立体几何垂直证明题常见模型及方法精编版docWord下载.docx
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B
G
F
变式3如图,在三棱锥PABC中,⊿PAB是等边三角形,∠
PAC=∠PBC=90o证明:
AB⊥PC
类型二:
线面垂直证明
方法○1利用线面垂直的判断定理
例2:
A1O平面BDE
变式1:
在正方体ABCD
A1B1C1D1中,,求证:
AC1
平面BDC1
变式2:
如图:
直三棱柱
ABC-A1B1C1中,AC=BC=AA1=2,∠ACB=90.E为BB1
的中点,D点在AB上且DE=3.
求证:
CD⊥平面A1ABB1;
2
3
:
如图,在四面体
中,O、E
分别是
BD、BC
的中点,
CA
CB
CD
BD2,AB
AD
2.
A
AO
平面BCD;
O
C
变式4如图,在底面为直角梯形的四棱锥
PABCD中,
AD∥BC,
ABC90°
,PA
平面ABCD.PA3,AD
2,AB
23,BC
6
1求证:
BD
平面PAC
利用面面垂直的性质定理
例3:
在三棱锥P-ABC中,PA
底面ABC,面PAC
面PBC,求证:
BC
面PAC。
方法点拨:
此种情形,条件中含有面面垂直。
变式1,在四棱锥PABCD,底面ABCD是正方形,侧面PAB是等腰三角形,且
面PAB底面ABCD,求证:
BC面PAB
类型3:
面面垂直的证明。
(本质上是证明线面垂直)
例1如图,已知AB
平面ACD,DE
平面ACD,△ACD为等边三角形,
DE2AB,F为CD的中点.
(1)
AF//平面BCE;
(2)
平面BCE平面CDE;
CD
例2
如图,在四棱锥
ABC
PA
底面
中,
,
AD,AC
CD,ABC60°
ABBC,E是PC的中点.
(1)证明CD
AE;
(2)证明PD
平面ABE;
变式1已知直四棱柱ABCD—A′B′C′D′的底面是菱形,
棱CC′与BB′上的点,且EC=BC=2FB=2.
(1)求证:
平面AEF⊥平面AA′C′C;
AD
ABC60,E、F分别是
4
举一反三
1.设M表示平面,a、b表示直线,给出下列四个命题:
a//b
a
M
a//M
①
bM
②
b
③
b∥M④
b⊥M.
其中正确的命题是
(
)
A.①②
B.①②③
C.②③④
D.①②④
2.下列命题中正确的是
A.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线,则这条直线垂直于这个平面
B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,则这条直线垂直于这个平面C.若一条直线平行于一个平面,则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线
D.若一条直线垂直于一个平面,则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面
3.如图所示,在正方形ABCD中,E、F分别是AB、BC的中点.现在沿DE、DF及EF
把△ADE、△CDF和△BEF折起,使A、B、C三点重合,重合后的点记为P.那么,在四面
体P—DEF中,必有()
A.DP⊥平面PEF
B.DM⊥平面PEF
C.PM⊥平面DEF
D.PF⊥平面DEF
4.设a、b是异面直线,下列命题正确的是
A.过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和
a、b都相交
B.过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和
a、b都垂直
C.过a一定可以作一个平面与
b垂直
第3题图
D.过a一定可以作一个平面与
b平行
5.如果直线l,m与平面α,β,γ满足:
l=β∩γ,l∥α,mα和m⊥γ,那么必有()
A.α⊥γ且l⊥m
B.α⊥γ且m∥β
C.m∥β且l⊥m
D.α∥β且α⊥γ
6.AB是圆的直径,
C是圆周上一点,PC垂直于圆所在平面,若
BC=1,AC=2,PC=1,则
P到AB的距离为
()
A.1
B.2
5
C.
D.
