等比数列的前n项和教案Word文件下载.docx
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23?
?
263,同时告诉学生一个抽象的答案,如果按西萨的要求,这是一个多么巨大的数字啊!
它相当于全世界两千多年小麦产量的总和.
问题3:
1,2,22,?
,263是什么数列?
有何特征?
应归结为什么数学问题呢?
探究一:
1?
263,记为s64?
263?
①式,注意观察每一项的特征,有何联系?
(学生会发现,后一项都是前一项的2倍)
探究二:
如果我们把每一项都乘以2,就变成了它的后一项,①式两边同乘以2则有2s64?
264?
②式.比较①、②两式,你有什么发现?
经过比较、研究,学生发现:
①、②两式有许多相同的项,把两式相减,相同的项就消去了,得到:
s64?
1,老师指出:
这就是错位相减法,并要求学生纵观全过程。
思考:
为什么①式两边要同乘以2呢?
(三).类比联想,解决问题
探究三:
如何将结论一般化,设等比数列?
an?
,首项为a1,公比为q,如何求前n项和为sn?
探究四:
在学生推导过程中,由(1?
q)sn?
a1?
a1q,得到sn?
n
a1?
a1q1?
q
对不对?
探究五:
结合等比数列的通项公式an=a1qn-1,如何把sn用a1、an、q表示出来?
(引导学生得出公式的另一形式)
(四).例题讲解,形成技能
1111
......前8项和;
例1:
求等比数列,,,
24816
练习一:
根据下列条件,只需列出等比数列?
的
(1)a1=3,q=2,n=6,
sn的式子
sn=________________.
12
(2)a1=2.4,q=-1.5,an=
sn=_______________.
(3)等比数列1,2,4,?
从第五项到第十项的和s=___________.
例2:
等比数列{an}中,a2=9,a5=243,求s4和sn?
练习二:
等比数列{an}的公比q=(五)总结归纳,加深理解
,a8=1,求它的前8项和s8。
引导学生回顾公式、推导方法,鼓励学生积极回答,然后老师再从知识点及数学思想方法两方面总结。
(六).故事结束,首尾呼应
最后我们回到故事中的问题,西萨的第二个要求需要大约7380亿吨小麦,比第一个要求更加苛刻,显然国王兑现不了他的承诺。
同学们有什么办法帮助国王吗?
让西萨自己去数他要的麦粒,事实上,假如他一秒钟数一粒,数完这些麦粒所需时间约是5800亿年。
六.课后作业
必做:
p24习题三第三题
(1)
(2)
七、教学评价与反馈
根据高二职高学生的特点、教材内容、遵循因材施教原则和启发性教学思想,本节课的教学策略与方法我采用规则学习和问题解决策略,即“案例—公式—应用”,案例为浅层次要求,使学生有概括印象。
公式为中层次要求,由浅入深,重难点集中推导讲解,便于突破。
应用为综合要求,多角度、多情境中消化巩固
【篇二:
《等比数列的前n项和》教学案例设计】
《等比数列的前n项和》教学案例设计
一、设计思想
1、设计理念
本课的教学设计基于“人人都能获得必要得数学”即平等性的考虑,坚持面向全
体学生,努力设计“适合学生发展得数学教育”,体现“人人学数学”,“不同
的人学不同的数学”的理念。
教学中强调“培养学生情感、态度与价值观”的重
要性,注重引导学生主动地进行探索,从而帮助学生树立正确的数学观,但又与
教师的设计问题与活动的引导密切结合,强调“活动”的内化,即在头脑中实现
必要的重构或认知结构的重组,从而引起真正的数学思维,提高思维的效益。
通
过联系学生的生活实际使其真正感到数学是有意义的,一方面培养学生的社会意
识,明确肯定“日常数学”的合理性等,另一方面,再调动学生生活经验的同时,
又应努力帮助他们清楚地去熟悉生活经验并上升到“学校数学”的必要性。
2、设计背景
传统的数学作业单调枯燥,脱离生活和学生实际,不利于学生个性和能力的发展。
在新课程标准的理念下,重新认识作业的意义和价值,突破传统,改变现状,树
立正确的作业观,创新作业方式,激发兴趣,发展学生数学素质,既注重基础知
识的巩固,更要注重学生思维和能力的发展,既要创新又要保证其科学有效,使
