高二下学期第一次阶段测试数学理试题 Word版含答案.docx
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高二下学期第一次阶段测试数学理试题Word版含答案
2019-2020年高二下学期第一次阶段测试数学(理)试题Word版含答案
吴光亮校对:
嵇哲xx.4
一、填空题:
本大题共14个小题,每小题5分,共计70分,请把答案直接填写在答题卡相应的位置上。
1.=_________.
2.把红桃、黑桃、方块、梅花四张纸牌随机发给甲、乙、丙、丁四个人,每人分得一张,事件“甲分得梅花”与事件“乙分得梅花”是事件.
(填“对立”、“不可能”、“互斥事件”、“互斥事件,但不是对立”中的一个)
3.当x=2时,下面的伪代码执行后的结果是________.
i←1
s←0
Whilei≤4
s←s·x+1
i←i+1
EndWhile
Prints
4.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,…,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中,编号落入区间[1,450]的人做问卷A,编号落入区间[451,750]的人做问卷B,其余的人做问卷C.则抽到的人中,做问卷B的人数为________.
5.若平面α的一个法向量为n=(4,1,1),直线l的一个方向向量为a=(-2,-3,3),则l与α所成角的正弦值为________.
6.点P在边长为1的正方形ABCD内运动,则动点P到定点A的距离|PA|<1的概率为________.
7.袋中有1个白球,2个黄球,先从中摸出一球,再从剩下的球中摸出一球,两次都是黄球的概率为________.
8.在平行六面体ABCD–A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长都等于1,且两两夹角都为45°,则||=.
9.在样本的频率分布直方图中,共有9个小长方形,若第一个长方形的面积为0.02,前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差是互为相反数,若样本容量为1600,则中间一组(即第五组)的频数为_______.
10.若执行如图所示的流程图,输入x1=1,x2=2,x3=3,
=2,则输出的数为________.
11.现有某类病毒记作XmYn,其中正整数m、n(m≤7,n≤9)可以任意选取,则m、n都取到奇数的概率为________.
12.某班有48名学生,在一次考试中统计出平均分数为70,方差为75,后来发现有2名同学的成绩有误,甲实得80分却记为50分,乙实得70分却记为100分,更正后方差是________.
13.从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别为a,b,共可得到lga-lgb的不同值的个数是________.
14.有4张分别标有数字1、2、3、4的红色卡片和4张分别标有数字1、2、3、4的蓝色卡片,从这8张卡片中取出4张卡片排成一行.如果取出的4张卡片所标数字之和等于10,则不同的排法共有________种.
二、解答题:
本大题共6小题,计90分。
解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内。
15.某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60名学生,将其物理成绩(均为整数)分成六段[40,50),[50,60),…,[90,100]后得到如图所示的频率分布直方图,观察图形的信息,回答下列问题:
(1)求分数在[70,80)内的频率,并补全这个频率分布直方图;
(2)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代表,据此估计本次考试中的平均分.
16.已知关于x的一元二次方程x2-2(a-2)x-b2+16=0.
(1)若a、b是一枚骰子掷两次所得到的点数,求方程有两正根的概率;
(2)若a∈[2,4],b∈[0,6],求方程没有实根的概率.
17.三棱柱ABC-A1B1C1在如图所示的空间直角坐标系中,已知AB=2,AC=4,A1A=3.D是BC的中点.
(1)求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值;
(2)求二面角B1-A1D-C1的正弦值.
18.现有2位男生和3位女生共5位同学站成一排.(用数字作答)
(1)若2位男生相邻且3位女生相邻,则共有多少种不同的排法?
(2)若男女相间,则共有多少种不同的排法?
(3)若男生甲不站两端,女生乙不站最中间,则共有多少种不同的排法?
19.在三棱锥SABC中,底面是边长为2的正三角形,点S在底面ABC上的射影O恰是AC的中点,侧棱SB和底面成45°角.
(1)若D为侧棱SB上一点,当为何值时,CD⊥AB;
(2)求二面角S-BC-A的余弦值大小.
20.如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,A1B⊥平面ABC,AB⊥AC,且AB=AC=A1B=2.
(1)求棱AA1与BC所成的角的大小;
(2)在棱B1C1上确定一点P,使二面角P-AB-A1的平面角的余弦值为.
1.3602.互斥事件,但不是对立3.154.105.6.
7.8.9.36010. 11.12.50
13.1814.432
15.解
(1)设分数在[70,80)内的频率为x,根据频率分布直方图,有(0.010+0.015×2+0.025+0.005)×10+x=1,可得x=0.3,…………………5分
所以频率分布直方图如图所示.(补图)
……………………………7分
(2)平均分为:
=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71(分).…………………13分
答:
估计本次考试中的平均分为71分.………14分
16.解:
设“方程有两个正根”的事件为A,“方程没有实根”的事件为B.
