学年高中数学北师大版必修四教学案第二章 6 平面向量数量积的坐标表示 Word版含答案.docx
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学年高中数学北师大版必修四教学案第二章6平面向量数量积的坐标表示Word版含答案
[核心必知]
1.向量数量积的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.
即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和.
2.度量公式
(1)长度公式:
设a=(x,y),则|a|=.
(2)夹角公式:
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ,则cosθ=.
3.两向量垂直的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0.
4.直线的方向向量
给定斜率为k的直线l,则向量m=(1,k)与直线l共线,把与直线l共线的非零向量m称为直线l的方向向量.
[问题思考]
1.由向量长度的坐标表示,你能否得出平面内两点间的距离公式?
提示:
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则=(x2-x1,y2-y1),由向量长度的坐标表示可得
|AB|=||=.
2.坐标形式下两向量垂直与平行的条件有何区别?
提示:
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则:
a⊥b⇔x1x2+y1y2=0,即“相应坐标相乘和为0”;
a∥b⇔x1y2-x2y1=0,即“坐标交叉相乘差为0”.
3.直线l的方向向量唯一吗?
提示:
直线l的方向向量即是与l平行的向量,意指表示该向量的有向线段所在的直线与l平行或重合,所以直线l的方向向量不唯一(有无数个),但它们都是共线向量.
讲一讲
1.已知向量a=(4,-2),b=(6,-3),求:
(1)(2a-3b)·(a+2b);
(2)(a+b)2.
[尝试解答] 法一:
(1)∵2a-3b=(8,-4)-(18,-9)=(-10,5),
a+2b=(4,-2)+(12,-6)=(16,-8),
∴(2a-3b)·(a+2b)=-160-40=-200.
(2)∵a+b=(10,-5)
∴(a+b)2=(10,-5)×(10,-5)=100+25=125.
法二:
由已知可得:
a2=20,b2=45,a·b=30
(1)(2a-3b)·(a+2b)=2a2+a·b-6b2
=2×20+30-6×45=-200.
(2)(a+b)2=a2+2a·b+b2=20+60+45=125.
进行向量的数量积的坐标运算关键是把握向量数量积的坐标表示,运算时常有两条途径:
(1)根据向量数量积的坐标表示直接运算;
(2)先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算.
练一练
1.已知a=(2,1),b=(-1,3),向量c满足a·c=4,b·c=-9.
(1)求向量c的坐标;
(2)求(a+b)·c的值.
解:
(1)设c=(x,y),
由得,
解得x=3,y=-2.
∴c=(3,-2).
(2)法一:
∵a+b=(2,1)+(-1,3)=(1,4),
∴(a+b)·c=(1,4)·(3,-2)
=1×3+4×(-2)
=-5.
法二:
(a+b)·c
=a·c+b·c
=(2,1)·(3,-2)+(-1,3)·(3,-2)
=2×3+1×(-2)+(-1)×3+3×(-2)
=-5.
讲一讲
2.已知a=(1,2),b=(-2,-4),|c|=.
(1)求|a+2b|;
(2)若(a+b)·c=,求向量a与c的夹角.
[尝试解答]
(1)a+2b=(1,2)+2(-2,-4)=(-3,-6)
∴|a+2b|==3.
(2)∵b=(-2,-4)=-2(1,2)=-2a
∴a+b=-a,
∴(a+b)·c=-a·c=
设a与c的夹角为θ,
则cosθ===-
∵0≤θ≤π,∴θ=π
即a与c的夹角为π.
1.已知向量的坐标和向量的模(长度)时,可直接运用公式|a|=进行计算.
2.求向量的夹角时通常利用数量积求解,一般步骤为:
(1)先利用平面向量数量积的坐标表示求出两向量的数量积;
(2)再求出两向量的模;
(3)由公式cosθ=计算cosθ的值;
(4)在[0,π]内,由cosθ的值确定角θ.
练一练
2.已知向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),e=(0,1),若a≠b,|a-b|=2,且a-b与e的夹角为,则x1-x2=( )
A.2 B.±
C.±D.±1
解析:
选B a-b=(x1-x2,y1-y2).
∴(a-b)·e=(x1-x2)×0+(y1-y2)×1=y1-y2.
∵|a-b|=2,|e|=1,a-b与e的夹角为,
∴cos===,∴y1-y2=1,
又由|a-b|=2知,(x1-x2)2+(y1-y2)2=4,
∴(x1-x2)2=3.∴x1-x2=±.
讲一讲
3.已知a=(,-1),b=.
(1)求证:
a⊥b;
(2)是否存在实数k,使x=a-2b,y=-ka+b,且x⊥y,若存在,求k的值;不存在,请说明理由.
[尝试解答]
(1)证明:
∵a·b=×+(-1)×=0.
∴a⊥b.
(2)∵x=(,-1)-2=,
y=-k(,-1)+=.
假设存在k使x⊥y,
∴x·y=(-1)+(-1-)化简得:
-4k-2=0
∴k=-即存在k=-,使x⊥y.
两向量互相垂直,则其数量积为零,反之也成立,因此:
(1)判断两个向量是否垂直,只需考察其数量积是否为0;
(2)若两向量垂直,则可利用数量积的坐标表示建立有关参数的方程,进而求解.
练一练
3.(安徽高考)设向量a=(1,2m),b=(m+1,1),c=(2,m).若(a+c)⊥b,则|a|=________.
解析:
a+c=(3,3m),由(a+c)⊥b,可得(a+c)·b=0,即3(m+1)+3m=0,解得m=-,则a=(1,-1),故|a|=.
答案:
已知向量a=(-2,-1),b=(t,1).且向量a与b的夹角为钝角,求实数t的取值范围.