55
7.有三个命题:
①垂直于同一个平面的两条直线平行;
②过平面α的一条斜线l有且仅有一个平面与α垂直;
③异面直线a、b不垂直,那么过a的任一个平面与b都不垂直
其中正确命题的个数为()
A.0B.1C.2D.3
8.d是异面直线a、b的公垂线,平面α、β满足a⊥α,b⊥β,则下面正确的结论是
()
A.α与β必相交且交线m∥d或m与d重合
B.α与β必相交且交线m∥d但m与d不重合
C.α与β必相交且交线m与d一定不平行
D.α与β不一定相交
9.设l、m为直线,α为平面,且l⊥α,给出下列命题
①若m⊥α,则m∥l;
②若m⊥l,则m∥α;
③若m∥α,则m⊥l;
④若m∥l,则
m⊥α,
其中真命题的序号是()
...
A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④
10.已知直线l⊥平面α,直线m平面β,给出下列四个命题:
①若α∥β,则l⊥m;
②若α⊥β,则l∥m;
③若l∥m,则α⊥β;
④若l⊥m,则α∥β.
其中正确的命题是()
A.③与④B.①与③C.②与④D.①与②
二、思维激活
11.如图所示,△ABC是直角三角形,AB是斜边,三个顶点在平面α的同侧,它们在α内的射影分别为A′,B′,C′,如果△A′B′C′是正三角形,且AA′=3cm,BB′=
5cm,CC′=4cm,则△A′B′C′的面积是.
第11题图
第13题图
第12
题图
12.如图所示,在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中,当底面四边形
ABCD满足条件
时,
有A1C⊥B1D1(注:
填上你认为正确的一种条件即可
不必考虑所有可能的情形)
13.如图所示,在三棱锥V—ABC中,当三条侧棱VA、VB、VC之间满足条件
时,
有VC⊥AB.(注:
三、能力提高
14.如图所示,三棱锥V-ABC中,AH⊥侧面VBC,且H是△VBC的垂心,BE是VC边上的
高.
(1)求证:
VC⊥AB;
(2)若二面角E—AB—C的大小为30°
求VC与平面ABC
所成角的大小.
第14题图
15.如图所示,PA⊥矩形ABCD所在平面,M、N分别是AB、PC的中点.
(1)求证:
MN∥平面PAD.
(2)求证:
MN⊥CD.
(3)若∠PDA=45°
,求证:
MN⊥平面PCD.
第15题图
16.如图所示,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是平行四边形,∠BAD=60°
,AB
=4,AD=2,侧棱PB=15,PD=3.
BD⊥平面PAD.
(2)若PD与底面ABCD成60°
的角,试求二面角P—BC—A的大小.
第16题图
17.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°
∠BAC=30°
BC=1,AA1=6,M是CC1
的中点,求证:
AB1⊥A1M.
18.如图所示,正方体ABCD—A′B′C′D′的棱长为a,M是AD的中点,N是BD′上一点,且D′N∶NB=1∶2,MC与BD交于P.
NP⊥平面ABCD.
(2)求平面PNC与平面CC′D′D所成的角.
(3)求点C到平面D′MB的距离.
第18题图
7
第4课线面垂直习题解答
1.A两平行中有一条与平面垂直,则另一条也与该平面垂直,垂直于同一平面的两直线平
行.
2.C
由线面垂直的性质定理可知.
3.A
折后DP⊥PE,DP⊥PF,PE⊥PF.
4.D
过a上任一点作直线
b′∥b,则a,b′确定的平面与直线b平行.
5.A
m⊥γ且m
α,则必有α⊥γ,又因为l=β∩γ则有l
γ,而m⊥γ则l⊥m,
故选A.
6.D
P作PD⊥AB于D,连CD,则CD⊥AB,AB=
ACBC
ACBC2
CD,
AB5
∴PD=PC2
CD2
7.D由定理及性质知三个命题均正确.
8.A显然α与β不平行.
9.D垂直于同一平面的两直线平行,两条平行线中一条与平面垂直,则另一条也与该平面
垂直.
