大学生高等数学竞赛试题汇总及答案Word格式文档下载.docx
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e_)x,其中n是给定的正整数.
n
因此
三、(15分)设函数f(x)连续,g(x)二;
f(xt)dt,且1[叫少,A为
常数,求g(x)并讨论g(x)在x=0处的连续性.
解:
由啊上^"
和函数f(x)连续知
f(0)=limf(x)二limxlim
0X[0x—0
向边界,试证:
sinysinxsinysinx丨
(1)■xedy-ye_dx=xe_dy_yedx;
LL
(2):
xesinydy「ye^dx_52.
L2
证:
因被积函数的偏导数连续在D上连续,故由格林公式知
(1)xesinydy-ye*inxdx'
(xesiny)-丄(-ye$nx)dxdy
LD少约」
而D关于x和y是对称的,即知
(2)因
故
由
知
sinysiny】
即:
xedy-yedx
L
五、(10分)已知y^i=xex+e2x,y2=xex+e」,g=xex+e2x_e」是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解,试求此微分方程.
解设yrxexe2x,xexe^,七二xexe2x-e」是二阶常系数线
性非齐次微分方程的三个解,则y2-力=e"
-e2x和e^都是二阶常系数线性齐次微分方程的解,因此y'
by'
cy=0的特征多项式是(’-2)('
,1)=0,而yb/c^o的特征多项式是
因此二阶常系数线性齐次微分方程为y'
yTy=0,由%-%-2%二f(x)和
y1=exxex2e2x,y^2exxex4e2x
知,f(x)二y1「w-2力二xex2ex4e2x「(xexex2e2x^2(xexe2x)二阶常系数线性非齐次微分方程为六、(10分)设抛物线y=ax2•bx•2Inc过原点.当0乞xS时,y-0,又已知该抛物线与X轴及直线x=1所围图形的面积为-.试确定a,b,c,使
3
此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.
解因抛物线y=ax2•bx-2Inc过原点,故c=1,于是即
而此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积
即令
218
V(a)a二_(1_2a)(1_a)=0,
5327
得即因此
5「3彳
a,b,c=1.
42
七、(15分)已知Un(x)满足Un(x)=Un(x)•Xn'
ex(n=1,2,…),且Un
(1)=£
n求函数项级数-Un(x)之和.
n珀
解
Un(X)=Un(X)乂“屯灭,
即
由一阶线性非齐次微分方程公式知
re1
由—-un
(1)-e(C■—)知,C-0,
nn
于是
下面求级数的和:
令
由一阶线性非齐次微分方程公式知令X=0,得0=S(0)=C,因此级数xUn(x)的和
nA
:
2
八、(10分)求X小-时,与7xn等价的无穷大量.
n=0
解令f(t)二X,,则因当0:
:
x:
1,L(0,V)时,f(t)=2tx『lnx:
0,
士|n1
f(t)=e匕在(0,:
)上严格单调减。
:
21
■-:
■-:
2-:
-LIn
f(t)dt二£
dt二ex
00-0
二f(n)xn,n=0n
1-be21"
dt二eddt:
、012
J—
2010-2012年第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷
(参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知
识,适当看一些辅导书及相关题目,主要是一些各大高校的试题。
)
、(25分,每小题5分)
(1)设xn=(1a)(1a2)||l(1a2),其中|a|:
1,求limxn.
(2)
、rt、CO
(3)设s>
0,求I=(e^xndxCn=1,2」11)。
(4)设函数f(t)有二阶连续导数,「=£
x2y2,g(x,y)二
22
gg
。
x:
y
(5)求直线h:
;
^0与直线-乎与专的距离。
(1)xn=(1a)(1a2)HI(1a2"
)二人=(1-a)(1a)(1a2)||l(1a2"
)/(1-a)
22…■2n2n
=(1—a2)(1a2)川(1a2)/(1—a)==(1—a2)/(1—a)
令x=1/t,则
_11
2(1t)p
=limee
t-0
ndx十1)0xndef(-扣"
|。
--.0e」xdxn]=
n!