学生在做作业的过程中体验快乐、形成能力、学会合作、体验自主。
3、教材的地位与作用
本节教材在学生学习过等比数列的概念与性质的基础上,学习等比数列n前项和
公式,能用等比数列的前n项和公式解决相关求和问题。
探索公式的推导、体会
错位相减法以及分类讨论的思想方法。
本节内容基础知识和基本技能非常重要,
涉及的数学思想、方法较为丰富,因此是重点内容之一。
本设计是第一课时的教
学内容。
二、学习目标
⑴知识与技能
掌握等比数列的前n项和公式,能用等比数列的前n项和公式解决相关问题。
⑵过程与方法
通过等比数列的前n项和公式的推导过程,体会错位相减法以及分类讨论的思想
方法。
⑶情感、态度与价值观
通过对等比数列的学习,发展数学应用意识,逐步认识数学的科学价值、应用价
值,发展数学的理性思维。
教学重点
教学难点
错位相减法以及分类讨论的思想方法的掌握。
三、教学设想:
本节课采用探究式课堂教学模式,即在教学过程中,在教师的启发引导下,以学
生独立自主和合作交流为前提,以“正弦定理的发现”为基本探究内容,以四周
世界和生活实际为参照对象,为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题
的机会,让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动,将自己所学
知识应用于对任意三角形性质的深入探讨。
让学生在“活动”中学习,在“主动”
中发展,在“合作”中增知,在“探究”中创新。
设计思路如下:
四、教学过程
(一)创设问题情景
课前给出复习:
等比数列的定义及性质
课首给出引例:
“一个穷人到富人那里去借钱,原以为富人不愿意,哪知富人一
口答应了下来,但提出了如下条件:
在30天中,富人第一天借给穷人1万元,第二
天借给穷人2万元,以后每天所借的钱数都比上一天多1万;
但借钱第一天,穷人还
1分钱,第二天还2分钱,以后每天所还的钱数都是上一天的两倍,30天后互不相欠.
穷人听后觉得挺划算,本想定下来,但又想到此富人是吝啬出了名的,怕上当受骗,
所以很为难。
”请在座的同学思考讨论一下,穷人能否向富人借钱?
[设计一个学生比较感爱好的实际问题,吸引学生注重力,使其马上进入到研究者
的角色中来!
]
(二)启发引导学生数学地观察问题,构建数学模型。
学生直觉认为穷人可以向富人借钱,教师引导学生自主探求,得出:
(1+30)?
30=1+2++30==465(万元)穷人30天借到的钱:
s302
穷人需要还的钱:
s30=1+2+22++229=?
[直觉先行,思辨引路,在矛盾冲突中引发学生积极的思维!
教师紧接着把如何求s30=1+2+22++229=?
的问题让学生探究,
s30=1+2+22++229①若用公比2乘以上面等式的两边,得到
2s30=2+22++229+230②
若②式减去①式,可以消去相同的项,得到:
(分)≈1073(万元)>465(万元)s30=230-1=1073741823
答案:
穷人不能向富人借钱
(三)引导学生用“特例到一般”的研究方法,猜想数学规律。
提出问题:
如何推导等比数列前n项和公式?
(学生很自然地模仿以上方法
推导)
sn=a1+a1q+a1q2++a1qn-2+a1qn-1
(1)
qsn=a1q+a1q2++a1qn-1+a1qn
(2)
(1)-
(2)有(1-q)sn=a1-a1qn
q=1?
na1,?
sn=?
a1(1-qn)a1-anq,q≠1?
1-q=1-q?
推导等比数列前n项和sn的公式,教师引导讲完课本上的推导方法后,
教师:
还有没有其他推导方法?
(经过几分钟的思考,有学生举手发言)
学生a:
a2=a3==an=q∴a2+a3++an=q即a1a2an-1a1+a2++an-1
sn-a1=q∴sn=a1-anq(q≠1)sn-an1-q。
学生b:
sn=a1+a1q++a1qn-2+a1qn-1
=a1+qa1+a1q++a1qn-2=a1+qsn-1=a1+q(sn-an)=a1+qsn-anq
∴sn-qsn=a1-anq∴sn=a1-anq(q≠1)1-q()
[“特例→类比→猜想”是一种常用的科学的研究思路!
