《高中物理思维方法集解》随笔系列高中物理习题解决的数列法.docx
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《高中物理思维方法集解》随笔系列高中物理习题解决的数列法
《高中物理思维方法集解》随笔系列
高中物理习题解决的“数列法”
山东平原一中魏德田
我们知道,按一定顺序排列的一列数,叫做数列;数列中的某个数,叫做数列的一项。
无论哪一种数列,都应具有一些自身的特点和变化的规律。
在高中物理解题时,我们也常会用到等差数列、等比数列的知识。
由此,我们把应用数列知识解决物理问题的思维方法,称为数列法。
高中物理解题中,数列知识的应用分为:
1.判断物理过程的特征;2.用通项公式求未知量;3.用求和公式求未知量等三个方面的问题。
一般地,按一定规律变化的多个子过程问题,大都具有类似性、反复性的特点。
随着子过程过程的反复进行,某个物理变量即可逐步生成几个形式类似、而内涵(如大小、正负、幂次等)却不同的表达式,由此得某种数列的前几项,应用归纳法(或递推原理),把这几项“融合”在一起,从而求出数列的通项公式,以描述对应物理量的变化规律(这是解题的关键)。
因此,我们即可用数列的通项公式求出某一项。
若欲求数列前项之和,则常用对应的求和公式来解决。
解答此类问题的基本思路:
⑴先逐个分析多过程初期的几个子过程,分别找出数列的前几项;
⑵再利用归纳法找出数列的通项公式;
⑶最后整体分析物理过程,应用数列的通项公式或求和公式解决问题。
无穷数列的求和,一般是无穷递减数列,有相应的公式可用。
等差数列前n项之和,d为公差。
等比数列前n项之和:
,q为公比。
下面,主要针对上述2、3两方面的问题,分别讨论数列知识在高考物理解题中的应用。
【例题解析】
数列法是解决物体与物体发生多次作用后的情况。
即当问题中涉及相互联系的物体较多并且有规律时,应根据题目特点应用数学思想将所研究的问题归类,然后求出通项表达式。
具体方法是先分析某一次作用的情况,得出结论。
再根据多次作用的重复性和它们的共同点,把结论推广,然后结合数列知识求解。
用数列法解题的关键是导出联系相邻两次作用的递推式。
一.用通项表达式求未知量
某些物理状态或过程必须借助于数列知识,才能全面的描述其状态及其变化特征。
此类问题,要求我们能够根据初始条件,以数学归纳法来(递推规律),求出某个物理量的通项表达式。
【例题1】质点以加速度a从静止出发做直线运动,在某时刻t,加速度变为2a;在时刻2t,加速度变为3a;…;在nt时刻,加速度变为(n+1)a,求:
(1)nt时刻质点的速度;
(2)nt时间内通过的总路程。
【解析】根据数列法的思想,从特殊到一般找到规律,然后求解。
(1)物质在某时刻t末的速度为vt=at
2t末的速度为v2t=vt+2at即v2t=at+2at
3t末的速度为v3t=v2t+3at=at+2at+3at
……
由此可得,通项表达式则nt末的速度为
vnt=v(n-)t+nat=at+2at+3at+…+nat
=at(1+2+3+…+n)
=at(n+1)n
=n(n+1)at
(2)同理:
可推得nt内通过的总路程s=n(n+1)(2n+1)at2
【点拨】显然,此例先“从特殊到一般找到规律”,由速度公式布列各式,比较、归纳出通项表达式,再用等差数列求和知识解决。
【例题2】线段AB长S,均分为n等分,一质点由A出发,以加速度a向B作匀加速运动,当质点到达每一等分的末端时,它的加速度增加了a/n,试证质点到B点时的速度是。
【解析】这是一道数学上有规律而物理上几乎无法完全归纳的问题,可只要发现了数学上的规律,而在物理上对其过程并不没有必要作很深的探讨。
应用匀变速运动的速度-位移的关系式,分别对每段等分位移列出下面的表达式。
再把以上各式左右相加,可得
显然,。
代入上式可得相同的结果
【点拨】此例用位移-速度的关系式,分别列出每一等份位移的方程,然后相加,即获得一等比数列,再用等比数列求和公式解决。
由此可知,解决数列问题,并不是每题非得求出通项式表达式不可。