二、(15分)设函数f(x)在(-=;
)上具有二阶导数,并且
f"
(X)>°
凹」"
(X)>0,Jim^f(X)=0£
0,且存在一点Xo,使得f(x0)£
O。
证明:
方程f(x)=O在(-==)恰有两个实根。
二阶导数为正,则一阶导数单增,f(x)先减后增,因为f(x)有
小于0的值,所以只需在两边找两大于0的值。
将f(x)二阶泰勒展开:
因为二阶倒数大于0,所以
xmf(x)=趙,xjmf(x)=4
证明完成
三、(15分)设函数y=f(x)由参数方程x2tt(t._1)所确定,其中―屮(t)
-在t=1出相切,求函
数■-(t)。
相切得
上式可以得到一个微分方程,求解即可。
四、(15分)设an0,Snfk,证明:
k4
当〉-1且Sn-」(n_.)时,级数v—T发散。
nmSh
00a所以,7二收敛。
nA铲
TimSn=二n.
&
所以瓦an发散,所以存在k!
,使得Za^a!
n4n=2
k1
ki■—an
于是,'
•並八色,-
2Sn"
2SnSk-2
依此类推,可得存在1:
«
:
k2:
…使得「玉成立,所以工玉_N丄
kSn°
21汀2
当n-;
时,N-」,所以a电发散
心Sn
五、(15分)设I是过原点、方向为(;
,),(其中:
2「2•2=1)的直线,均匀椭球
222
~2当~2_1,其中(0:
c:
b:
a,密度为1)绕I旋转。
abc
(1)求其转动惯量;
(2)求其转动惯量关于方向(〉「,)的最大值和最小值。
(1)椭球上一点P(x,y,z)到直线的距离
由轮换对称性,
当咐F时,Imax4二abc(a2b2)
15当〉=1时,Imin二'
二abc(b2C2)
15
六、(15分)设函数(x)具有连续的导数,在围绕原点的任意光滑的
简单闭曲线C上,曲线积分口2xydx,x)dy的值为常数。
x+y
(1)设L为正向闭曲线(x_2)2y2=1,证明口2呦:
(2X)dy=0;
cxy
(2)求函数(x);
(3)设C是围绕原点的光滑简单正向闭曲线,求2xydx丫哑。
』xy
(1)L不绕原点,在L上取两点A,B,将L分为两段Li,L2,再从
A,B作一曲线L3,使之包围原点。
则有
(2)令P=*,Q=”
x+yx+y
由
(1)知亠一匸=0,代入可得
玫cy
上式将两边看做y的多项式,整理得
由此可得
解得:
(x)=-X2
(3)取L为x4y2一4,方向为顺时针
2011-2012年第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷
(参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识,适当看一些辅导书及相关题目,主要是一些各大高校的试题。
一.计算下列各题(本题共3小题,每小题各5分,共15分)
1
Isinx1-cosx
(1).求liml泌|;
ioIX丿
(用两个重要极限):
(2).求lim
55十1
(用欧拉公式)令x二
其中,o1表示n时的无穷小量,
求dl
dx2
x=ln(1+e2t)
(3)已知
y=t-arctand
1e2t
二.(本题10分)求方程2x*y-4dx*x*y-1dy=0的通解。
设P=2xy-4,Q=xy-1,贝SPdxQdy二0dz=PdxQdy
\—=卫,该曲线积分与路径无关
L、
yx
3.(本题15分)设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数,且f0,f'
0,f"
0均不为0,证明:
存在唯一一组实数k1,k2,k3,
匕f(h)+k2f(2h)+k3f(3h)-f(0)
使得lim20。
h>
0h2
证明:
由极限的存在性:
limk1fhk2f2hk3f3^f0-0
即kk2k3-1f0=0,又f0=0,匕k2k3=1①
由洛比达法则得
由极限的存在性得limk1f'
h2k2f'
2h3k3f'
3h二0
即k12k23k3f'
0=0,又f'
0=0,•k12k23k^0②
再次使用洛比达法则得
k14k29k3=0③
Kk2k3=1由①②③得k1,k2,k3是齐次线性方程组k12k23k厂0的解
k14k29k3二0
n11r
「1003
增广矩阵A*=
1230
D
010-3
J490?
