约束最优化问题的最优性条件-课件.ppt
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约束最优化问题的最优性条件-课件.ppt
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,理论部分,约束最优性条件,等式约束问题,一阶必要条件,定理1:
若,
(1),是等式约束问题的局部最优解;,
(2),与,在,的某邻域内,连续可微;,(3),线性无关;,则存在一组不全为零的实数,使得:
二阶充分条件,定理2:
对等式约束问题,若:
(1),与,是二阶连续,可微函数;,
(2),与,使:
(3),且,且,均有,则,是等式约束问题的严格局部极小点,不等式约束问题,定义1:
有效约束:
若
(2)中的一个可行点,使得,某个不等式约束,变成等式,,即,则,称为关于,的有效约束,非有效约束:
若对,则,称为,关于,的非有效约束,有效集:
定义2:
锥:
的子集,,如果它关于正的数乘运算,是封闭的,如果锥也是凸集,则称为凸锥,凸锥关于加法和正的数乘运算是封闭的,定理3:
在
(2)中,假设:
(1),为
(2)的局部最优解且,
(2),与,在,点可微;,(3),在,点连续;,则,与,交为空,例1:
确定:
在点,处的可行下降方向.,解:
设,一阶必要条件,定理4:
(Fritz-John一阶必要条件)(1948),设,为问题
(2)的局部最优解且,在,点可微,,则存在非零向量,使得:
例2:
验证是否满足Fritz-John条件:
验证,处Fritz-John条件是否成立?
解:
取,总有,成立,一阶必要条件,定理5:
(Kuhn-Tucker一阶必要条件)(1951),设,为问题
(2)的局部最优解,在,点可微,,对于,的,线性无关,,则存在非零向量,使得:
例3:
验证是否满足Kuhn-Tucker条件:
验证,处kuhn-Tucker条件是否成立?
解:
对,所以,不是KT点,原因是,线性相关,一般约束问题,一阶必要条件,定理6:
(Kuhn-Tucker一阶必要条件),设,为问题(3)的局部最优解,在,点可微,,对于,的,线性无关,,则存在非零向量,使得:
例4:
验证是否满足Kuhn-Tucker条件:
试验证最优点,为KT点,解:
令,所以,即:
所以:
是KT点,二阶必要条件,定理7:
设,是(3)的最优解且函数,与,是二阶连续,可微函数.,又设,约束规范条件在点,成立,,从而存在,使,KT条件成立,如果严格互补松弛条件在,成立,则:
对一切满足,的方向,均成立,二阶充分条件,定理8:
设,(3)的函数,与,是二阶连续,可微函数.,又设,约束规范条件在点,成立,,若存在,使,KT条件成立,如果严格互补松弛条件在,成立,,且对所有,满足,的非零向量,有:
则,是问题(3)的一个严格局部最优解,
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