10.B∵α∥β,l⊥α,∴l⊥m
11.3cm2设正三角A′B′C′的边长为a.
∴AC2=a2+1,BC2=a2+1,AB2=a2+4,又AC2+BC2=AB2,∴a2=2.
S△A′B′C′=
3a2
3cm2.
12.在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中当底面四边形
ABCD满足条件AC⊥BD(或任何能推导出
这个条件的其它条件,例如
ABCD是正方形,菱形等)时,有A1C⊥B1D1(注:
填上你认为正确
的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形).
点评:
本题为探索性题目,由此题开辟了填空题有探索性题的新题型,
此题实质考查了
三垂线定理但答案不惟一,要求思维应灵活.
13.VC⊥VA,VC⊥AB.由VC⊥VA,VC⊥AB知VC⊥平面VAB.
14.
(1)证明:
∵H为△VBC的垂心,
∴VC⊥BE,又AH⊥平面VBC,
∴BE为斜线AB在平面VBC上的射影,∴AB⊥VC.
(2)解:
由
(1)知VC⊥AB,VC⊥BE,
∴VC⊥平面ABE,在平面ABE上,作ED⊥AB,又AB⊥VC,
∴AB⊥面DEC.
∴AB⊥CD,∴∠EDC为二面角E—AB—C的平面角,∴∠EDC=30°
∵AB⊥平面VCD,
8
∴VC在底面ABC上的射影为CD.
∴∠VCD为VC与底面ABC所成角,又VC⊥AB,VC⊥BE,
∴VC⊥面ABE,∴VC⊥DE,
∴∠CED=90°
故∠ECD=60°
∴VC与面ABC所成角为60°
15.证明:
(1)如图所示,取PD的中点E,连结AE,EN,
则有EN∥CD∥AB∥AM,EN=1CD=1AB=AM,故AMNE为平行四边形.
22
∴MN∥AE.
∵AE平面PAD,MN平面PAD,∴MN∥平面PAD.
(2)∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AB.
又AD⊥AB,∴AB⊥平面PAD.
∴AB⊥AE,即AB⊥MN.
又CD∥AB,∴MN⊥CD.
第15题图解
(3)∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AD.
又∠PDA=45°
,E为PD的中点.
∴AE⊥PD,即MN⊥PD.又MN⊥CD,
∴MN⊥平面PCD.
16.如图
(1)证:
由已知AB=4,AD=2,∠BAD=60°
·
ABcos60°
=4+16-2×
2×
4×
=12.
故BD
=AD
+AB-2AD
又AB2=AD2+BD2,
∴△ABD是直角三角形,∠ADB=90°
即AD⊥BD.在△PDB中,PD=3,PB=15,BD=12,
∴PB2=PD2+BD2,故得PD⊥BD.又PD∩AD=D,
∴BD⊥平面PAD.
(2)由BD⊥平面PAD,BD平面ABCD.∴平面PAD⊥平面ABCD.作PE⊥AD于E,
又PE平面PAD,
第16题图解
∴PE⊥平面ABCD,∴∠PDE是PD与底面ABCD所成的角.
∴∠PDE=60°
,∴PE=PDsin60°
=
作EF⊥BC于F,连PF,则PF⊥BF,
∴∠PFE是二面角P—BC—A的平面角.
又EF=BD=12,在Rt△PEF中,
PE
tan∠PFE=
23
EF
故二面角P—BC—A的大小为arctan3.
9
17.连结AC1,∵
AC
CC1
MC1
C1A1
∴Rt△ACC1∽Rt△MC1A1,∴∠AC1C=∠MA1C1,
∴∠A1MC1+∠AC1C=∠A1MC1+∠MA1C1=90°
.
∴A1M⊥AC1,又ABC-A1B1C1为直三棱柱,
∴CC1⊥B1C1,又B1C1⊥A1C1,∴B1C1⊥平面AC1M.
由三垂线定理知AB1⊥A1M.
