高考数学艺术生百日冲刺专题19考前模拟卷Word格式.docx
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∴≤≤,即≤x≤,∴P==.故选:
A.
4.(2018•威海二模)已知命题p:
“∀a>b,|a|>|b|”,命题q:
“
的是( )
A.p∧qB.¬p∧¬qC.p∨qD.p∨¬q
”,则下列为真命题
1
∵命题p:
“∀a>b,|a|>|b|”是假命题,命题q:
题.故选:
”是真命题,∴p∨q是真命
5.如图1为某省2018年1~4月快递业务量统计图,图2是该省2018年1~4月快递业务收入统计图,
下列对统计图理解错误的是
A.2018年1~4月的业务量,3月最高,2月最低,差值接近2000万件
B.2018年1~4月的业务量同比增长率均超过50%,在3月最高
C.从两图来看,2018年1~4月中的同一个月的快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致
D.从1~4月来看,该省在2018年快递业务收入同比增长率逐月增长
【答案】D
6.(2019•泉州期中)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,则“Sn的最大值是S8”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
2
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
等差数列{an}的前n项和为Sn,则“Sn的最大值是S8”⇔a8>0,a9<0.
则“”⇔.
∴Sn的最大值是S8”是“
故选:
”的充要条件.
7.已知点P(2,1)是抛物线C:
x2=my上一点,A,B是抛物线C上异于P的两点,A,B在x轴上的射影
分别为A1,B1,若直线PA与直线PB的斜率之差为1,D是圆(x﹣1)2+(y+4)2=1上一动点,则△A1B1D
的面积的最大值为( )
(2)若b,a,c成等差数列,△ABC的面积为2,求a.
(1)∵asinB=bsin(A+).
∴由正弦定理可得:
sinAsinB=sinBsin(A+).
∵sinB≠0,
∴sinA=sin(A+).
∵A∈(0,π),可得:
A+A+=π,
∴A=.…………6分
(2)∵b,a,c成等差数列,
∴b+c=,
∵△ABC的面积为2,可得:
S△ABC=bcsinA=2,
∴=2,解得bc=8,
∴由余弦定理可得:
a2=b2+c2﹣2bccosA=(b+c)2﹣2bc﹣2bccos=(b+c)2﹣3bc=(a)2﹣24,
3
∴解得:
a=2.………………12分
18.如图所示,在四棱锥S—ABCD中,SA⊥平面ABCD,底面ABCD为直角梯形,其中AB∥CD,∠ADC=
90°
,AD=AS=2,AB=1,CD=3,点E在棱CS上,且CE=λCS.
(1)若,证明:
BE⊥CD;
(2)若,求点E到平面SBD的距离.
【解析】
(1)因为,所以,在线段CD上取一点F使,连接EF,BF,则EF∥SD且DF
=1.
因为AB=1,AB∥CD,∠ADC=90°
,
所以四边形ABFD为矩形,所以CD⊥BF.
又SA⊥平面ABCD,∠ADC=90°
所以SA⊥CD,AD⊥CD.
因为AD∩SA=A,所以CD⊥平面SAD,
所以CD⊥SD,从而CD⊥EF.
因为BF∩EF=F,所以CD⊥平面BEF.
又BE平面BEF,所以CD⊥BE.…………5分
4
(2)解:
由题设得,
又因为
所以
设点C到平面SBD的距离为h,则由VS—BCD=VC—SBD得,
因为,所以点E到平面SBD的距离为.…………12分
19..2018年8月8日是我国第十个全民健身日,其主题是:
新时代全民健身动起来.某市为了解全民健
身情况,随机从某小区居民中抽取了40人,将他们的年龄分成7段:
[10,20),[20,30),[30,40),
5
[40,50),[50,60),[60,70),[70,80]后得到如图所示的频率分布直方图.
(1)试求这40人年龄的平均数、中位数的估计值;
(2)(ⅰ)若从样本中年龄在[50,70)的居民中任取2人赠送健身卡,求这2人中至少有1人年龄不低
于60岁的概率;
(ⅱ)已知该小区年龄在[10,80]内的总人数为2000,若18岁以上(含18岁)为成年人,试估计该小
区年龄不超过80岁的成年人人数.
(1)平均数.
