高三上学期期末考试数学理试题.docx
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高三上学期期末考试数学理试题
2019-2020年高三上学期期末考试数学理试题
考生须知:
1.本试卷共6页,分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。
2.答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。
3.答题卡上第I卷(选择题)必须用2B铅笔作答,第II卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答,作图时可以使用2B铅笔。
请按照题号顺序在各题目的答题区内作答,未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。
4.修改时,选择题部分用塑料橡皮擦涂干净,不得使用涂改液。
保持答题卡整洁,不要折叠、折皱、破损。
不得在答题卡上做任何标记。
5.考试结束后,考生务必将答题卡交监考老师收回,试卷自己妥善保存。
第Ⅰ卷(选择题共40分)
一、选择题:
本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
(1)设集合,则等于
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】,所以,选C.
(2)“”是“直线垂直”的
A.充分不必要条件B必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若直线垂直,则有,即,所以。
所以“”是“直线垂直”的充分不必要条件,选A.
(3)已知函数,则函数的零点所在的区间是
A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)
【答案】B
【解析】函数的导数为,所以。
因为,,所以函数的零点所在的区间为.选B.
(4)设不等式组表示的平面区域为.在区域内随机取一个点,则此点到直线的距离大于2的概率是
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】不等式对应的区域为三角形DEF,当点D在线段BC上时,点D到直线的距离等于2,所以要使点D到直线的距离大于2,则点D应在三角形BCF中。
各点的坐标为,所以
根据几何概型可知所求概率为,选D.
(5)设是公差不为0的等差数列的前项和,且成等比数列,则等于
A.1B.2C.3D.4
【答案】C
【解析】因为成等比数列,所以,即,即,所以,选C.
(6)在高三
(1)班进行的演讲比赛中,共有5位选手参加,其中3位女生,2位男生.如果2位男生不能连续出场,且女生甲不能排在第一个,那么出场顺序的排法种数为
A.24B.36C.48D.60
【答案】D
【解析】先排3个女生,三个女生之间有4个空,从四个空中选两个排男生,共有种,若女生甲排在第一个,则三个女生之间有3个空,从3个空中选两个排男生,有,所以满足条件的出错顺序有种排法,选D.
(7)已知一个空间几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸,可得这个几何体的全面积为
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
根据三视图复原的几何体是底面为直角梯形,一条侧棱垂直直角梯形的直角顶点的四棱锥
其中ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB=AD=2,BC=4,即PA⊥平面ABCD,PA=2。
且,,,,,,底面梯形的面积为,,,,侧面三角形中的高,
所以,所以该几何体的总面积为,选B.
(8)已知函数:
①,②,③.则以下四个命题对已知的三个函数都能成立的是
命题是奇函数;命题在上是增函数;
命题;命题的图像关于直线对称
A.命题B.命题C.命题D.命题
【答案】C
【解析】当时,函数不是奇函数,所以命题不能使三个函数都成立,排除A,D.①成立;②成立;③成立,所以命题能使三个函数都成立,所以选C.
第Ⅱ卷(非选择题共110分)
二、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.
(9)若,其中是虚数单位,则实数的值是____________.
【答案】
【解析】由得,所以。
(10)以双曲线的右焦点为圆心,并与其渐近线相切的圆的标准方程是_____.
【答案】
【解析】双曲线的渐近线为,不妨取,即。
双曲线的右焦点为,圆心到直线的距离为,即圆的半径为4,所以所求圆的标准方程为。
(11)在中,若,,,则=.
【答案】3
【解析】由,知,得,,由余弦定理可得,即,整理得,解得或(舍去)。
(12)已知某算法的流程图如图所示,则程序运行结束时输出的结果为.
【答案】4
【解析】第一次循环有;第二次循环有;第三次循环有;第四次循环有;此时满足条件,输出。
(13)在中,,,是的中点,那么____________;若是的中点,是(包括边界)内任一点.则的取值范围是___________.
【答案】2;
【解析】.
将直角三角形放入直角坐标系中,则,设,则,令,则,做直线,平移直线,由图象可知当直线经过点A时,直线的截距最大,但此时最小,当直线经过点B时,直线的截距最小,此时最大。
即的最下值为,最大值为,即。
的取值范围是。
(14)在平面直角坐标系中,定义为两点,之间的“折线距离”.则
到坐标原点的“折线距离”不超过2的点的集合所构成的平面图形面积是_________;
坐标原点与直线上任意一点的“折线距离”的最小值是_____________.
【答案】
【解析】根据定义可知,如图:
则图象的面积为。
与两坐标轴的交点坐标为,设,则,所以OP的折线距离为,作出分段函数的图象如图,由函数的单调性可知当时,函数有最小值为。
三、解答题:
本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(15)(本小题满分13分)已知函数.