【例题3】(10北京)雨滴在穿过云层的过程中,不断与漂浮在云层中的小水珠相遇并结合为一体,其质量逐渐增大。
现将上述过程简化为沿竖直方向的一系列碰撞。
已知雨滴的;初始质量为,初速度为,下降距离后于静止的小水珠碰撞且合并,质量变为。
此后每经过同样的距离后,雨滴均与静止的小水珠碰撞且合并,质量依次为、............(设各质量为已知量)。
不计空气阻力。
若考虑重力的影响,
求
(1)第1次碰撞前、后雨滴的速度和;
(2)求第n次碰撞后雨滴的动能。
【解析】
(1)若考虑重力的影响,雨滴下降过程中做加速度为g的匀加速运动,碰撞瞬间动量守恒
第1次碰撞前
,
第1次碰撞后
,
①
(2)第2次碰撞
利用①式化简得
②
第2次碰撞后,利用②式得
同理,第3次碰撞后
,
…………
第n次碰撞后速度为
故第n次碰撞后雨滴的动能为
【点拨】应注意到,第n次碰撞后的速度平方式也是某一数列的 通项表达式。
【例题4】如图7—4—2所示,在x轴上方有垂直于xy平面向里的匀强磁场,磁感应强度为B,在x轴下方有沿y轴负方向的匀强电场,场强为E。
一质量为m,电量为-q的粒子从坐标原点O沿着y轴方向射出。
射出之后,第三次到达x轴时,它与O点的距离为L。
求此粒子射出时的速度v和每次到达x轴时运动的总路程s。
(重力不计)
【解析】粒子进入磁场后做匀速圆周运动,经半周后通过x轴进入电场后做匀减速直线运动,速度减为零后,又反向匀加速通过x轴进入磁场后又做匀速圆周运动,所以运动有周期性。
它第3次到达x轴时距O点的距离L等于圆半径的4倍(如图7—4—3甲所示)
粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为:
所以粒子射出时的速度:
粒子做圆周运动的半周长为:
粒子以速度v进入电场后做匀减速直线运动,能深入的最大距离为y,因为
所以粒子在电场中进入一次通过的路程为:
粒子第1次到达x轴时通过的路程为:
粒子第2次到达x轴时,已通过的路程为:
粒子第3次到达x轴时,已通过的路程为:
粒子第4次到达x轴时,已通过的路程为:
由此可得,通项表达式粒子第(2n-1)次到达x轴时,已通过的路程为:
粒子第2n次到达x轴时,已通过的路程为:
应该补充说明,上面两式中的n=(1,2,3,……),亦即都取正整数。
【点拨】事实上这两个结果,明眼人一看便知:
分别表示为第(奇数、偶数)次到达x轴所过的路程的通项表达式,由此也可得到某种对应的级数或数列,这里不再讨论。
【例题5】(07浙江)如图7—4—4所示,质量为m的由绝缘材料制成的球与质量为M=19m的金属球并排悬挂。
现将绝缘球拉至与竖直方向成θ=60°的位置自由释放,下摆后在最低点处与金属球发生弹性碰撞。
在平衡位置附近存在垂直于纸面的磁场。
已知由于磁场的阻尼作用,金属球将于再次碰撞前停在最低点处。
求经过几次碰撞后绝缘球偏离竖直方向的最大角度将小于45°。
【解析】设在第n次碰撞前绝缘球的速度为vn-1(初速度),碰撞后绝缘球、金属球的速度分别为vn、Vn。
由于碰撞过程中动量守恒、碰撞前后动能相等,设速度向左,则
由此解得
第n次碰撞后绝缘球的动能为:
E0为第1次碰撞前的动能,即初始能量。
绝缘球在θ=θ0=60°与θ=45°处的势能之比为
经n次碰撞后有:
易算出
(0.81)2=0656,(0.81)3=0.531,
因此,经过3次碰撞后θ小于45°。
【点拨】此例属于碰撞中的动量与能量守恒问题,试题没有说明磁场的阻尼作用如何产生,但给出了磁场,容易让我们产生运用磁场的知识解决问题的错觉。
对两个金属球的运动过程,题中的描述并非一目了然。
特别是在多次碰撞的每次碰撞过程中,绝缘球的动能损失并不是常量,因此给问题解决带来不少困难。
而这个“绝缘小球的动能损失”,可用数学归纳法来找出,其遵循的规律即通项表达式。
【例题6】一列进站后的重载列车,车头与各节车厢的质量相等,均为m,若一次直接起动,车头的牵引力能带动30节车厢,那么,利用倒退起动,该车头能起动多少节同样质量的车厢?