要证AB1⊥A1M,因B1C1⊥平面AC1,由三垂线定理可转化成证
AC1⊥A1M,而
⊥
一定会成立.
AC1A1M
18.
(1)证明:
在正方形ABCD中,
∵△MPD∽△CPB,且MD=1
BC,
∴DP∶PB=MD∶BC=1∶2.
又已知D′N∶NB=1∶2,
由平行截割定理的逆定理得NP∥DD′,又DD′⊥平面ABCD,
∴NP⊥平面ABCD.
(2)∵NP∥DD′∥CC′,
∴NP、CC′在同一平面内,CC′为平面NPC与平面CC′D′D所成二面角的棱.
又由CC′⊥平面ABCD,得CC′⊥CD,CC′⊥CM,
∴∠MCD为该二面角的平面角.
在Rt△MCD中可知
∠MCD=arctan1,即为所求二面角的大小.
(3)由已知棱长为
a可得,等腰△MBC面积S1=a2
,等腰△MBD′面积S2=
a2,设所
求距离为h,即为三棱锥
C—D′MB的高.
∵三棱锥D′—BCM体积为1SDD
1Sh,
S1a
6a.
∴h
S2
10
空间中的计算
基础技能篇
点到面的距离
方法1:
直接法—把点在面上的射影查出来,然后在直角三角形中计算例1:
在正四面体ABCD中,边长为a,求点A到面BCD的距离。
变式1在正四棱锥V-ABCD中,底面ABCD边长为a,侧棱长为b.求顶点V到底面ABCD的距离。
变式2在正四棱锥V-ABCD中,底面ABCD边长为a,侧棱长为b.求顶点A到底面VCD的距离。
方法2:
等体积法求距离---在同一个三棱锥中利用体积不变原理,通过转换不同的底和高来达到目的。
例2已知在三棱锥V—ABC中,VA,VB,VC两两垂直,VA=VB=3,VC=4,求点V到面ABC的距离。
如图所示的多面体是由底面为
ABCD的长方体被截面
AEC1F所截而得到的,其
中AB4,BC2,CC13,BE1.
(1)求BF的长;
(2)求点C到平面AEC1F的距离.
变式2
如图,在四棱锥O
ABCD中,底面ABCD是四边长为
1的菱形,ABC
OA
面ABCD,OA
2,.求点B到平面OCD的距离.
11
BC
变式3在正四面体ABCD中,边长为a,求它的内切求的半径。
其它种类的距离的计算(点到线,点到点)
例3如图,在四棱锥O
1的菱形,ABC,OA
面ABCD,OA2
M为OC的中点,求AM和点A到直线OC的距离.
1.正三棱锥P-ABC高为2,侧棱与底面所成角为45,则点A到侧面PBC的距离是
A.45B
.65
C.6D.46
2.如图,已知正三棱柱
ABC
A1B1C1的底面边长为1,高为8,一质点自A点
出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周..到达A1点的最短路线的长为
A.10B.20
.30D.40
二、填空题:
3.太阳光照射高为
m的竹竿时,它在水平地面上的射影
为1m,同时,照射地面上一圆球时,如图所示,其影子
的长度AB等于3
3cm,则该球的体积为_________.
4.若一个正三棱柱的三视图如下图所示,则这个正三棱柱的高和底面边长分别为___
主视图
左视图俯视图
.
三、解答题:
5.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为1,M是底面BC边上的中点,N是侧棱CC1上的点,且CN=2C1N.求点B1到平面AMN的距离.
6.一个多面体的直观图及三视图如图所示:
(其中M、N分别是AF、BC的中点).
12
MN∥平面CDEF;
(2)求多面体A—CDEF的体积.
7.一个多面体的直观图和三视图如图所
示,其中M、N分别是AB、AC的中点,
G是DF上的一动点.
GNAC;
(2)当FG=GD时,在棱AD上确定一点P,使得GP//平面FMC,并给出证明.
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