中考专题练习直角三角形的存在性问题无答案Word格式文档下载.docx
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知识精讲
1、知识内容:
在以函数为背景的此类压轴题中,坐标轴作为一个“天然”的直角存在,在解题时经常会用到,作出垂直于坐标轴的直线来构造直角。
另外,较困难的情况则需要用到全等/相似或者勾股定理的计算来确定直角三角形.
2、解题思路:
(1)按三个角分别可能是直角的情况进行讨论;
(2)计算出相应的边长等信息;
(3)根据边长与已知点的坐标,计算出相应的点的坐标.
例题解析
【例1】如图,抛物线
与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.
(1)求点A、B的坐标;
x
y
A
B
C
O
(2)若直线l过点E(4,0),M为直线l上的动点,当以A、B、M为顶点所作的直
角三角形有且只有三个时,求直线l的解析式.
【例2】在平面直角坐标平面内,O为原点,二次函数
的图像经过点
A(
,0)和点B(0,3),顶点为P.
(1)求二次函数解析式及点P的坐标;
(2)如果点Q是x轴上一点,以点A、P、Q为顶点的三角形是直角三角形,求点Q的坐标.
1、解题思路:
(2)运用相似/全等、勾股定理等方法,计算出相应的边长.
【例3】如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上,OA=4,OC=2.点P从点O出发,沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,当点P到达点A时停止运动,设点P运动的时间是t秒.将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90°
得点D,点D随点P的运动而运动,连接DP、DA.
(1)请用含t的代数式表示出点D的坐标;
D
P
(2)在点P从O向A运动的过程中,
能否成为直角三角形?
若能,求t的值.若
不能,请说明理由.
【例4】如图,在
中,CA=CB,AB=8,
.点D是AB边上的一个动点,点E与点A关于直线CD对称,联结CE、DE.
(1)求底边AB上的高;
(2)设CE与AB交于点F,当
为直角三角形时,求AD的长;
E
(3)联结AE,当
是直角三角形时,求AD的长.
【例5】如图,已知
为等边三角形,AB=6,点P是AB上的一个动点(与A、B不重合),过点P作AB的垂线与BC交于点D,以点D为正方形的一个顶点,在
内作正方形DEFG,其中D、E在BC上,F在AC上.
(1)设BP的长为x,正方形DEFG的边长为y,写出y与x的函数关系式及定义域;
(2)当BP=2时,求CF的长;
(3)
是否可能成为直角三角形?
若能,求出BP的长;
若不能,请说明理由.
【例6】如图,在
中,
,AC=4cm,BC=5cm,点D在BC上,并且CD=3cm.现有两个动点P、Q分别从点A、B同时出发,其中点P以1cm/s的速度,沿AC向终点C移动;
点Q以1.25cm/s的速度沿BC向终点C移动.过点P作PE//BC交AD于点E,联结EQ.设动点运动时间为x(s).
(1)用含x的代数式表示AE、DE的长度;
(2)当x为何值时,
为直角三角形.
随堂检测
【习题1】如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图像经过点A(
,0)、B(4,0)、C(0,2).点D是点C关于原点的对称点,联结BD,点E是x轴上的一个动点,设点E的坐标为(m,0),过点E作x轴的垂线l交抛物线于点P.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)当点E在线段OB上运动时,直线l交BD于点Q,当四边形CDQP是平行四边
形时,求m的值;
(3)是否存在点P,使
是不以BD为斜边的直角三角形,如果存在,请直接写
出点P的坐标;
如果不存在,请说明理由.
【习题2】如图,在Rt
中,∠ACB=90°
,AB=13,CD//AB,点E为射线CD上一动点(不与点C重合),联结AE交边BC于F,∠BAE的平分线交BC于点G.
(1)当CE=3时,求S△CEF∶S△CAF的值;
(2)设CE=x,AE=y,当CG=2GB时,求y与x之间的函数关系式;
(3)当AC=5时,联结EG,若
为直角三角形,求BG的长.
G
F
课后作业
【作业1】如图,已知在平面直角坐标系中,点A的坐标为(
,0),点B是点A关于原点的对称点,P是函数
(
)图像上的一点,且
是直角三角形,求点P的坐标.
【作业2】如图,在
中,AB=AC=10,cosB=
.D、E为线段BC上的两个动点,且DE=3(E在D右边),运动初始时D和B重合,当E和C重合时运动停止.过E作EF//AC交AB于F,联结DF.
(1)设BD=x,EF=y,求y关于x的函数关系式,并写出定义域;
(2)如果
为直角三角形,求
的面积;
(3)如图2,如果MN过
的重心,且MN//BC分别交FD、FE于M、N,求整
个运动过程中线段MN扫过的区域的形状和面积(直接写出答案).
图1图2
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