教师让学生进行各种尝试,探寻公式的推导的方法,同时抓住机会或创设问题情
景调动了学生参与问题讨论的积极性,培养学生的探究能力,发挥了组织者、推
进者和指导者的作用,而学生却是实实在在的主体活动者、成为发现者、创造者!
让学生享受成功的喜悦!
]
【基础知识形成性练习:
】
1、求下列等比数列的各项和:
1111
(1)1,3,9,?
,2187
(2)1,-,,-,,-248512
2、根据下列条件求等比数列{an}的前n项和sn
①a1=2,q=2,n=8②a1=8,q=2,an=
(四)数学应用
例1求等比数列1/2,1/4,1/8?
的
(1)前8项的和;
(2)第四项到第八项的和
11解:
(1)a1=,q=,n=82212
11(1-n)=255∴s8=2
12561-2
1
(2)a4=a1q3=,n=516
11(1-5)=31∴s=12561-2
在等比数列{an}中,
(1)已知a1=-4,q=2,求sn
(2)已知a1=1,ak=243,q=2求sk
例3:
在等比数列{an}中,s3=763,s6=求an22
[例1教师板演示范,强调解题的规范。
例2、例3学生分析解法,学生不会时要分析出不会做的症结所在,然后再由学生板演出解题过程。
【演练反馈巩固性练习:
1)在等比数列{an}中,
①已知a1=-1.5,a7=-96,求q和sn
②已知a3=4,s3=12,求q和a1
2)求数列1+a+a2+a3+an-1+(a≠0)的前n项和。
[允许学生对不会做的题目可以不做,只要分析出不会做的症结所在,就算完成了作业。
然后老师给出评价]
(六)布置作业
1、根据下列条件,求等比数列{an}的前n项和sn
①:
a1=3,q=2,n=6②:
a1=8,q=11,an=22
5,n=4④:
a1+a3=10,a4+a6=,③:
a2=0.12,a5=0.000964
2、在等比数列
①:
已知{an}中,a1=2,s3=26,求q和sn
=30,s3=115,求sn
}中,已知sn=48,s2n=60,求s3n②:
已知s23、在等比数列{an
2n-1s=1+3x+5x++(2n-1)x(x≠0)4、求和:
n
[作业要求:
允许学生对不会做的题目可以不做,只要分析出不会做的症结所在,就算完成了作业。
(七)板书设计
等比数列的前n项和
公式推导例题练习
注:
(七)课后反思
本节课授课对象为实验班的学生,学习基础较好。
同时,考虑到这是一节探究课,授课前并没有告诉学生授课内容。
教学设计从学生的角度出发,采用“教师设计问题与活动引导”与“学生积极主动探究”相结合的方法分成五个步骤层次分明
(1)创设问题情景、布疑激趣
(2)启发引导学生数学地观察问题,构建数学模型(3)探寻特例、提出猜想(4)数学应用(5)知识评估。
学生在未经预习不知等比数列求和公式和证明方法的前提下,在教师预设的思路中,一步步发现了公式并推导了公式,感受到了创造的快乐,激发了学习数学的爱好,教学的知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实。
(一)、通过创设教学情境,激活了学生思维。
从认知的角度看,情境可视为一种信息载体,一种知识产生的背景。
本节课数学情境的创设突出了以下两点:
1.从有利于学生主动探索设计数学情境。
新课标指出:
学生的数学学习内容应当是现实的、有趣的和富有挑战性的。
从心理学的角度看,青少年有一种好奇的心态、探究的心理。
因此,本教案紧紧地抓住高一学生的这一特征,利用“小故事”这一探索性的材料,精心设计教学情境,使学生在观察、实验、猜想、验证、推理等活动中,逐步形成创新意识。
2.以问题为导向设计教学情境。
“问题是数学的心脏”,本节课数学情境的设计处处以问题为导向:
“请在座的同学思考讨论一下,穷人能否向富人借钱?
”、“如何推导等比数列前n项和公式?
”、“还有没有其他推导方法?
”?
