中考二次函数压轴试题分类汇编及答案.docx
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中考二次函数压轴题分类汇编
一.极值问题
1.二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(﹣1,4),且与直线y=﹣x+1相交于A、B两点(如图),A点在y轴上,过点B作BC⊥x轴,垂足为点C(﹣3,0).
(1)求二次函数的表达式;
(2)点N是二次函数图象上一点(点N在AB上方),过N作NP⊥x轴,垂足为点P,交AB于点M,求MN的最大值;
(3)在
(2)的条件下,点N在何位置时,BM与NC相互垂直平分?
并求出所有满足条件的N点的坐标.
分析:
(1)首先求得A、B的坐标,然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式;
(2)设M的横坐标是x,则根据M和N所在函数的解析式,即可利用x表示出M、N的坐标,利用x表示出MN的长,利用二次函数的性质求解;
(3)BM与NC互相垂直平分,即四边形BCMN是菱形,则BC=MC,据此即可列方程,求得x的值,从而得到N的坐标.
解:
(1)由题设可知A(0,1),B(﹣3,),
根据题意得:
,解得:
,
则二次函数的解析式是:
y=﹣﹣x+1;
(2)设N(x,﹣x2﹣x+1),则M、P点的坐标分别是(x,﹣x+1),(x,0).
∴MN=PN﹣PM=﹣x2﹣x+1﹣(﹣x+1)=﹣x2﹣x=﹣(x+)2+,
则当x=﹣时,MN的最大值为;
(3)连接MN、BN、BM与NC互相垂直平分,
即四边形BCMN是菱形,由于BC∥MN,即MN=BC,且BC=MC,
即﹣x2﹣x=,且(﹣x+1)2+(x+3)2=,解得:
x=1,
故当N(﹣1,4)时,MN和NC互相垂直平分.
点评:
本题是待定系数法求二次函数的解析式,以及二次函数的性质、菱形的判定的综合应用,利用二次函数的性质可以解决实际问题中求最大值或最小值问题.
2.如图,抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C(0,﹣4),与x轴交于点A,B,且B点的坐标为(2,0)
(1)求该抛物线的解析式.
(2)若点P是AB上的一动点,过点P作PE∥AC,交BC于E,连接CP,求△PCE面积的最大值.
(3)若点D为OA的中点,点M是线段AC上一点,且△OMD为等腰三角形,求M点的坐标.
考点:
二次函数综合题.
分析:
(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式;
(2)首先求出△PCE面积的表达式,然后利用二次函数的性质求出其最大值;
(3)△OMD为等腰三角形,可能有三种情形,需要分类讨论.
解答:
解:
(1)把点C(0,﹣4),B(2,0)分别代入y=x2+bx+c中,
得,
解得
∴该抛物线的解析式为y=x2+x﹣4.
(2)令y=0,即x2+x﹣4=0,解得x1=﹣4,x2=2,
∴A(﹣4,0),S△ABC=AB•OC=12.
设P点坐标为(x,0),则PB=2﹣x.
∵PE∥AC,
∴∠BPE=∠BAC,∠BEP=∠BCA,
∴△PBE∽△ABC,
∴,即,
化简得:
S△PBE=(2﹣x)2.
S△PCE=S△PCB﹣S△PBE=PB•OC﹣S△PBE=×(2﹣x)×4﹣(2﹣x)2
=x2﹣x+
=(x+1)2+3
∴当x=﹣1时,S△PCE的最大值为3.
(3)△OMD为等腰三角形,可能有三种情形:
(I)当DM=DO时,如答图①所示.
DO=DM=DA=2,
∴∠OAC=∠AMD=45°,
∴∠ADM=90°,
∴M点的坐标为(﹣2,﹣2);
(II)当MD=MO时,如答图②所示.