(1)由题意知本题是一个古典概型,用(a,b)表示一枚骰子掷两次所得到的点数.依题意知,基本事件(a,b)的总数有36个,二次方程x2-2(a-2)x-b2+16=0有两正根,等价于
即则事件A包含的基本事件为(6,1)、(6,2)、(6,3)、(5,3)共4个.…………………………………6分
∴所求的概率为P(A)=.……………………………………7分
(2)由题意知本题是一个几何概型,试验的全部结果构成区域Ω={(a,b)|2≤a≤4,0≤b≤6},其面积为S(Ω)=12.满足条件的事件为:
B={(a,b)|2≤a≤4,0≤b≤6,(a-2)2+b2<16},其面积为S(B)=××4×4+×2×=+2.…………………………………13分
∴所求的概率P(B)=.…………………………………14分
17.解:
(1)由题意,A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),D(1,2,0),A1(0,0,3),B1(2,0,3),C1(0,4,3).=(1,2,-3),=(0,4,0).…………2分
设平面A1C1D的一个法向量为n=(x,y,z).
∵n·=x+2y-3z=0,n·=4y=0.
∴x=3z,y=0.令z=1,得x=3.n=(3,0,1).…………4分
设直线DB1与平面A1C1D所成角为θ,
∵=(1,-2,3),
∴sinθ=|cos〈·n〉|==.…………………7分
(2)设平面A1B1D的一个法向量为m=(a,b,c).
=(2,0,0),∵m·=a+2b-3c=0,m·=2a=0,
∴a=0,2b=3c.令c=2,得b=3.m=(0,3,2).………………10分
设二面角B1A1DC1的大小为α,
∴|cosα|=cos|〈m,n〉|===,
则sinα==.………………13分
∴二面角B1A1DC1的正弦值为.………………14分
18.
(1)(5分)
(2)(5分)
(3)(5分)
答(1分)
19.解:
以O点为原点,OB为x轴,OC为y轴,OS为z轴建立空间直角坐标系O-xyz.由题意知∠SBO=45°,SO=3.O(0,0,0),C(0,,0),A(0,-,0),S(0,0,3),B(3,0,0). ………………2分
(1)设=λ(0≤λ≤1),则=(1+λ)+λ=(3(1+λ),0,3λ),
所以=(3(1-λ),-,3λ).
因为=(3,,0),CD⊥AB,所以·=9(1-λ)-3=0,解得λ=.
故=时,CD⊥AB.………………8分
(2)平面ACB的法向量为n1=(0,0,1),设平面SBC的法向量n2=(x,y,z),
则n2·=0,n2·=0,
则解得
取n2=(1,,1),………………………………12分
所以cos〈n1,n2〉==.………………14分
又显然所求二面角的平面角为锐角,故所求二面角的余弦值的大小为.
…………16分
20.解:
(1)如图,以A为原点建立空间直角坐标系,
则C(2,0,0),B(0,2,0),A1(0,2,2),B1(0,4,2),
=(0,2,2),==(2,-2,0).………………2分
cos〈,〉===-,………4分
故AA1与棱BC所成的角是.………………6分
(2)P为棱B1C1中点,设=λ=(2λ,-2λ,0),则P(2λ,4-2λ,2).…10分
设平面PAB的法向量为n1=(x,y,z),=(2λ,4-2λ,2),
则
故n1=(1,0,-λ),………………12分
而平面ABA1的法向量是n2=(1,0,0),
则cos〈n1,n2〉===,………………14分
解得λ=,即P为棱B1C1中点,其坐标为P(1,3,2).………………16分
2019-2020年高二下学期第一次阶段考试(数学)
说明:
本试卷分Ⅰ卷、Ⅱ卷两部分,共6页.时间:
120分钟,满分:
150分
选择题答案涂在机读卡上,交卷时将答题卡、第Ⅱ卷一并交回.
一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.已知直线m、n与平面α、β、γ,下列条件中能推出α∥β的是()
A.m⊥α且m⊥β B.α⊥γ且β⊥γ
C.mα,nβ,m∥nD.mα,nα,m∥β,n∥β
2.已知长方体的表面积是,过同一顶点的三条棱长之和是,则它的对角线长是()
A.B.C.D.
3.给出下列命题:
(1)三点确定一个平面;
(2)在空间中,过直线外一点只能作一条直线与该直线平行;(3)若平面上有不共线的三点到平面的距离相等,则;(4)若直线满足则.其中正确命题的个数是()
A.个B.个C.个D.个
4.如图,直线PA垂直于圆所在的平面,内接于圆,且AB为圆的直径,点M为线段PB的中点.现有以下命题:
①;②;③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长.其中真命题的个数为()
A.3B.2C.1D.0
5.用一个平面去截正方体,所得截面不可能是()
A.平面六边形B.菱形C.梯形D.直角三角形
6.长方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=1,E为CC1的中点,则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为()
A.B.C.D.
7.已知直线与平面成45°角,直线,若直线在内的射影与直线也成45°角,则与所成的角是()
A.30°B.45°C.60°D.90°
8.矩形ABCD的两边AB=3,AD=4,PA⊥平面ABCD,且PA=,则二面角A-BD-P的度数为()
A.30°B.45°C.60°D.75°
9.二面角为,A,B是棱上的两点,AC,BD分别在半平面内,且,则的长为()
A. B. C. D.
10.等边△ABC的边长为1,BC上的高是A
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