考点三 导数的简单应用教案 高中数学复习专题 Word版 含答案.docx
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考点三导数的简单应用教案高中数学复习专题Word版含答案
考点三导数的简单应用
1.闭区间上连续的函数一定有最值,开区间内的函数不一定有最值,若有唯一的极值,则此极值一定是函数的最值.
2.若f(x)=ax3+bx2+cx+d有两个极值点,且x1 当a>0时,f(x)的图象如图,x1为极大值点,x2为极小值点, 当a<0时,f(x)图象如图,x1为极小值点,x2为极大值点. 3.若函数y=f(x)为偶函数,则f′(x)为奇函数; 若函数y=f(x)为奇函数,则f′(x)为偶函数. 4.y=ex在(0,1)处的切线方程为y=x+1; y=lnx在(1,0)处的切线方程为y=x-1. 类型一导数的几何意义 [典例1] (1)(2016·高考全国卷Ⅲ)已知f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是________. 解析: 令x>0,则-x<0,f(-x)=lnx-3x, 又f(-x)=f(x),∴f(x)=lnx-3x(x>0), 则f′(x)=-3(x>0),∴f′ (1)=-2, ∴y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程为y+3=-2(x-1),即y=-2x-1. 答案: y=-2x-1 (2)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=() A.0B.1 C.2D.3 解析: y′=a-,当x=0时,y′=a-1=2,∴a=3,故选D. 答案: D (3)已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=________. 解析: 通解: 令f(x)=x+lnx,求导得f′(x)=1+,f′ (1)=2,又f (1)=1,所以曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.设直线y=2x-1与曲线y=ax2+(a+2)x+1的切点为P(x0,y0),则y′|x=x0=2ax0+a+2=2,得a(2x0+1)=0,∴a=0或x0=-,又ax+(a+2)x0+1=2x0-1,即ax+ax0+2=0,当a=0时,显然不满足此方程,∴x0=-,此时a=8. 优解: 求出y=x+lnx在(1,1)处的切线为y=2x-1 由得ax2+ax+2=0,∴Δ=a2-8a=0, ∴a=8或a=0(显然不成立). 答案: 8 [母题变式] 将本例(3)改为: 已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f (1))处的切线过点(2,7),则a=________. 解析: 通解: 由题意可得f′(x)=3ax2+1,∴f′ (1)=3a+1,又f (1)=a+2, ∴f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f (1))处的切线方程为y-(a+2)=(3a+1)(x-1),又此切线过点(2,7),∴7-(a+2)=(3a+1)(2-1),解得a=1. 优解: ∵f (1)=2+a,由(1,f (1))和(2,7)连线斜率k==5-a, f′(x)=3ax2+1,∴5-a=3a+1,∴a=1. 答案: 1 1.求曲线y=f(x)的切线方程的三种类型及方法 (1)已知切点P(x0,y0),求y=f(x)过点P的切线方程: 可先求出切线的斜率f′(x0),由点斜式写出方程. (2)已知切线的斜率k,求y=f(x)的切线方程: 设切点P(x0,y0),通过方程k=f′(x0)解得x0,再由点斜式写出方程. (3)已知切线上一点(非切点),求y=f(x)的切线方程: 设切点P(x0,y0),利用导数求得切线斜率f′(x0),然后由斜率公式求得切线斜率,列方程(组)解得x0,再由点斜式或两点式写出方程. 2.利用切线(或方程)与其他曲线的关系求参数 已知过某点的切线方程(斜率)或其与某线平行、垂直,利用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关系构建方程(组)或函数求解. [自我挑战] 1.设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=(x>0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为________. 解析: ∵函数y=ex的导函数为y′=ex, ∴曲线y=ex在点(0,1)处的切线的斜率k1=e0=1. 设P(x0,y0)(x0>0), ∵函数y=的导函数为y′=-, ∴曲线y=(x>0)在点P处的切线的斜率k2=-, 由题意知k1k2=-1,即1·=-1, 解得x=1,又x0>0,∴x0=1. 又∵点P在曲线y=(x>0)上, ∴y0=1,故点P的坐标为(1,1). 答案: (1,1) 2.(2017·高考天津卷)已知a∈R,设函数f(x)=ax-lnx的图象在点(1,f (1))处的切线为l,则l在y轴上的截距为________. 解析: ∵f′(x)=a-,∴f′ (1)=a-1. 又∵f (1)=a,∴切线l的斜率为a-1,且过点(1,a), ∴切线l的方程为y-a=(a-1)(x-1). 令x=0,得y=1,故l在y轴上的截距为1. 答案: 1 类型二利用导数研究函数的单调性 [典例2] (1)定义在R上的函数f(x)满足f (1)=1,且对任意x∈R都有f′(x)<,则不等式f(x2)>的解集为() A.(1,2)B.(0,1) C.(-1,1)D.(1,+∞) 解析: 令g(x)=f(x)-(x+1),∴g′(x)=f′(x)-<0,故g(x)在(-∞,+∞)上单调递减且g (1)=0.令g(x)>0,则x<1,f(x2)>⇔f(x2)->0⇔g(x2)>0⇔x2<1⇔-1<x<1.故选C. 答案: C (2)若函数f(x)=x2+ax+在是增函数,则a的取值范围是() A.[-1,0]B.[-1,+∞) C.[0,3]D.