0011?
RA,b二RA=3
且&
=3,k2=-3,k3=1。
4.(本题17分)设―:
笃^每二胡,其中abc0,
2:
z2=x2y2,为匕1与匕2的交线,求椭球面-在】上各点的切
平面到原点距离的最大值和最小值
设-上任一点Mx,y,z,令Fx,y,z=务•占•令-1,abc
则Fx二今丁厂学Fz二勒,椭球面-在I上点M处的法向量abc
为:
xyz
~2,~2
bc丿
到平面
G,x
xy=勺a
现在求Gx
z2=x2
二在点M处的切平面为二:
b4
的距离为
JGx,y,z'
xxyzra
y2下的条件极值,
…xyz
Hx,y,z444
x2
a2
y_
b2
z
~2c
则由拉格朗日乘数法得:
Hx
Hy
Hz
a
2x2x
4i222x=°
aa
二型A2o
b41b222y0
二刍W-22Z=0,cc
y-z__Vo
b2c2
y2-z2=0
——+
2’
4
c
-2
-z2
解得
z2
b2c2或
a2c2,
Gx,y,z二
Gx,y,z
a4c4
a2c2
b2+c2
此时的d厂bc:
—44或d2=a
又因为abc0,则d「:
d2
所以,椭球面一在】上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值分
别为:
d2=ac
a4c4,d厂bcib4c4
x23y2
五.(本题16分)已知S是空间曲线
lz=0
1绕y轴旋转形成
的椭球面的上半部分(z-0)取上侧,二是S
在Px,y,z点处的
切平面,‘x,y,z是原点到切平面二的距离,’/表示S的正法
向的方向余弦。
计算:
(1)由题意得:
椭球面S的方程为x23y2z2=1z-0令F=x23y2z2-1则Fx二2x,Fy二6y,Fz二2z,
切平面…的法向量为n=x,3y,z,
-的方程为xX-x3yY-yzZ-z=O,
原点到切平面二的距离
将一型曲面积分转化为二重积分得:
记Dxz:
x2•z2乞1,x一0,z一0⑵方法一:
7=LX—3y…z
Jx2十9y2+z2Jx2+9y2+z2Jx2十9y2+z2
六.(本题12分)设f(x)是在一:
,」:
内的可微函数,且
f、(xZmf(x),其中O^m^l,任取实数a0,定义
an=Inf(an4)n,=1,证明..IJan-an_!
)绝对收敛
nT
证明:
an-anv=Infan^-Infan_2
由拉格朗日中值定理得:
介于anx,an_2之间,使得
级数瓦mn^q-a0收敛,二级数瓦an-an_收敛,即
nWnW
van-an片绝对收敛。
nW
七.(本题15分)是否存在区间'
0,21上的连续可微函数f(x),满足
f0二f2「,
I2
f、(x"
Jf(x)dx兰1?
请说明理由。
10
假设存在,当X,〔0,11时,由拉格朗日中值定理得:
\介于0,x之间,使得fx二f0f'
]x,,
同理,当x-1,2时,由拉格朗日中值定理得:
2介于x,2之间,使得fx=f2,f'
\x-2
fx=1f'
\x,x〔0,1;
fx=1f'
2x-2,x的2
1兰f、(x)「,
显然,fx-0,fxdx-0
L0
12212
1乞1一xdxx一1dx乞fxdx乞1xdx3一xdx=3‘0‘1、0‘0‘1
jf(x)dx=1
(x)dx「,又由题意得〕f(x)dx兰1〉
f'
1不存在,又因为f(x)是在区间〔0,21上的连续可微函数,即f'
1存在,矛盾,故,原假设不成立,所以,不存在满足题意的函数f(x)。
而s号詈驛”于,收敛于k。
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