法原理:
想知道自7个不同物品中选出4个来排成一列的方法数。
如图29,第一个位置有7种选择。
选定了之后,第二个位置剩下6种选择。
以此类推,则第三个位置剩下5种选择,第四个位置剩下4种选择。
图29
因此,共有7×
6×
5×
4=840种方法,亦可写成
7×
4
=
=840。
在a,b,c,d,e中选出3个来排成一列的方法数有多少种?
为了方便,令
表示从n个不同物品中选出k个(0≤k≤n)来排成一列的方法数,则同理可得
。
※n个不同物品选出k个排列
令
表示从n个不同物品中选出k个(0≤k≤n)排成一列的方法数,则
(n-k+1)=
若n个物品全选,就是原来n个不同物品的排列,即
=n!
,这就是为什么要规定0!
=1的原因了。
试求下列的排列数:
(1)
(2)
(3)
例题2
从a,b,c,d,e,f之中任取4个不同的字母排成一列,试求有多少种排法?
解 从6个字母中,任取4个不同的字母排成一列,共有
=6×
4×
3=360种排法。
小芬到台南观光,书上推荐了7个景点。
她想在早上、中午、下午等3个时段各前往1个景点参观,景点选取不重复,请问有多少种可能的方法?
例题3
从1,2,3,4,5,6等数字中,任取四个不同的数字排成一个四位数。
(1)试问可排出多少种不同的四位数?
(2)其中有多少个是4的倍数?
解
(1)任取四个数字排成一列即成一个四位数,故有
=360种。
(2)一自然数是4的倍数的条件是末两位是4的倍数。
所以把所有末两位为4的倍数的可能情形一一列出,有
□□12
□□16
□□24
□□32
□□36
□□52
□□56
□□64
这八类。
现在一类一类来算。
例如□□12这一类,还要再从剩下的四个数字中选出两个排在空位中,故有
3=12种方法。
同理,可得出其他各类也分别都有12种方法。
因此,共有
12+12+12+12+12+12+12+12=96个。
(注意到本题解题中用到的,就是加法原理的分类)□
从5,6,7,8,9等数字中,任取三个不同的数字排成一个三位数。
其中有多少个是偶数?
例题4
三男两女共五人排成一列拍团体照。
试问下列的条件之下,各有多少种排列的方法?
(1)甲、乙两人感情太好,一定要站在相邻的位置。
(2)丙、丁两人有深仇大恨,一定不要站在相邻的位置。
(3)男女相间排列。
解
(1)先将甲、乙视为一个整体,如下所示。
甲乙丙丁戊
则有4!
种排法。
排定好之后,甲乙之中,甲、乙两人要排列,有2!
种方法。
因此,由乘法原理,这五人排成一列共有
4!
×
2!
=48种方法。
(2)先将甲、乙、戊三人排好,共有3!
排定好之后,将丙、丁两人分别插在不同的空隙之中,两端的空间也
可以。
如下所示。
↓甲↓乙↓戊↓
总共有4个空隙,故有
所以共有
3!
=72种方法。
(3)先将男生排在第1,3,5个位置中并排列,有3!
再将女生排在第2,4个位置中并排列,有2!
=12种方法。
四对夫妇排成一列共同照相。
夫妇必须相邻站在一起,试问有多少种方式?
例题5
甲、乙、丙、丁、戊五人排成一行进入游乐场的鬼屋,试问:
(1)戊不走最前面的排法有多少种?
(2)戊不走最前面,且丙不走最后面的排法有多少种?
图30
解
(1)戊不走最前面的排法,即为(全部排法)-(戊走最前面)。
全部排法有5!
种,
戊走最前面有4!
种(因为此时为“戊□□□□”),
所以戊不走最后面的排法有5!
-4!
=96种
(2)由取舍原理﹐所求为(全部排法)-(戊走最前面)-(丙走最后面)
+(戊走最前面且丙走最后面)。
种﹐
种(因为此时为“戊□□□□”)﹐
丙走最后面有4!
种(因为此时为“□□□□丙”)﹐
戊走最前面且丙走最后面有3!
种(因为此时为“戊□□□丙”)﹐
因此,共有5!
+3!