[错解] 设向量a与b的夹角为θ,则θ为钝角,
∴cosθ=<0,∴a·b<0.
∴a·b=(-2,-1)·(t,1)=-2t-1<0,
得t>-.
故t的取值范围是(-,+∞).
[错因] 错解在于误认为θ为钝角等价于a·b<0,实际上,a·b<0包含两向量反向共线的情况,即θ=π的情况,无疑扩大夹角的取值范围.
[正解] 设向量a与b的夹角为θ,
∵θ为钝角∴<θ<π.
∴cosθ=<0,
∴a·b<0,即(-2,-1)·(t,1)=-2t-1<0.
∴t>-.
当a∥b时,-2×1-(-1)×t=0,得t=2,
这时b=(2,1)=-a,b与a反向.
即当t=2时,θ=π,不合题意.
故t的取值范围为(-,2)∪(2,+∞).
1.向量i=(1,0),j=(0,1),下列向量中与向是i+j垂直的是( )
A.2i+2j B.-i+j
C.2i+jD.-i-j
解析:
选B 可知i+j=(,1),逐项考察知,
(i+j)·(-i+j)=(,1)·(-1,)
=-+=0.
∴-i+j与i+j垂直.
2.已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m=( )
A.-8B.-6
C.6D.8
解析:
选D 法一:
因为a=(1,m),b=(3,-2),
所以a+b=(4,m-2).
因为(a+b)⊥b,
所以(a+b)·b=0,
所以12-2(m-2)=0,解得m=8.
法二:
因为(a+b)⊥b,所以(a+b)·b=0,即a·b+b2=3-2m+32+(-2)2=16-2m=0,解得m=8.
3.(重庆高考)设x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4)且a⊥c,b∥c,则|a+b|=( )
A.B.2
C.2D.10
解析:
选B 因为a⊥c,b∥c,所以有2x-4=0且2x+4=0,解得x=2,y=-2,
即a=(2,1),b=(1,-2).所以a+b=(3,-1),|a+b|=.
4.经过点A(1,0)且方向向量与d=(2,-1)垂直的直线方程为________.
解析:
设直线的方向向量为m=(1,k),
由m⊥d得2-k=0.
∴直线的斜率k=2,故所求直线的方程为y=2(x-1).
即2x-y-2=0.
答案:
2x-y-2=0
5.设向量a,b的夹角为θ,且a=(5,5),2b-a=(-1,1),则cosθ=________.
解析:
∵a=(5,5),∴2b=(5,5)+(-1,1)=(4,6).即b=(2,3).
又|a|=5,|b|=,且a·b=(5,5)·(2,3)=25.
∴cosθ===.
答案:
6.已知向量a=(1,2),b=(2,-2),
(1)设c=4a+b,求(b·c)a;
(2)若a+λb与a垂直,求λ的值;
(3)求向量a在b方向上的射影.
解:
(1)∵c=4(1,2)+(2,-2)=(6,6),
∴b·c=(2,-2)·(6,6)=2×6-2×6=0,
∴(b·c)a=0·a=0.
(2)∵a+λb=(1,2)+λ(2,-2)=(1+2λ,2-2λ),
(a+λb)⊥a
∴(1+2λ)+2(2-2λ)=0,
得λ=.
(3)法一:
设a与b的夹角为θ,
则cosθ===-.
∴向量a在b方向上的投影为
|a|cosθ=·(-)=-.
法二:
∵a·b=(1,2)·(2,-2)=-2,|b|=2.
∴向量a在b方向上的投影为
|a|cosθ===-.
一、选择题
1.若向量a=(1,2),b=(1,-1),则2a+b与a-b的夹角等于( )
A.- B.
C.D.
解析:
选C 因为2a+b=(2,4)+(1,-1)=(3,3),
a-b=(0,3),
所以|2a+b|=3,|a-b|=3.
设2a+b与a-b的夹角为θ,
则cosθ===,
又θ∈[0,π],
所以θ=.
2.已知向量a=(3,4),b=(2,-1),如果向量a+xb与-b垂直,则x的值为( )
A.-B.
C.D.2
解析:
选A ∵a+xb=(3,4)+x(2,-1)=(3+2x,4-x),
-b=(-2,1),且(a+xb)⊥(-b),
∴-2(3+2x)+(4-x)=0,得x=-.
3.已知向量a=(2,1),a·b=10,|a+b|=5,则|b|=( )
A.B.
C.5D.25
解析:
选C 法一:
设b=(x,y),
则a·b=2x+y=10 ①,
又a+b=(x+2,y+1),|a+b|=5,
∴(x+2)2+(y+1)2=50 ②
①与②联立得或
∴|b|==5.
法二:
由|a+b|=5得a2+2a·b+b2=50,
即5+20+b2=50
∴b2=25|b|=5.
4.已知=(4,2),=(k,-2),若△ABC为直角三角形,则k等于( )
A.1B.6
C.1或6D.1或2或6
解析:
选C 当A=90°时,⊥,则4k-4=0,k=1;
当B=90°时,⊥,又=-=(k-4,-4)
∴4(k-4)+2×(-4)=0解得k=6;
当C=90°时,⊥,则k(k-4)+(-2)×(-4)=0
即k2-4k+8=0,无解.
故k=1或6.
二、填空题
5.(安徽高考)设向量a=(1,2m),b=(m+1,1),c=(2,m).若(a+c)⊥b,则|a|=________.
解析:
由题意知,a+c=(3,3m),
(a+c)·b=3(m+1)+3m=0,解得m=-,
即a=(1,-1),|a|==.
答案:
6.(新课标全国卷Ⅰ)已知两个单位向量a,b的夹角为
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