前三组的频率之和为0.15+0.2+0.3=0.65,故中位数落在第3组,设中位数为x,
则(x-30)×
0.03+0.15+0.2=0.5,解得x=35,即中位数为35.…………5分
(2)(ⅰ)样本中,年龄在[50,70)的人共有40×
0.15=6人,其中年龄在[50,60)的有4人,设为a,
b,c,d,年龄在[60,70)的有2人,设为x,y.
则从中任选2人共有如下15个基本事件:
(a,b),(a,c),(a,d),(a,x),(a,y),(b,c),(b,d),
(b,x),(b,y),(c,d),(c,x),(c,y),(d,x),(d,y),(x,y).
至少有1人年龄不低于60岁的共有如下9个基本事件:
(a,x),(a,y),(b,x),(b,y),(c,x),(c,y),(d,x),(d,y),(x,y).
记“这2人中至少有1人年龄不低于60岁”为事件A,
6
故所求概率.…………9分
(ⅱ)样本中年龄在18岁以上的居民所占频率为1-(18-10)×
0.015=0.88,
故可以估计,该小区年龄不超过80岁的成年人人数约为2000×
0.88=1760.……12分
20.已知椭圆E:
(a>b>0)过点P(),其上顶点B(0,b)与左右焦点F1,F2构
成等腰三角形,且∠F1BF2=120°
.
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)以点B(0,b)为焦点的抛物线C:
x2=2py(p>0)上的一动点P(m,yp),抛物线C在点P处的
切线l与椭圆E交于P1P2两点,线段P1P2的中点为D,直线OD(O为坐标原点)与过点P且垂直于x轴的
直线交于点M,问:
当0<m≤b时,△POM面积是否存在最大值?
若存在,求出最大值,若不存在说明理
由.
(Ⅰ)由已知得:
a=2b,+=1,
解得b2=1,a2=4.
故椭圆E的方程为:
+y2=1.………………4分
(Ⅱ)抛物线C的焦点B(0,1),则其方程为x2=4y.y′=x.
于是抛物线上点P(m,),则在点P处的切线l的斜率为k=y′|x=m=,
故切线l的方程为:
y﹣=(x﹣m),即y=x﹣.…………6分
由方程组,消去y,整理后得(m2+1)x2﹣m3x+﹣4=0.
由已知直线l与椭圆交于两点,则△=m6﹣4(m2+1)(﹣4)>0.
解得0≤m2<8+4,其中m=0是不合题意的.
∴﹣<m<0,或0<m<.
7
设P1(x1,y1),P2(x2,y2),则xD==.…………8分
代入l的方程得yD=.
故直线OD的方程为:
x,即y=﹣x.
当x=m时,y=﹣,即点M.
△POM面积S=|PM|•m=m=+m.
∵S′=m2+>0,
故S关于m单调递增.
∵0<m≤1,∴当m=1时,△POM面积最大值为.…………12分
21已知函数.
(1)若函数f(x)在[1,+∞)上是单调递减函数,求a的取值范围;
(2)当-2<a<0时,证明:
对任意x∈(0,+∞),.
【解析】
(1)解:
由题意得.
即在上恒成立,
所以.…………3分
(2)证明:
由
(1)可知,
所以在上单调递增,在上单调递减,
因为,
所以,
8
即
,即
所以.…………12分
22.(10分)以直角坐标系的原点O为极点,x轴正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,
已知直线l的参数方程为,(t为参数,0<θ<π),曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣2cosθ=0.
(1)求曲线C的直角坐标方程;
(2)设直线l与曲线C相交于A,B两点,当θ变化时,求|AB|的最小值.
【分析】
(1)利用极坐标与直角坐标的转化方法,求曲线C的直角坐标方程;
(2)将直线l的参数方程代入y2=2x,得t2sin2θ﹣2tcosθ﹣1=0,利用参数的几何意义,求|AB|的最小值.
23.设函数f(x)=|x﹣1|﹣|2x+1|的最大值为m.
(Ⅰ)作出函数f(x)的图象;
(Ⅱ)若a2+2c2+3b2=m,求ab+2bc的最大值.
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(Ⅰ)函数f(x)=|x﹣1|﹣|2x+1|=,
画出图象如图,
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当x=﹣时,函数f(x)取得最大值为m=.
∵a2+2c2+3b2=m==(a2+b2)+2(c2+b2)≥2ab+4bc,
∴ab+2bc≤,当且仅当a=b=c=1时,取等号,
故ab+2bc的最大值为.
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