=120-24-24+6=78种排法。
小如有一个很久没有使用的号码锁,她只记得打开锁的四位数密码由2,5,7,9等四个数字所组成,且2不是第一位数、9不是最末位数。
试问小如最多要试多少次,才能成功打开这个锁?
含有相同物品的排列
现在我们来考虑含有相同物品的排列。
将a,b,b,b排成一列显然有四种方法:
abbb,babb,bbab,bbba。
可以这样思考:
先把三个b视为不同,故a,b,b,b排成一列有4!
=24种方法:
abbb babb bbab bbba
但是实际上三个b是一样的。
因此,上表中同一直行的3!
=6种(三个b可乱换)其实是同一种,因此一共有
=4种。
将a,a,b排成一列有多少种方法?
类似地,将aaabb排成一列,有多少种方法呢?
我们可以先将每个字母都视为不同,有5!
种方法;
接着因为三个a相同所以除以3!
,再因两个b相同所以除以2!
,故实际上共有
=10种方法。
写出aaabb排成一列的10种方法。
一般而言,同理可得到以下的结论。
※含有相同物品的排列
设n个物品分成k类,每类各有m1,m2,…,mk个
(每类中的物品相同且m1+m2+…+mk=n)。
则这n个物品排成一列有
例题6
小璇连续掷一颗骰子七次,已知出现两次2,四次4,一次6。
试问这些数字出现的顺序共有多少种?
解 题意即问2,2,4,4,4,4,6的排列有多少种。
故所求为
=105种。
小芬连续掷一枚硬币五次,其中出现三次正面。
试问硬币正、反面出现的顺序共有多少种?
例题7
如图31的棋盘街道,试求:
(1)从A点走到B点的最短路径有多少条?
(2)从A点走到B点且一定要经过C点的最短路径有多少条?
图31
解 若是最短路径﹐则每一步必定是“向上”或“向右”。
(1)先画几条路线来观察,
第一个图的路线可用“上上右右右上右右”来表示,如图32。
第二个图的路线可用“右右上右上右上右”来表示,如图33。
图32 图33
因此,可看出“右右右右右上上上”
的任何一种排列都相当于一条路线。
因此共有
=56条。
(2)一定要经过C点﹐则必须由A走到C﹐再由C走到B。
由A走到C必须要2个右2个上﹐有
种,
由C走到B必须要3个右1个上﹐有
种。
因此﹐利用乘法原理共有
=24条不同的路线。
如图34,由A点走最短路径到达B点,且不经过C点,试问共有多少条不同的路线?
图34
2 重复排列
现在我们考虑重复排列,亦即所排列的物品是可以重复使用的,且重复次数不限。
先以例子说明:
将两个物品排成一列,每个物品可以是a,b,c,d其中之一,但是物品可以重复使用。
有多少方法呢?
一样用乘法原理来思考。
如图35,
图35
第一个位置有4种选择,第二个位置仍然有4种选择(因为物品可以重复使用)。
因此由乘法原理,共有4×
4=16种方法。
可以利用树形图穷举如下。
aa,ab,ac,ad,ba,bb,bc,bd,ca,cb,cc,cd,da,db,dc,dd。
这些称为由四种不同物品(a,b,c,d)中取出两个的重复排列。
同理,从五种不同物品取出三个的重复排列,即如图36。
图36
每一格可以填a,b,c,d,e,共有5×
5=125种方法。
五种不同物品a,b,c,d,e,从中取出两个的重复排列有多少种方法?
并列出其所有方法。
同理,要计算从n种物品中取出k个的重复排列的方法数,可考虑如图37,
图37
k个位置中的每一个位置都可以是1,2,3,…,n其中之一。
n=nk
※重复排列
从n种物品中取出k个(每种物品都至少有k个),物品可以重复出现的排列有nk种方法。
例题8
小璇脚踏车上的密码锁如图38所示,有4个滚轮,每一个滚轮上都有0,1,2,…,9等10个数字可供选择。
试问密码有多少种设定方法?
图38
解 因为有四个位置要设定,每个位置都有10种选择。
10×
10×
10=104种设定方法。
已知目前每组手机号码共有10码,若某家电信业者其手机号码开头的前四码是0910,则以0910作为前四码可以提供多少组手机号码?
