徐汇新王牌 秋季同步提高补习班高中数学孙D老师高三Word文档下载推荐.docx
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222abc=+
(3统一形式:
(2
10,0,AxByABAB+=>
≠
3.椭圆的参数方程
焦点在x轴上,中心在原点的椭圆的参数方程为:
cossinxaybθ
θ
=⎧⎨=⎩(θ为参数
(其中2a为椭圆的长轴长,2b为椭圆的短轴长
4.椭圆的简单几何性质
以椭圆(22
为例说明
(1范围:
axa-≤
≤,byb-≤≤
(2对称性:
椭圆的对称轴:
x轴,y轴;
对称中心:
原点(0,0O
(3顶点:
长轴顶点:
(1,0Aa-,(2
0Aa,短轴顶点:
(1
0,Bb-,(20,Bb
(4离心率:
cea=
=椭圆上任一点P到焦点的距离
点P到相应准线的距离
。
①01e<
<
;
②e
越大,椭圆越扁;
③e=(5准线:
椭圆有左,右两条准线关于
y轴对称。
左准线:
axc=-
右准线:
axc
=
(6焦半径:
椭圆上任一点(0
P
xy到焦点的距离。
左、右焦半径分别为
110rPFaex==+,220rPFaex==-
5.点与椭圆的位置关系
已知椭圆22
221xyCab+=;
点00(,Pxy,则22
002222002222
0022111xyabxyabxyab⎧⇔+>
⎪⎪
⎪⇔+=⎨⎪
⎪⇔+<
⎪⎩
点P在椭圆C外点P在椭圆C上点P在椭圆C内6.关于焦点三角形与焦点弦(1椭圆上一点P与两个焦点12,
FF所构成的12PFF∆称为焦点三角形。
设12FPFθ∠=,12PFFα∠=,21PFFβ∠=,则有:
①
sinsinsinc
a
θαβ=+
②12cos2
12
-=rrbθ,当12rr=(即
P为短轴顶点时,θ最大,此时22
cosbcaθ-=
(r表示焦半径
③12PFF∆的面积22
01sinsintan21cos2
bSrrb
cyθθθθ====+
当0yb=(即P为短轴顶点时,S最大,且maxSbc=
④
22212bcPFPFb-≤⋅≤
(2经过焦点1F或2F的椭圆的弦
AB,称为焦点弦。
l
设1122(,,(,AxyBxy,AB的中点为00(,Mxy,
则弦长
1202(22ABaexxaex=±
+=±
(左焦点取“+”,右焦点取“-”当AB
x⊥轴时,AB最短,且a
bAB2min
2=
7.椭圆的光学性质
从椭圆的一个焦点射出的光线经椭圆反射后,经过椭圆的另一焦点。
8.关于直线与椭圆的位置关系问题常用处理方法(1联立方程法:
联立直线和椭圆方程,消去y,得到关于x的一元二次方程,
设交点坐标为
1122(,,(,xyxy,则有0∆>
以及1212,xxxx+,还可进一步求出
1212,yyyy+。
在涉及弦长,中点,对称,面积等问题时,常用此法
(2点差法:
1122(,,(,
xyxy代入椭圆方程,并将两式相减,可得
((
21212
1212bxxyyxxayy+-=--+,在涉及斜率、中点、范围等问题时,常用此法典型例题
题型一:
椭圆定义相关问题
例1.如图一圆形纸片的圆心为O,F是圆内一定点,M是圆周上一动点,把纸片折叠使M与F重合,然
(y≠0
B
(x≠0
D
(x≠0例3.(2014•辽宁已知椭圆C:
+
=1,点M与C的焦点不重合,若M关于C的焦点的对称点分别
为A、B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|=.
例4.(2014•重庆二模设A、P是椭圆+y2
=1两点,点A关于x轴的对称点为B(异于点P,若直线AP、BP分别交x轴于点M、N,则•
=(
.
2例5.(2014•海南模拟已知P、Q是椭圆3x2
+5y2
=1满足∠POQ=90°
的两个动点,则+等于(
题型三:
椭圆相关的范围问题
例7.(2014•福建设P,Q分别为圆x2
+(y﹣62
=2和椭圆+y2
=1上的点,则P,Q两点间的最大距
5+C.7+
例8.(2013•闸北区一模设点F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,P为椭圆C上任意一点.