过点M作MN⊥OD于点N,则点N为OD的中点,
∴DN=ON=1,AN=AD+DN=3,
又△AMN为等腰直角三角形,∴MN=AN=3,
∴M点的坐标为(﹣1,﹣3);
(III)当OD=OM时,
∵△OAC为等腰直角三角形,
∴点O到AC的距离为×4=,即AC上的点与点O之间的最小距离为.
∵>2,∴OD=OM的情况不存在.
综上所述,点M的坐标为(﹣2,﹣2)或(﹣1,﹣3).
点评:
本题是二次函数综合题,考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、等腰三角形等知识点,以及分类讨论的数学思想.第
(2)问将面积的最值转化为二次函数的极值问题,注意其中求面积表达式的方法;第(3)问重在考查分类讨论的数学思想,注意三种可能的情形需要一一分析,不能遗漏.
二.构成图形的问题
1.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠O)与y轴交于点C(O,4),与x轴交于点A和点B,其中点A的坐标为(-2,0),抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D,与直线BC交于点E2-1-c-n-j-y
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点,是否存在点F使四边形ABFC的面积为17,若存在,求出点F的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)平行于DE的一条动直线Z与直线BC相交于点P,与抛物线相交于点Q,若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的坐标。
考点:
二次函数综合题.
分析:
(1)把三点坐标代入函数式,列式求得a,b,c的值,即求出解析式;
(2)设存在点K,使得四边形ABFC的面积为17,根据点K在抛物线y=-x2+2x+3上设点K的坐标为:
(x,-x2+2x+3),根据S四边形ABKC=S△AOC+S梯形ONKC+S△BNK得到有关x的一元二次方程求出x即可..
(3)将x=1代入抛物线解析式,求出y的值,确定出D坐标,将x=1代入直线BC解析式求出y的值,确定出E坐标,求出DE长,将x=m代入抛物线解析式表示出F纵坐标,将x=m代入直线BC解析式表示出P纵坐标,两纵坐标相减表示出线段PQ,由DE与QP平行,要使四边形PEDQ为平行四边形,只需DE=PQ,列出关于m的方程,求出方程的解得到m的值,检验即可.
解:
(1)由抛物线经过点C(O,4)可得c=4,①∵对称轴x==1,∴b=-2a,②,
又抛物线过点A(一2,O)∴0=4a-2b+c,③
由①②③解得:
a=,b=1,c=4.所以抛物线的解析式是y=x+x+4
(2)假设存在满足条件的点F,如图如示,连接BF、CF、OF.
过点F分别作FH⊥x轴于H,FG⊥y轴于G.
设点F的坐标为(t,t2+t+4),其中O ∴△OBF=OB.FH=×4×(t2+4t+4)=一t2+2t+8,S△OFC=OC.FC=×4×t=2t ∴S四边形ABFC—S△AOC+S△OBF+S△OFC=4-t2+2t+8+2t=-t2+4t+12. 令一t2+4t+12=17,即t2-4t+5=0,则△=(一4)2-4×5=一4<0, ∴方程t2-4t+5=0无解,故不存在满足条件的点F. (3)设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠O),又过点B(4,0,),C(0,4) 所以,解得: ,所以直线BC的解析式是y=一x+4. 由y=x2+4x+4=一(x一1)2+,得D(1,), 又点E在直线BC上,则点E(1,3),于是DE=一3=. 若以D.E.P.Q为顶点的四边形是平行四边形,因为DE∥PQ,只须DE=PQ, 设点P的坐标是(m,一m+4),则点Q的坐标是(m,一t2+m+4). ①当O 由一m2+2m=,解得: m=1或3.当m=1时,线段PQ与DE重合,m=-1舍去, ∴m=-3,此时P1(3,1). ②当m 由m2—2m=,解得m=2±,经检验适合题意, 此时P2(2+,2一),P3(2一,2+). 