促使学生去思考问题,去发现问题。
【篇三:
等比数列的前n项和优秀教案】
一.教材分析
1.在教材中的地位和作用
在《数列》一章中,《等比数列的前n项和》是一项重要的基础内容,从知识体系来看,它不仅是《等差数列的前n项和》与《等比数列》的顺延,也是前面所学函数的延续,实质是一种特殊的函数。
而且还为后继深入学习提供了知识基础,同时错位相减法是一种重要的数学思想方法,是求解一类混合数列前n项和的重要方法,因此,本节具有承上启下的作用。
等比数列的前n项和公式的推导过程中蕴涵了基本的数学思想方法,如分类讨论、错位相减等在数列求和问题中时常出现。
在实际问题中也有广泛的应用,如储蓄、分期付款的有关计算。
2.教材编排与课时安排
提出问题——解决问题——等比数列的前n项和公式推导——强化公式应用(例题与练习)
二.教学目标
知识目标:
理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点,在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题。
能力目标:
通过启发、引导、分析、类比、归纳,并通过严谨科学的解题思想和解题方法的训练,提高学生的数学素养。
情感目标:
通过解决生产实际和社会生活中的实际问题了解社会、认识社会,形成科学的世界观和价值观。
三.教学重点与难点:
公式的推导、公式的特点和公式的应用。
公式的推导方法(“错位相减”)和公式的灵活运用。
四.教学过程:
(一)、复习回顾:
(1)等比数列及等比数列通项公式。
复习回顾例题1:
{an}为等比数列,请完成下表除{sn}外的所有项
答案如下:
(2)回忆等差数列前n项和公式的推导过程,是用什么方法推导的。
(二)、情境导入:
国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者.这个故事大家听说过吗?
“请在第一个格子里放上1颗麦粒,第二个格子里放上2颗麦粒,第三个格子里放上4颗麦粒,以此类推.每一个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒的2倍.直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”这就是国际象棋发明者向国王提出的要求。
假定千粒麦子的质量为40g,按目前世界小麦年度产量约6亿吨计.你认为国王能不能满足他的要求。
怎样计算?
请列出算式。
探讨1:
s=1+2+22+23+…+263,①
注意观察每一项的特征,有何联系?
探讨2:
如果我们把每一项都乘以2,就变成了它的后一项
2s=2+22+23+…+263+264,②
s64=264-1
粒麦子的质量为40g,那么麦粒的总质量超过了7000亿吨.而目前世界年度小麦产量约6亿吨,因此,国王不能实现他的诺言。
国王不假思索地给国际象棋发明者一个承诺,导致了一个很不幸的后果的发生,这都是他不具备基本的数学知识所造成的结果,.而避免这个不幸的事情发生,正是我们这节课所要探究的知识.
五、推进新课
等比数列前n项公式的推导:
1.错位相减法,
sn=a1+a1q+a1q2++a1qn-2+a1qn-1①
23n-1n
aq+aq+aq++aq+aq11111qsn=②
①-②得:
(1-q)sn=a1-a1qn
a11-qn当q≠1时,得到sn=
1-q当q=1,sn=na1.
?
na1?
等比数列前n项和公式:
sn=?
a11-qna1-anq
(q=1)(q≠1)
()
注意:
1.公比为1的情况
2.已知a1,q,n,an,sn中的任意三项,可以求其他两项(知三求二)
六、例题剖析
完善例1的表格
111
,,…的等比数列
248
(1)求前8项的和
(2)求第4项到第8项的和解:
(1)a1=
11
q=,n=82211(1-n)
=255∴s8=12561-2
1
为公比的前5项和)2
(2)方法一(先求出a4,等价于求一个以a4为首项,
解:
a4=a1q=
n=51611(1-5)
=31∴s=12561-2
3
方法二:
(s8-s3)
1?
1-?
28?
s8-s3=-
1-2七、小结:
1-?
312?
=2561-2
1.熟记等比数列前n项和的通项公式,重点掌握错位相减的方法。
2.易错点:
易忽略公比q=1的情况
3.思想方法:
类比、分类讨论、错位相减、特殊到一般八.作业:
1.已知等比数列{an}的前n项和sn=48,s2n=60求s3n(并思考用不
同的方法来解答这个问题)
2.课本p58页1,2题
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- 等比数列 教案