(1求数量积
的取值范围;
(2设过点F1且不与坐标轴垂直的直线交椭圆C于A、B两点,
线段AB的垂直平分线与x轴交于点G,求点G横坐标的取值范围.
题型四:
椭圆相关的最值问题
C
例10.已知点F是椭圆13
42
2=+yx的右焦点,A(1,1,P是椭圆上一动点,则PFPA+的最大值是------
例11.(2014•上海模拟已知点F为椭圆C:
=1的左焦点,点P为椭圆C上任意一点,点Q的坐标为(4,3,则|PQ|+|PF|取最大值时,点P的坐标为.
例12.(2014•北京石景山区一模已知动点P(x,y在椭圆C:
=1上,F为椭圆C的右焦点,
若点M满足||=1且=0,则||的最小值为(
例15.(2014•上海模拟已知椭圆的两焦点分别为F1,F2,P是椭圆在第一象限内的一点,并满足,过P作倾斜角互补的两条直线PA,PB分别交椭圆于A,B两点.(Ⅰ求P点坐标;
(Ⅱ求证直线AB的斜率为定值.
例16.已知椭圆C:
+=1(a>
b>
0经过(1,1与(,两点.(Ⅰ求椭圆C的方程;
(Ⅱ过原点的直线l与椭圆C交于A、B两点,椭圆C上一点M满足|MA|=|MB|.求证:
++为定值.
例17.(2014•松江区二模已知椭圆x2
+2y2
=a2
(a>
0的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4.(1求椭圆C的方程;
(2若直线l过椭圆的右焦点且与椭圆C交于A、B两点,求证:
x轴上存在一定点M,使得•
为定值。
例18.已知椭圆
的左顶点为A,过A作两条互相垂直的弦AM、AN交椭圆于M、N两点.
(1当直线AM的斜率为1时,求点M的坐标;
(2当直线AM的斜率变化时,直线MN是否过x轴上的一定点,若过定点,请给出证明,并求出该定点,若不过定点,请说明理由.
例19、已知过椭圆22
143
xy+=右焦点F作直线l交椭圆于A、B两点,交定直线x=4于点M,假设,MAAFMBBFλμ==,求证:
λμ+=0.
例20.(安徽高考题设椭圆=1(a>
0过点,且左焦点为
(Ⅰ求椭圆C的方程;
(Ⅱ当过点P(4,1的动直线l与椭圆C相交与两不同点A,B时,在线段AB
上取点Q,满足•=•,证明:
点Q总在某定直线上.
实战演练:
1.设AB是椭圆(a>
0的长轴,若把AB100等分,过每个分点作AB的垂线,交椭圆的
2.已知方程表示焦点在x轴上的椭圆,则k的取值范围是(
3.已知点P是椭圆:
+=1(x≠0,y≠0上的动点,F1,F2是椭圆的两个焦点,O是坐标原点,若M是∠F1PF2的角平分线上一点,且•=0,则|OM|的取值范围是(
O为原点,设椭圆的方程为(a>
0,篮球与地面的接触点为H,则|OH|=.
5.在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC顶点A(﹣4,0和C(4,0,顶点B在椭圆上,则=.
6.(2013•上海设AB是椭圆Γ的长轴,点C在Γ上,且∠CBA=,若AB=4,BC=,则Γ的两个焦点之间的距离为.
6.(2014•浙江二模已知椭圆C:
+y2=1,点M1,M2…,M5为其长轴AB的6等分点,分别过这五点作斜率为k(k≠0的一组平行线,交椭圆C于P1,P2,…,P10,则直线AP1,AP2,…,AP10这10条直
﹣
7.(2014•湖北过x轴正半轴上一点M作直线PQ与椭圆+y2=1相交于两点P,Q,若+
(,,
8.给定椭圆C:
称圆心在原点O、半径是的圆为椭圆C的“准圆”.已
知椭圆C的一个焦点为,其短轴的一个端点到点F的距离为.(1求椭圆C和其“准圆”的方程;
(2若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点,B,D是椭圆C上的两相异点,且BD⊥x轴,
求的取值范围.