(Ⅰ)求的定义域及最小正周期;
(Ⅱ)求在区间上的最值.
(16)(本小题满分14分)在四棱锥中,底面是正方形,为的中点.(Ⅰ)求证:
∥平面;
(Ⅱ)求证:
;
(Ⅲ)若在线段上是否存在点,使?
若存在,求出的值,若不存在,请说明理由.
(17)(本小题满分13分)为了解甲、乙两厂的产品的质量,从两厂生产的产品中随机抽取各10件,测量产品中某种元素的含量(单位:
毫克).下表是测量数据的茎叶图:
甲厂乙厂
90
3965818456903
15032103
规定:
当产品中的此种元素含量满足≥18毫克时,该产品为优等品.
(Ⅰ)试用上述样本数据估计甲、乙两厂生产的优等品率;
(Ⅱ)从乙厂抽出的上述10件产品中,随机抽取3件,求抽到的3件产品中优等品数的分布列及其数学期望;
(Ⅲ)从上述样品中,各随机抽取3件,逐一选取,取后有放回,求抽到的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率.
(18)(本小题满分13分)已知函数().
(Ⅰ)若函数的图象在点P(1,)处的切线的倾斜角为,求在上的最小值;
(Ⅱ)若存在,使,求a的取值范围.
(19)(本小题满分13分)已知椭圆的对称轴为坐标轴,离心率为且抛物线的焦点是椭圆的一个焦点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线与椭圆相交于A、B两点,以线段为邻边作平行四边形OAPB,其中点P在椭圆上,为坐标原点.求点到直线的距离的最小值.
(20)(本小题满分14分)
已知每项均是正整数的数列,其中等于的项有个,设,
(Ⅰ)设数列,求;
(Ⅱ)若中最大的项为50,比较的大小;
(Ⅲ)若,求函数的最小值.
昌平区xx-xx第一学期高三年级期末质量抽测
数学试卷参考答案(理科)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.)
题号
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
答案
C
A
B
D
C
D
B
C
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分.)
(9)(10)
(11)3(12)4
(13)2;[-9,9](14)
三、解答题(本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
(15)(本小题满分13分)
解:
(Ⅰ)由得(Z),
故的定义域为RZ}.…………………2分
因为
,………………………………6分
所以的最小正周期.…………………7分
(II)由…………..9分
当,…………….11分
当.……………….13分
(16)(本小题满分14分)
解:
(I)连接.
由是正方形可知,点为中点.
又为的中点,
所以∥………………….2分
又
所以∥平面………….4分
(II)证明:
由
所以
由是正方形可知,
又
所以………………………………..8分
又
所以…………………………………………..9分
(III)解法一:
在线段上存在点,使.理由如下:
如图,取中点,连接.
在四棱锥中,,
所以.…………………………………………………………………..11分
由(II)可知,而
所以,
因为
所以………………………………………………………….13分
故在线段上存在点,使.
由为中点,得……………………………………………14分
解法二:
由且底面是正方形,如图,
建立空间直角坐标系
由已知设,
则
设为线段上一点,且,则
…………………………..12分
由题意,若线段上存在点,使,则,.
所以,,
故在线段上存在点,使,且……………………14分
(17)(本小题满分13分)
解:
(I)甲厂抽取的样本中优等品有6件,优等品率为
乙厂抽取的样本中优等品有5件,优等品率为………………..2分
(II)的取值为0,1,2,3.
所以的分布列为
0
1
2
3
故……………………9分
(III)抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件包括2个事件,即A=“抽取的优等品数甲厂2件,乙厂0件”,B=“抽取的优等品数甲厂3件,乙厂1件”
抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率为…13分
(18)(本小题满分13分)
解:
(I)………………………….……………1分
根据题意,…………………3分
此时,,则.
令
-
+
↘
↗
………………………………………………………………………………………….6分
∴当时,最小值为.………………………7分
(II)
①若上单调递减.
又
…………………………………………..10分
②若
从而在(0,上单调递增,在(,+上单调递减.
根据题意,……………..............................13分
综上,的取值范围是.
(19)(本小题满分13分)
解:
(I)由已知抛物线的焦点为,故设椭圆方程为,则所以椭圆的方程为……5分
(II)当直线斜率存在时,设直线方程为,
则由
消去得,,…………………6分
,①…………7分
设点的坐标分别为,则:
,…………8分
由于点在椭圆上,所以.………9分
从而,化简得,经检验满足①式.
………10分
又点到直线的距离为:
………11分
当且仅当时等号成立………12分
当直线无斜率时,由对称性知,点一定在轴上,
从而点的坐标为,直线的方程为,所以点到直线的距离为1.
所以点到直线的距离最小值为.………13分
(20)(本小题满分14分)
解:
(I)因为数列,
所以,
所以…………………4分
(II)一方面,,
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- 高三上 学期 期末考试 学理 试题