【解析】若一次直接起动,车头的牵引力需克服摩擦力做功,使各节车厢动能都增加,若利用倒退起动,则车头的牵引力需克服摩擦力做的总功不变,但各节车厢起动的动能则不同。
首先,原来挂钩之间是张紧的,倒退后挂钩间存在Δs的宽松距离,设火车的牵引力为F,则当车头起动时,有:
然后,拉第一节车厢时,设列车的速度为:
故有:
接下来,拉第二节车厢时设列车的速度为:
故同样可得:
…………………
依次类推,拉第n节车厢时列车的速度,可得:
由的条件,可得:
另由题意,已知
代入上式,可解得:
n<46。
因此该车头倒退起动时,能起动45节相同质量的车厢。
【点拨】这里就是车头拉上若干车厢后,“瞬时速度的平方”的某种通项表达式。
【例题7】(10北京)如图7—4—5所示,在固定光滑水平轨道上,质量分别为、、......、......的若干个球沿直线静止相间排列,给第1个球初能,从而引起各球的依次碰撞。
定义其中第个球经过依次碰撞后获得的动能与之比为第1个球对第个球的动能传递系数。
求:
(a)
(b)若、、为确定的已知量。
求为何值时,值最大
【解析】(a)由上问中④式,考虑到和得
根据动能传递系数的定义,对于1、2两球
同理可得,球和球碰撞后,动能传递系数k13应为
依次类推,动能传递系数k1n应为
解得
(b).将、代入⑥式可得
为使k13最大,只需使
由
可知
【例题8】在玻尔的氢原子模型中,电子第一条轨道半径为,则由此向外的第十条可能轨道半径是多大?
电子在第十条可能轨道上运动时的动能有多大?
已知元电荷为,静电力恒量为。
【解析】对玻尔氢原子而言,由于原子半径和能级均为量子化的,原子的可能半径和对应的能级可分别组成数列,其通项表达式为
再将n=10代入上述公式,可得
由库仑定律可得
。
二.用数列求和公式求未知量
有不少复杂、困难的问题,往往需要先根据题设初始条件,借助于递推关系,找出某个量的通项表达式,再依该式写出相应的数列,应用公式解决有关物理量“求和”的问题。
【例9】用20块质量均匀分布的相同光滑积木块,在光滑水平面上一块叠一块地搭成单孔桥,已知每一积木块长度为L,横截面是边长为h(h=)的正方形,要求此桥具有最大的跨度(即桥孔底宽),计算跨度与桥孔高度的比值。
【解析】为了使搭成的单孔桥平衡,桥孔两侧应有相同的积木块,从上往下计算,使积木块均能保证平衡,要满足合力矩为零,平衡时,每块积木块都有最大伸出量,则单孔桥就有最大跨度,又由于每块积木块都有厚度,所以最大跨度与桥孔高度存在一比值。
将从上到下的积木块依次计为1、2、…、n,显然第1块相对第2块的最大伸出量为:
Δx1=
第2块相对第3块的最大伸出量为Δx2(如图7—4—6所示),则:
GΔx2=(-Δx2)G
得:
Δx2==
同理可得第3块的最大伸出量:
Δx3=
……
最后归纳得出:
Δxn=
所以总跨度:
k=2=11.32h
跨度与桥孔高的比值为:
==1.258
【例10】锤子打击木桩,如果锤每次以相同的动能打击木桩,而且每次均有80
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