9.(2014•达州二模已知椭圆C:
0的左顶点A(﹣2,0,过右焦点F且垂直于长轴的弦长为3.(Ⅰ求椭圆C的方程;
(Ⅱ已知直线y=kx+m(k<
0,m>
0与y轴交于点P,与x轴交于点Q,与椭圆C交于M,N两点,若+=.求证:
直线y=kx+m过定点,并求出这个定点坐标.
例题及习题解析:
=+
易得,
((,∴,∴
在象限的角平分线上时,由
=,∴
∴,解得
半径为,
椭圆上的点与圆心的距离为=5
5=6
则有,
∴.
代入,
,
的方程为
==.
∴
.∴,∴例10.解:
设点1F是左焦点,542211+=+≤-+=+AFaPFaPAPFPA|=3,即最大值为5组
(舍.故选:
由椭圆可得,∴,解得P的方程为联立A
的斜率为定值
与(两点代入椭圆
解得.∴的方程为
解得,,
∴=,同理
所以×
故
得,解得
.∴时,解之得,∴化简得:
∴,同理可得.由(知若存在定点,则此点必为∵,同理可计算得轴上的一定点证明:
F(1,0,设直线l的方程是x=ky+1,A(x1,y1,B(x2,y2,3
(4,Mk
221
3412xkyxy=+⎧⎨+=⎩,(3k2+4y2+6ky﹣9=0,12122249
3432k
yyyykk-+=-=++
11113(x4,y,(1,MAAFxyk=--=--;
22223(x4,y,(1,MBBFxyk
=--=--因为,MAAFMBBFλμ==,所以112233,yyyykkλμ-=--=-,1233(1,(1yykk
λμ∴+=+=12212133(1y,(1yyyyykkλμ∴+=+=,相加得12123(2(yyyyk
λμ++=+,22936(23434
kkkkλμ--++⋅=⋅++,所以λμ+=0的方程为由题设知,,,于是,,,
从而
∴.∵
(∠×
OH=,故答案为:
由正弦定理得=故答案为
由题意知,CBA=,,
在椭圆上,∴,∴,
﹣,,则.故答案为:
=﹣.
由椭圆的对称性可得,,∴,
同理可得﹣
孙D老师高三数学新王牌400-000-97557.解:
设M(m,0),设直线PQ的方程为把直线PQ的方程代入椭圆的方程.P(m+t1cosα,t1sinα),Q(m+t2cosα,t2sinα)..,化为(1+3sinα)t+2mtcosα+m﹣4=0.222∴t1+t2=,.∴==.∴+2===.∵+为定值,∴24﹣10m=0,又m>0.解得8.解:
(1)由题意可得:
∴椭圆C的方程为2.∴点M的坐标为.故选:
C.,,b=1,∴r=22=2.,其“准圆”的方程为x+y=4;
2
(2)由“准圆”的方程为x+y=4,令y=0,解得x=±
2,取点A(2,0).设点B(x0,y0),则D(x0,﹣y0).∴=(x0﹣2,y0)•(x0﹣2,﹣y0)=,∵点B在椭圆上,∴,∴,∴==,∴,∵,即,的取值范围为9.(Ⅰ)解:
由题意a=2,设过右焦点F且垂直于长轴的弦为MN,将M(c,xM)代入椭圆方程可得yM=,16
孙D老师高三数学新王牌400-000-9755∴=3,∴b=3,∴椭圆C的方程为2;
(Ⅱ)证明:
直线y=kx+m(k<0,m>0)与y轴交于点P(0,m),与x轴交于点Q(﹣,0),设M(x1,y1),N(x2,y2),则|PM|=x1,|PN|=x2,|PQ|=﹣•,∵+=,∴+=﹣3•,∴=﹣,y=kx+m代入椭圆方程可得(4k+3)x+8kmx+4m﹣12=0,∴x1+x2=∵m>0,∴m=3,∴y=kx+m恒过点(0,3).222,x1x2=,∴=﹣,17
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