例题9
小芬想将图39的各圆着色,一共有红、蓝、黄、白、黑、绿六种颜色可以使用,但是规定有线段相邻的两圆不可以同色,颜色可以重复使用,试问共有多少种方法?
图39
解 一步一步由左往右涂。
第一个圆的颜色有6种选择。
第二个圆必须跟第一个圆不同色,有5种选择。
第三个圆必须跟第二个圆不同色,有5种选择。
第四个圆必须跟第三个圆不同色,有5种选择。
因此,共有6×
5=750种方法。
许多国家的国旗都是由三条直条区域排列而成,如图40所示。
小芬想设计这样的一面旗子当班旗,共有7种不同的颜色可用,颜色可以重复使用,但相邻区域颜色不能相同。
试问有多少种可能的样式?
图40
例题10
有七个人要同时乘小船渡河,共有A,B,C三艘小船可选择。
(1)若每艘小船限乘六人,试问有多少种可行的渡河方法?
(2)若每艘小船限乘五人,试问有多少种可行的渡河方法?
解
(1)“任意坐扣掉超过的”就是可行的坐船方式。
任意坐:
每个人都可以选A,B,C任一艘船,故有37=2187种方法。
超过的:
七个人同时挤在同一艘船上,有3种方法(同挤在A,B或C船)。
因此,有2187-3=2184种可行的渡河方法。
(2)此时超过的有两类情形:
七个人挤在同一船,或是六个人挤在同一船,剩下一人在另一艘船上。
第一类:
七个人挤在同一船,同
(1),有3种方法。
第二类:
六个人挤在同一船,剩下一人在另一艘船上。
一步一步思考:
先选出独自乘坐一船的人(有7种方法)。
此人可能坐在A,B,C中的某一船上(有3种方法),其他人要全部挤在剩下两船的某一艘上(有2种方法)。
故此类有
2=42种方法。
因此,有2187-3-42=2142种可行的渡河方法。
咖啡店提供草莓蛋糕、巧克力蛋糕、苹果派、柠檬派、水果派等五种甜点,盈盈周一到周五下午每天都去买一个来吃。
请问一周之内蛋糕类和派类都吃到的购买方法有多少种?
图41
习题 2-2
一、基本题
1.将一盒12枝不同颜色的彩色笔一枝一枝由左至右放回盒子里,有多少种可能的排法?
2.
(1)将○,○,○,○,○,○,+,+共八个符号排成一列,有多少种排法?
(2)将a,a,b,b,b,c,c,c等八个字母排成一列,有多少种排法?
3.在电子广告牌上有如下的一排方格,
每个方格可以出现红、黄、绿三种颜色之一,则有多少种可能的图案?
4.某金融卡的提款密码规定为四码,每一码可以选用数字或英文字母,但密码不能全部都只有数字或全部都只有英文字母(不区分大小写),试求共有多少组不同的密码可选用?
5.从0,1,2,3,4,5等数字中,任取四个不同的数字排成一个四位数,试问共可排出多少种不同的四位数?
二、进阶题
6.从1,2,3,4,5,6这六个数字中,任取四个不同的数字排成一个四位数,其中比2000大的数有多少个?
7.某记者要为四名志工和两位老夫妇拍照,要求这六个人排成一列。
若两位老夫妇相邻,但不排在两端,试求有多少种可能的排法?
8.甲、乙、丙、丁、戊五人在垦丁同坐一艘五人座香蕉船,但甲不愿意坐最前面,乙坚决不要坐最后面,戊一定要坐最中间。
试问这五人坐船的方法有多少种?
9.一只青蛙站在原点,每一步往左或往右跳一个单位长。
已知青蛙跳了六步之后回到原点。
试问青蛙跳的方法有多少种?
10.由1,2,3,4,5,6,7,8,9各一个所形成的九位数中,
(1)若1要在2的左边,有多少个这样的九位数?
(2)若1要在2的左边,且3要在4的左边,有多少个这样的九位数?
三、挑战题
11.将1,2,3,4,5的每个排列视为五位数,并将这些五位数由小到大排成一列,如
12345,12354,12435,…,54321。
(1)试问35421的下一个数是多少?
(2)试问由小到大数的第56个数是多少?
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