综上所述,满足条件的点P有三个,分别是P1(3,1),P2(2+,2-),P3(2—,2十). 点评: 此题考查了二次函数综合题,涉及的知识有: 坐标与图形性质,一次函数与坐标轴的交点,抛物线与坐标轴的交点,平行四边形的判定,以及待定系数法求函数解析式,熟练掌握待定系数法是解本题第二问的关键.本题逻辑思维性强,需要耐心和细心,是道好题. 2.如图,三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形,点A、C分别是一次函数y=x+3的图象与y轴的交点,点B在二次函数的图象上,且该二次函数图象上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形. (1)试求b,c的值,并写出该二次函数表达式; (2)动点P从A到D,同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动,问: ①当P运动到何处时,有PQ⊥AC? ②当P运动到何处时,四边形PDCQ的面积最小? 此时四边形PDCQ的面积是多少? 考点: 二次函数综合题.3338333 分析: (1)根据一次函数解析式求出点A、点C坐标,再由△ABC是等腰三角形可求出点B坐标,根据平行四边形的性性质求出点D坐标,利用待定系数法可求出b、c的值,继而得出二次函数表达式. (2)①设点P运动了t秒时,PQ⊥AC,此时AP=t,CQ=t,AQ=5﹣t,再由△APQ∽△CAO,利用对应边成比例可求出t的值,继而确定点P的位置; ②只需使△APQ的面积最大,就能满足四边形PDCQ的面积最小,设△APQ底边AP上的高为h,作QH⊥AD于点H,由△AQH∽CAO,利用对应边成比例得出h的表达式,继而表示出△APQ的面积表达式,利用配方法求出最大值,即可得出四边形PDCQ的最小值,也可确定点P的位置. 解答: 解: (1)由y=﹣x+3,令x=0,得y=3,所以点A(0,3);令y=0,得x=4,所以点C(4,0), ∵△ABC是以BC为底边的等腰三角形,∴B点坐标为(﹣4,0),又∵四边形ABCD是平行四边形, ∴D点坐标为(8,3), 将点B(﹣4,0)、点D(8,3)代入二次函数y=x2+bx+c,可得, 解得: , 故该二次函数解析式为: y=x2﹣x﹣3. (2)①设点P运动了t秒时,PQ⊥AC,此时AP=t,CQ=t,AQ=5﹣t, ∵PQ⊥AC,∴△APQ∽△CAO,∴=,即=, 解得: t=. 即当点P运动到距离A点个单位长度处,有PQ⊥AC. ②∵S四边形PDCQ+S△APQ=S△ACD,且S△ACD=×8×3=12, ∴当△APQ的面积最大时,四边形PDCQ的面积最小, 当动点P运动t秒时,AP=t,CQ=t,AQ=5﹣t, 设△APQ底边AP上的高为h,作QH⊥AD于点H,由△AQH∽CAO可得: =, 解得: h=(5﹣t),∴S△APQ=t×(5﹣t)=(﹣t2+5t)=﹣(t﹣)2+, ∴当t=时,S△APQ达到最大值,此时S四边形PDCQ=12﹣=, 故当点P运动到距离点A个单位处时,四边形PDCQ面积最小,最小值为. 三.翻转问题 1.已知关于x的一元二次方程x2+2x+=0有两个不相等的实数根,k为正整数. (1)求k的值; (2)当次方程有一根为零时,直线y=x+2与关于x的二次函数y=x2+2x+的图象交于A、B两点,若M是线段AB上的一个动点,过点M作MN⊥x轴,交二次函数的图象于点N,求线段MN的最大值及此时点M的坐标; (3)将 (2)中的二次函数图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方,图象的其余部分保持不变,翻折后的图象与原图象x轴上方的部分组成一个“W”形状的新图象,若直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点,求b的值. 考点: 二次函数综合题.. 分析: (1)先根据一元二次方程根的情况利用判别式与0的关系可以求出k的值; (2)利用m先表示出M与N的坐标,再根据两点间的距离公式表示出MN的长度,根据二次函数的极值即可求出MN的最大长度和M的坐标; (3)根据图象的特点
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