[3,+∞) 解析: 通解: 由题意知f′(x)≥0对任意的x∈恒成立,又f′(x)=2x+a-,所以2x+a-≥0对任意的x∈恒成立,分离参数得a≥-2x,若满足题意,需a≥max.令h(x)=-2x,x∈.因为h′(x)=--2,所以当x∈时,h′(x)<0,即h(x)在上单调递减,所以h(x)<h=3,故a≥3. 优解: 当a=0时,检验f(x)是否为增函数, 当a=0时,f(x)=x2+,f=+2=,f (1)=1+1=2, f>f (1)与函数是增函数矛盾.排除A、B、C.故选D. 答案: D 1.若求单调区间(或证明单调性),只需在函数f(x)的定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0即可. 2.若已知f(x)的单调性,则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题求解. [自我挑战] 已知函数f(x)=x2+3x-2lnx,则函数f(x)的单调递减区间为________. 解析: 函数f(x)=x2+3x-2lnx的定义域为(0,+∞). f′(x)=2x+3-,令2x+3-<0,即2x2+3x-2<0,解得x∈.又x∈(0,+∞),所以x∈.所以函数f(x)的单调递减区间为. 答案: 类型三含参数的函数的单调性 [典例3](2016·高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围. 解: (1)f′(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).1分 (ⅰ)设a≥0,则当x∈(-∞,1)时,f′(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,所以f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.2分 (ⅱ)设a<0,由f′(x)=0得x=1或x=ln(-2a).3分 ①若a=-,则f′(x)=(x-1)(ex-e)>0, 所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.4分 ②若a>-,则ln(-2a)<1,故当x∈(-∞,ln(-2a))∪(1,+∞)时,f′(x)>0;当x∈(ln(-2a),1)时,f′(x)<0,所以f(x)在(-∞,ln(-2a)),(1,+∞)上单调递增,在(ln(-2a),1)上单调递减.5分 ③若a<-,则ln(-2a)>1,故当x∈(-∞,1)∪(ln(-2a),+∞)时,f′(x)>0;当x∈(1,ln(-2a))时,f′(x)<0,所以f(x)在(-∞,1),(ln(-2a),+∞)上单调递增,在(1,ln(-2a))上单调递减.6分 (2)(ⅰ)设a>0,则由 (1)知,f(x)在(-∞,1)上单调递减, 在(1,+∞)上单调递增.又f (1)=-e,f (2)=a, 取b满足b<0且b<ln,则f(b)>(b-2)+a(b-1)2=a>0, 所以f(x)有两个零点.8分 (ⅱ)设a=0,则f(x)=(x-2)ex,所以f(x)只有一个零点.9分 (ⅲ)设a<0,若a≥-,则由 (1)知,f(x)在(1,+∞)上单调递增,又当x≤1时,f(x)<0,故f(x)不存在两个零点;若a<-,则由 (1)知,f(x)在(1,ln(-2a))上单调递减,在(ln(-2a),+∞)上单调递增,又当x≤1时,f(x)<0,故f(x)不存在两个零点.11分 综上,a的取值范围为(0,+∞).12分 评分细则及说明: ①正确求导,得1分. ②~⑥讨论了四种情况,每种情况有且正确得1分,缺少则扣1分. ⑦~⑨讨论了三种情况,正确者得该步分,缺少或者错误者扣该分. ⑩是结论;缺少者扣1分. 1.求函数的单调区间的“三个”方法 方法一第1步: 确定函数y=f(x)的定义域; 第2步: 求导函数y′=f′(x); 第3步: 解不等式f′(x)>0或f′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调区间. 方法二第1步: 确定函数y=f(x)的定义域: 第2步: 求导函数y′=f′(x),令f′(x)=0,解此方程,求出在定义区间内的一切实根; 第3步: 把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f(x)的定义域分成若干个小区间; 第4步: 确定f′(x)在各个区间内的符号,根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性. 方法三第1步: 确定函数y=f(x)的定义域; 第2步: 求导函数y′=f′(x),并将其化简表示为某些基本初等函数的和、差、积、商. 第3步: 利用相应基本初等函数的图象与性质,确定f′(x)在某些区间的正、负,进而得到单调区间. 2.根据函数y=f(x)在(a,b)上的单调性,求参数范围的方法 (1)若函数y=f(x)在(a,b)上单调递增;转化为f′(x)≥0在(a,b)上恒成立求解. (2)若函数y=f(x)在(a,b)上单调递减,转化为f′(x)≤0在(a,b)上恒成立求解. (3)若函数y=f(x)在(a,b)上单调,转化为f′(x)在(a,b)上不变号,即f′(x)在(a,b)上恒正或恒负. (4)若函数y=f(x)在(a,b)上不单调,转化为f′(x)=0在(a,b)上有解. [自我挑战] 设f(x)=ex(lnx-a)(e是自然对数的底数,e=2.71828…) (1)若y=f(x)在x=1处的切线方程为y=2ex+b,求a,b的值. (2)若函数f(x)在区间上单调递减,求a的取值范围. 解: (1)∵f′(x)=ex(lnx-a)+ex· =ex, 所以由题意,得f′ (1)=e(1-a)=2e, 解得a=-1. 所以f (1)=e(ln1-a)=e, 由切点(1,e)在切线y=2ex+b上,得e=2e+b,b=-e,故a=-1,b=-e. (2)由题意可得f′(x)=ex≤0在上恒成立. 因为ex>0,所以只需lnx+-a≤0,即a≥lnx+在上恒成立.令g(x)=lnx+. 因
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